Решение задач по теме "Теорема Виета"
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Лукина Ирина Викторовна

Данный материал является конспектом открытого урока с использованием технологии проблемного обучения. Цель урока - обеспечение прочности приобретенных знаний, умений и навыков по теме "Теорема Виета", исследование различных подходов к решению нестандартных задач, развитие самостоятельности, ответственности, критического мышления, нестандартного мышления, воспитание коммуникативных качеств ученика. На данном уроке ставится задача изучить новые способы решения полных квадратных уравнений. Для этого организовать на уроке проблемные ситуации, оказать учащимся помощь в решении проблем, проверить решения.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Тема: Решение задач по теме «Теорема Виета».

8 класс.
Учитель Лукина И.В.

На уроке используется технология проблемного обучения.

Цели урока:

а) Образовательные:
- обеспечение прочности приобретенных знаний, умений и навыков по теме «Теорема Виета»;

- исследование различных подходов к решению нестандартных задач.

б) Развивающие:
- развитие самостоятельности, ответственности;
- развитие критичности мышления, нестандартного мышления;
- развитие творческих способностей учащихся.

в) Воспитательные:

- воспитание творческой личности;

- воспитание коммуникативных качеств ученика.

Задача: изучить новые способы решения полных квадратных уравнений. Для этого  организовать на уроке проблемные ситуации, оказать учащимся помощь в решении этих проблем, проверить решения.

Ход урока.
Учащиеся работают в четырех разноуровневых группах.

  1. Вводная часть

Ученик читает стихотворение, подготовленное заранее:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе
с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда!
В числителе
b, в знаменателе а.

  1. Проверка творческого домашнего задания.
     На дом было задано сочинить стихотворение, небольшой рассказ или сказку по теме «Теорема Виета». Это задание было задано на неделю. Работы были собраны заранее. Трое учащихся, чьи работы признаны лучшими, выступают перед классом.
  2. Объявляется тема урока. 
    Ставится задача: изучить новые нестандартные способы решения полных квадратных уравнений.
  3. Постановка 1проблемы.
    Теорема Виета не зря воспета в стихах. Она очень облегчает решение приведенных квадратных уравнений, но мы никогда не использовали ее при решении неприведенных квадратных уравнений. А возможно ли это в принципе?
    Проведем эксперимент. Для этого рассмотрим уравнение 3х
    2 – 8х + 5 = 0. Его можно решить по формуле, которая применяется для решения полных квадратных уравнений.

                Х1 = 1; Х2 = 5/3

Рассмотрим теперь приведенное квадратное уравнение, которое можно получить из  данного неприведенного, для этого мы свободный член умножим на старший коэффициент.

                         
                         Х
2 – 8Х + 5·3 = 0

                          Х2 – 8Х + 15 = 0
Это уравнение легко решается по теореме, обратной теореме Виета.
Обозначим эти корни Х
3 и Х4

                Х3 = 3; Х4 = 5.
Сравнивая корни уравнений, получаем, что корни второго уравнения в три раза больше корней первого, т.е. Х1 = Х3/3 и Х2 = Х4/3
Возникает проблема: всегда ли корни неприведенного квадратного уравнения
ax
2 + bx + c = 0 и корни приведенного квадратного уравнения x2 + bx + c·a = 0, полученного из первого умножением старшего коэффициента на свободный член, cвязаны равенством   Х1 = Х3/а и Х2 = Х4/а, где Х1 и Х2 – корни неприведенного уравнения, а Х3 и Х4 – корни приведенного уравнения. Было бы здорово решить эту проблему сегодня на уроке. А вы как думаете, это случайное совпадение или нет?
          5. Поиск решения проблемы и признание решения учащимися. 

Учащимся дается возможность высказаться, посовещавшись с членами группы и доказать или опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если дети затрудняются, то учитель предлагает подсказки по очереди, давая после каждой подсказки время для обдумывания дальнейшего хода решения и высказывания каждой группе. Подсказки предлагаются на слайдах презентации:
1 подсказка. 
Проверьте еще раз зависимость между корнями уравнений 7Х
2 – 6Х - 1 = 0 и
Х
2 – 6Х -  1·7 = 0

Двое учащихся работают на досках, а остальные – в тетрадях.

1)7Х2 – 6Х - 1 = 0

          6 ± 62 - 4·7·1

Х1,2 =


Х1 = 1; Х2 = - 1/7

2)Х2 – 6Х -  1·7 = 0

Х2 – 6Х -  7 = 0 – по теореме, обратной теореме Виета находим корни этого уравнения:

Х3 = 7; Х4 = - 1.

Класс делает вывод:  Х1 = Х3/7 и Х2 = Х4/7.
Таким образом, Х
1 = Х3/а и Х2 = Х4/а.

2 подсказка. 
Попробуйте записать оба уравнения: неприведенное и полученное из него приведенное квадратные уравнения в общем виде и применить к каждому из них формулу для решения полных квадратных уравнений.
Учащиеся работают в группах, и если они затрудняются, то учитель им помогает.
Представители от групп выходят к доске и объясняют решение. На доске появляются записи:

1) а Х2 + bХ +  c = 0

 

          - b ± b2 - 4·a·c

Х1,2 =

2) Х2 + bХ +  c·a = 0

 

          - b ± b2 - 4·a·c

Х3,4 =

3 подсказка. 
Сравните правые части равенств (1) и (2).
Учащиеся снова работают в группах. А затем представители от групп выходят к доске и объясняют решение.
Из формул видно, что если правую часть равенства (2) разделить на
а, то получится правая часть равенства (1).
Разделим обе части равенства (2) на
а (напоминаю, что на а делить можем т.к. а  0 по определению квадратного уравнения).

Запись на доске:

         

 

              - b ± b2 - 4·a·c

Х3,4 =  

Сравнивая полученное равенство с равенством (1) получаем, что правые части этих равенств равны, следовательно, равны и левые. Таким образом
Х
1 = Х3/а и Х2 = Х4/а.
Доказательство учащиеся, по мере обсуждения, записывают в тетради.

  1. Обобщение и выводы.
    Мы доказали, что неприведенные квадратные уравнения можно решать не только по общей формуле, а так же по теореме, обратной теореме Виета.

Алгоритм решения:
1) составить приведенное квадратное уравнение из данного неприведенного, умножив свободный член на старший коэффициент.
2) решить полученное уравнение по теореме, обратной теореме Виета.
3) получить корни заданного уравнения, разделив корни полученного  приведенного квадратного уравнения на старший коэффициент.

Алгоритм записывается учащимися в тетради.

  1. Упражнения.

Каждой группе дается задание на карточке:
1) решить данное учителем уравнение по записанному алгоритму
2) составить и решить свое уравнение для другой группы (творческое задание).
1)Уравнения, данные учителем для групп:
1 группе: 2Х
2 – 5Х - 3 = 0;
Запись в тетрадях: Х
2 – 5Х - 3·2 = 0;
                                Х
2 – 5Х - 6 = 0;
                                Х
3 = - 1; Х4 = 6;

                                 Х1 = - 1/2; Х2 = 3.


2 группе: 2Х
2 –Х - 6 = 0;
Запись в тетрадях: Х
2 – Х - 6·2 = 0;
                                Х
2 – Х - 12 = 0;
                                Х
3 = - 3; Х4 = 4;

                                 Х1 = - 1.5; Х2 = 2.


3 группе: 6Х
2 –Х - 1 = 0;
Запись в тетрадях: Х
2 – Х - 6·1 = 0;
                                Х
2 – Х - 6 = 0;
                                Х
3 = - 2; Х4 = 3;

                                 Х1 = - 1/3; Х2 = 1/2.


4 группе: 5Х
2 + 2Х - 3 = 0;
Запись в тетрадях: Х
2 + 2Х - 3·5 = 0;
                                Х
2 + Х - 15 = 0;
                                Х
3 = - 5; Х4 = 3;

                                 Х1 = - 1; Х2 = 3/5.


Учащиеся в группе обсуждают решение, записывают его по алгоритму, и представители от каждой группы выходят к доске и объясняют решение. Остальные слушают.
2) Для составления квадратных уравнений необходимо рассуждать точно в обратном порядке, а именно: сначала по корням, используя теорему Виета составить приведенное квадратное уравнение, а далее, разложив на множители свободный член, получить неприведенное уравнение.  
Далее каждая группа решает уравнение, предложенное другой группой: 1 группа составляет уравнение для 2 группы, 2 группа – для 3 группы, 3 группа – для 4 группы, 4 группа – для 1 группы. Решения оформляются на листах и передаются в группу, которая это уравнение составила, для проверки и выставления оценки за правильность решения и оформление. После чего листы с решением и отметками сдаются учителю.

  1. Постановка 2 проблемы.

Дано квадратное уравнение с большими коэффициентами:
1978Х
2 – 1984Х + 6 = 0. Решить его по общей формуле не просто, слишком большие коэффициенты. Теорема Виета то же не решит проблему т.к. подобрать корни в уравнении с такими большими коэффициентами очень долговременно. И вообще, имеет ли это уравнение корни, и если – да, то как их найти рациональным способом?

  1. Поиск решения проблемы и признание решения учащимися.

Учащимся дается возможность высказаться, посовещавшись с членами группы, и попытаться решить поставленную проблему. Если дети затрудняются, то учитель снова дает подсказки по очереди, давая после каждой подсказки время для обдумывания дальнейшего хода решения и высказывания, используя слайды презентации:

1 подсказка.
 Найдите сумму коэффициентов уравнения.
Сумма коэффициентов равна нулю (1978 – 1984 + 6 = 0).
2 подсказка.
 Исходя из того, что сумма коэффициентов равна нулю, подбором найдите один корень уравнения.

Х1 = 1.

3 подсказка.
 Получите изданного уравнения приведенное, разделив обе части его на старший коэффициент 1978.

1978Х2 – 1984Х + 6 = 0
Х
2 – 1984/1978Х + 6/1978 = 0.

4 подсказка. 
По теореме, обратной теореме Виета, найдите второй корень уравнения.

Х1·Х2 = 6/1978
Х
1 = 1, следовательно 1·Х2 = 6/1978, значит Х2 = 6/1978 или Х2 = 3/989
Ответ: 1; 3/989.
Решение учащиеся записывают в тетради.

  1. Выводы.
    Этот урок можно назвать творческим т.к. на нем были заслушаны лучшие детские сочинения и решались квадратные уравнения нестандартными способоми. Для этого вы пытались самостоятельно выявить связи между уравнениями, учились переносить «старые» знания на новые ситуации и задачи, приучались к самоконтролю, самопроверке и взаимопроверке.
  2. Итоги урока.
    Благодарность всем учащимся за работу.
    Каждый ученик получит оценку за урок, которая будет складываться из оценки за решение проблем (активное обсуждение и выступление), за работу на доске, за решение уравнений, предложенных учителем в группе и оценки на листах, выставленной учащимися. Оценки будут объявлены на следующем уроке после суммирования.
  3. Домашнее задание (творческое).
    1) придумать 5 уравнений с большими коэффициентами и решить их;
    2) № 434 – решить уравнения по изученному на уроке алгоритму, используя теорему, обратную теореме Виета;
    3) для уравнения 3х
    2 – 8х + 5 = 0 найти х12 + х22, не решая уравнение.
     


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Решение задач по теме «Теорема Виета» Презентацию выполнила учитель математики Лукина И.В.

Слайд 2

Задача урока: Изучить новые нестандартные способы решения полных квадратных уравнений.

Слайд 3

Постановка проблемы Рассмотрим уравнение 3х 2 – 8х + 5 = 0. Корни: Х 1 = 1; Х 2 = 5/3. Рассмотрим уравнение х 2 – 8х + 5 · 3 = 0. Корни: Х 3 = 3; Х 4 = 5. Х 1 = Х 3 /3 ; Х 2 = Х 4 /3 . Всегда ли корни неприведенного квадратного уравнения ах 2 + b х + c = 0 и корни приведенного квадратного уравнения х 2 + b х + c· а = 0 связаны равенством Х 1 = Х 3 / а; Х 2 = Х 4 / а ?

Слайд 4

1 подсказка. Проверьте еще раз зависимость между корнями уравнений 7Х 2 – 6Х - 1 = 0 и Х 2 – 6Х - 1·7 = 0

Слайд 5

2 подсказка. Попробуйте записать оба уравнения: неприведенное и полученное из него приведенное квадратные уравнения в общем виде и применить к каждому из них формулу для решения полных квадратных уравнений.

Слайд 6

3 подсказка. Сравните правые части формул, по которым находились корни уравнений.

Слайд 7

Алгоритм решения 1.составить приведенное квадратное уравнение из данного неприведенного, умножив свободный член на старший коэффициент. 2.решить полученное уравнение по теореме, обратной теореме Виета. 3.получить корни данного уравнения, разделив корни полученного приведенного квадратного уравнения на старший коэффициент.

Слайд 8

Помощь в составлении уравнения Используя теорему, Виета составить приведенное квадратное уравнение. Разложить на множители свободный член. Получить неприведенное уравнение, взяв один из полученных множителей в качестве старшего коэффициента а .

Слайд 9

Постановка проблемы Дано квадратное уравнение с большими коэффициентами: 1978Х 2 – 1984Х + 6 = 0. Имеет ли это уравнение корни, и если – да, то как их найти рациональным способом?

Слайд 10

1 подсказка. Найдите сумму коэффициентов уравнения. Сумма коэффициентов равна нулю (1978 – 1984 + 6 = 0).

Слайд 11

2 подсказка. Исходя из того, что сумма коэффициентов равна нулю, подбором найдите один корень уравнения. Х 1 = 1.

Слайд 12

3 подсказка. Получите изданного уравнения приведенное, разделив обе части его на старший коэффициент 1978. 1978Х 2 – 1984Х + 6 = 0 Х 2 – 1984/1978Х + 6/1978 = 0.

Слайд 13

4 подсказка. По теореме, обратной теореме Виета, найдите второй корень уравнения. Х 1 ·Х 2 = 6/1978 Х 1 = 1, следовательно 1·Х 2 = 6/1978, значит Х 2 = 6/1978 или Х 2 = 3/989. Ответ: 1; 3/989.

Слайд 14

Домашнее задание Придумать 5 уравнений с большими коэффициентами и решить их; № 434 – решить уравнения по изученному на уроке алгоритму, используя теорему, обратную теореме Виета; Для уравнения 3х 2 – 8х + 5 = 0 найти х 1 2 + х 2 2 , не решая уравнение.

Слайд 15

Спасибо за урок


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект к уроку алгебры в 8 классе по учебнику Алимов Ш.А. ТЕМА УРОКА «Решение квадратных уравнений. Теорема Виета»

 Информационные технологии на уроках математики.Урок в системе деятельностного подхода обучения. Включает в себя слайдовую презентацию, с помощью которой можно активизировать познавательный интерес уч...

Алгебраический метод решения задач В-9 – элемент решения задач С4

В статье представлено пошаговое решение задач В9 алгебраическим способом. И применение этого способа после выработки алгоритма действий к решению задач С4. Приложена презентация, в которой представлен...

Тема 3. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА. Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также  абитуриентов к вступительным э...

Теорема синусов и косинусов.Цели урока: развивать навыки самоконтроля ,воспитывать волю и настойчивость для решения поставленной задачи. Углубить знания по теме «Теорема синусов и косинусов». Научиться применять их при решении задач. Развивать умения сра

Цели урока: развивать навыки самоконтроля  ,воспитывать волю и настойчивость для решения поставленной задачи. Углубить знания по теме «Теорема синусов и косинусов». Научиться применять их при реш...

Конспект открытого занятия курса внеурочной деятельности ««Решение задач повышенного уровня сложности»» по теме «Решение задач на работу»

Задачи повышенного уровня сложности традиционно представлены во второй части модуля «Алгебра» на государственной аттестации по математике. Задачи на совместную работу являются наиболее сложными для п...

Урок алгебры в 8 классе "Решение квадратных уравнений. Теорема Виета"

Урок алгебры в 8 классе по учебнику Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И. Шабунин ТЕМА УРОКА «Решение квадратных уравнений. Теорема Виета...