ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ НЕСТАНДАРТНЫМ ПРИЕМАМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
статья по теме

 «Математика и математическое образование: современные тенденции и перспективы развития», всероссийская научно-практическая конференция, 23 декабря 2016 г. / Мордов. гос. пед. ин-т. – Саранск, 2017. 

С. 100-105.

УДК 378.046.4

ББК 74.58

ОБУЧЕНИЕ УЧАЩИХСЯ НЕСТАНДАРТНЫМ ПРИЕМАМ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Сарванова Жанна Александровна

Киржаева Татьяна Ивановна

ФГБОУ ВО «Мордовский государственный педагогический

институт имени М. Е. Евсевьева», г. Саранск, Россия

sarvan@yandex.ru

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: нестандартный прием, уравнение, действия, задачи, обучение методам решения задач.

АННОТАЦИЯ: В статье описываются этапы обучения учащихся решению уравнений нестандартными приемами.

EDUCATING OF STUDENTS TO NON-STANDARD RECEPTIONS

DECISIONS OF EQUALIZATIONS

SARANOVA ZHANNA ALEXANDROVNA, KIRZHAEVA TATIANA IVANOVNA

Mordovian State Pedagogical Institute, Saransk, Russia

KEYWORDS: on-standard reception, equalization, actions, tasks, educating to the methods of decision of tasks.

ABSTRACT: In the article the stages of educating are described students to the decision of equalizations non-standard receptions.

Одной из основных задач современного образования является развитие познавательных умений учащихся, большинство из которых формируются в процессе решения математических задач. Умение решать уравнения, используя свойства входящих в них функций, что относится к нестандартным приемам решения, служат показателем высокого уровня овладения учениками умением решать задачи. Задания, предлагаемые учащимся на ЕГЭ по математике, математических олимпиадах (задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций, использование свойств ограниченности, монотонности функций, их графиков и пр.) являются сложными для многих учащихся, поэтому им следует уделять больше внимания в школьной практике обучения.

Под нестандартным приемом решения уравнений понимают прием решения уравнений, в котором основную роль при переходе к равносильным уравнениям и неравенствам играют свойства функций (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.) [2 ; 3]. В чем же заключается обучение приемам решения уравнений, основанным на использовании свойств функций?

Обратимся к исследованию Л. К. Садыковой [2], согласно которому усвоение учащимися функциональных приемов решения уравнений и неравенств, связано с пониманием учащимися сути приема и овладения действиями по его применению (деятельностные компоненты приема). Особо отметим, что в деятельностной составляющей приемов  выделены  следующие действия:

1) выполнение операций, адекватных приемам решения уравнений и неравенств алгебраическими методами. Считаем, что учащиеся овладели всеми приемами решения уравнений алгебраическими методами на занятиях по алгебре и элементарной математике.

2) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций;

3) построение графиков и эскизов графиков функций, в том числе с применением  компьютерных технологий.

4) определение структуры уравнения: выяснение, из каких функций и каким образом оно составлено;

5) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

6) решение  уравнений с применением отдельных свойств элементарных функций;

7) составление уравнений, решаемых функционально-графическим методом;

8) решение уравнений повышенной сложности с выбором методов решения уравнений.

Мы будем рассматривать обучение учащихся решению уравнений на основе использования свойств функций. За основу возьмем разработанные Л. К. Садыковой частные приемы решения уравнений с использованием области допустимых значений уравнений, ограниченности функций, монотонности функций [3]. К ним мы добавим прием, основанный на использовании неотрицательности функций, входящих в уравнение. Приведем содержание приемов решения уравнений с применением свойств функций.

Прием решения уравнений с применением области допустимых значений (ОДЗ):

1. Найдите ОДЗ уравнения.
2. Если область определения конечное множество, то непосредственно подстановкой определите, удовлетворяют ли эти числа уравнению.
3. Если область определения пустое множество, то сделайте вывод, что уравнение не имеет решений.

Прием решения уравнений с применением ограниченности функций:

1. Найдите ОДЗ уравнения (если это не вызывает затруднений).
2. Найдите множество значений функций, стоящих в правой и левой частях уравнения.
3. На основании утверждений 1-3 (приложение 1) сделайте вывод.

Прием решения уравнений с применением свойства монотонности функций:

1. Найдите ОДЗ уравнения.
2. Определите структуру уравнения (f(x)=g(x)).
3. Исследуйте функции f(x) и g(x) на монотонность.
4. Примените соответствующее утверждение 4-5(приложение 1).

Сделайте вывод о множестве решений уравнения (либо подберите корень уравнения при решении уравнения вида f(x)=g(x), либо перейти к равносильному уравнению и решить его) [42].

Определим состав приема с использованием неотрицательности функций:

1. Найти ОДЗ уравнения.
2. Привести уравнение к виду  (х) +  (х) + … +  (х) = 0, где

                         (1)

3. Составить и решить систему (1) .
4. Отобрать найденные значения x, принадлежащие ОДЗ уравнения.

Обучить приемам решения уравнений – значит обучить действиям, составляющим эти приемы, а также совокупности действий, используя для этого соответствующие задачи [1; 3; 4; 5; 6; 7 ]. При конструировании и отборе задач полезно использовать предложенные Г. И. Саранцевым требования : число однотипных упражнений не должно превышать трех; отличаться разнообразием формулировок задач; формировать действия, адекватные конкретной деятельности [4]. Последнее требование сформулируем в контексте нашего исследования  - формировать действия, составляющие нестандартные приемы решения уравнений и их совокупности.

На первом этапе обучение нестандартным приемам состоит в целенаправленном формировании следующих умений учащихся: а) выполнение операций над функциями и нахождение суперпозиции функций; б) построение графиков функций. На втором этапе обучения учащиеся приобретают умения решать  уравнения, применяя отдельные свойства функций (область определения, ограниченность, монотонность, выпуклость (вогнутость), четность (нечетность), периодичность).

Отметим, что обучение построению графиков функций предусмотрено программой курса алгебры 7-9 классов. Изучение же операций над функциями и многие из перечисленных свойств занимают достаточно большой временной период. Поэтому изучение всей совокупности нестандартных приемов решения уравнений доступно лишь учащимся 10-11 классов. Более того, углубленное изучение данного содержания становится возможным за счет организации элективных курсов по математике в рамках профильной подготовки учащихся.

Основными задачами изучения подобных курсов мы видим в формировании у учащихся следующих действий, входящих в состав нестандартных приемов решения уравнений:

а) определение структуры уравнения: выяснение, из каких функций и каким образом они составлены;

б) выделение свойств, присущих функциям, входящим в уравнение и неравенство (ограниченность, монотонность, четность, нечетность и т.д.), то есть исследование функции;

в) решение уравнения (неравенства) с применением отдельных свойств элементарных функций.

Первоначально нужно обучить  учащихся распознавать комбинированные уравнения, поскольку их решение основано на использовании свойств входящих в них функций. Под комбинированными мы будем понимать, уравнения одна из частей которых – алгебраическая функция, другая – трансцендентная, либо обе - трансцендентные, но разного вида. Важно на данном этапе актуализировать знания учащихся об области определения и множестве значений функций и предложить задания на их нахождение. Приведем примеры таких заданий.

Задача 1.Определите, какие из приведенных уравнений являются комбинированными? Какие из них можно решить стандартными методами?

1. 
2. 15x+2·9x-4·25 x=0;
3. ;
4. -  = x ;
5.  = ;
6. lg(x2 )=0,5 2x;
7. sin x = arctgx;
8. x2= lg(2+x);
9. (ctgx)2+cosx=sinx.

Задача 2. Найдите область определения функций:

1. у=
2. у = .
3. у = lg(x2 – 5x +6).
4. y = cos(x +.
5. y = tg(2x – ).

Задача 3.Найдите область допустимых значений уравнений:

1) .

2) arcsin x = .

3) .

Далее нужно переходить к формированию действий, составляющих выделенные выше приемы решения уравнений. В данной статье ограничимся приведением  заданий для обучения приему, основанному на использовании области допустимых значений функции.

Задача 4. Определите, является ли уравнение комбинированным,  обоснуйте выбор приема решения уравнения:

а) ;

б) arccos (x2)=log5(x3–8);

в)  = sin2 x.

Задача 5.Решите уравнения:

а) –lg (1+)=3x– x2 – 2.

б) .

в)  +  =  + 2 .

В приведенных задачах ОДЗ уравнений либо пустое множество, либо конечное множество. В случае, когда ОДЗ – конечное множество учитываем, что решением уравнения могут быть: а) все найденное множество (ОДЗ), б) часть найденных значений из ОДЗ, в)  ни одно из найденных значений.

Овладение учащимся данным приемом на более высоком уровне происходит при выполнении заданий, примером которого является следующая задача.

Задача 6. Сконструируйте комбинированное уравнение, область допустимых значений которого: а) пустое множество, б) конечное множество.

Важным в изучении нестандартных приемов решения уравнений является формирование умений распознавать комбинированные уравнения, исследовать функции, входящие в уравнение, определять рациональный прием решения, а также конструировать задачи на применение свойств функций.

Список использованных источников

1. Капкаева, Л. С. Алгебраический и геометрический методы в школьном курсе математики как способы познавательной деятельности учащихся /Л. С. Капкаева // Гуманитарные науки и образование. – 2012. −№ 1. – С. 18-22.
2. Мещерякова, С. И. Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики : дис… канд. пед. наук : 13.00.02 / Мещерякова Светлана Ивановна. – Саранск. – 1997. – 182 с.
3. Садыкова, Л. К. Свойства функций при решении нестандартных уравнений и неравенств: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики преподавания математики / Л. К. Садыкова, Н. С. Новичкова. – Самара : Изд-во СГПУ, 2005. – 90 с.
4. Саранцев Г. И. Методика обучения геометрии : учеб. пособие для студентов вузов по направлению «Педагогическое образование». – Казань : Центр инновационных технологий, 2011. – 228 с.
5. Сарванова Ж. А. Совокупность задач для обучения учащихся основной школы применению метода площадей при решении геометрических задач // Учебный эксперимент в образовании. − 2015. − № 4 (76). − С. 34-39.
6. Ульянова И. В. Особенности обучения учащихся методам решения геометрических задач в контексте укрупнения дидактических единиц // Знание. Понимание. Умение. − 2012. − № 1. − С. 233-238.
7. Формирование приемов, составляющих метод площадей при обучении школьников решению геометрических задач / Ж. А. Сарванова // Современные наукоемкие технологии. ‒2016. ‒ № 2-2. ‒С. 380-384.