Использование производной для решения уравнений и неравенств
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Использование производной для решения

уравнений и неравенств

Сатцаева Н.Е. МБОУ лицей г. Владикавказ

При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются производными.

Пример 1.

Решим уравнение

.                                                                            (1)

Решение.

Рассмотрим функцию . Область существования этой функции есть промежуток . Функция f(x) имеет внутри промежутка Х положительную производную .

Следовательно, функция  f(x) возрастает на промежутке Х, и так как она непрерывна на этом промежутке,   то каждое свое значение она принимает ровно  в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число  удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень .

Ответ: -1.

Пример 2.

Решим неравенство

                                                                (2)

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)= . Поскольку эта функция на интервале X= имеет производную , которая положительна на этом интервале, то функция  f(x) возрастает на интервале Х. Так как функция f непрерывна на интервале Х, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. Следовательно, уравнение f(x)=0 может иметь не более одного корня. Легко видеть, что число  является корнем уравнения f(x)=0. Поскольку функция f(x) непрерывна и возрастает на интервале Х, то f(x)<0  при  x<0 и  f(x)>0 при  x>0. Поэтому решениями неравенства (2) являются все х из промежутка .

Ответ: .

Пример 3.

Выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение:

.                                                                                 (1)

Решение.

Рассмотрим функцию . Она на интервале   имеет производную .

Производная обращается в нуль точках:  и . Так как  для любого х из интервалов  и , то на каждом из промежутков и  функция  возрастает. Так как  для любого х  из промежутка  , то на промежутке функция  убывает.

Так как ,   ,  ,  и функция  непрерывна на каждом из интервалов ,   и , то на каждом из них есть единственная точка, в которой эта функция обращается в нуль. Следовательно, функция имеет три нуля, т.е. уравнение (1) имеет три действительных корня.

Ответ: три действительных корня.

Пример 4.

Решить уравнение:

                                                                                   (1)

Решение.

Обе части уравнения (1) определены на отрезке . Рассмотрим функцию          

 .

Эта функция на интервале  имеет производную

,

которая обращается в ноль в единственной точке .Так как функция  непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Они находятся среди чисел , , .

Так как , то наибольшее значение 2 на отрезке  функция достигает в единственной точке . Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень .

Ответ: 3.