Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики в главе "Случайные события" авторского курса алгебры для 9 класса Ш.А. Алимова
методическая разработка по алгебре (9 класс)

МБОУ «Курихинская ООШ»

Методическая разработка

Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики в главе «Случайные события» авторского курса алгебры для 9 класса Ш.А. Алимова

Подготовила:  Н.И. Уривская учитель математики

МБОУ «Курихинская ООШ»

п. Сарма 2018 год

Содержание

1. Пояснительная записка

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Методы комбинаторики помогают осуществить подсчет числа возможных и благоприятных исходов в разных конкретных ситуациях. Вероятностный и статистический метод применяется в самых разнообразных отраслях науки, техники и народного хозяйства.

Актуальность данной методической разработки раздела образовательной программы по математике «Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики»:

• данный раздел стал обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение;
• материал необходим для формирования функциональной грамотности:
• умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах;
• понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей;
• производить простейшие вероятностные расчеты;
• обогащается представление о современной картине мира и методах его исследования;
• изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах;
• закладываются основы вероятностного мышления

При изучении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в основной школе следует ориентироваться на следующее содержание:

Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, подсчет числа вариантов с помощью правила умножения.

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Диаграммы Эйлера. Средние результатов измерений.

Понятие и примеры случайных событий. Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности.

Представление о геометрической вероятности.

Перечисленный круг вопросов представляет собой некоторый минимум, доступный учащимся основной школы и достаточный для формирования у них первоначальных вероятностно статистических представлений. Об этом свидетельствует опыт практического преподавания соответствующего материала во многих регионах Российской Федерации. В старшем звене эта линия получит дальнейшее развитие. Для внедрения указанного содержания в практику созданы реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс. Ряд учебников содержит соответствующий материал как органическую часть курса, к другим подготовлены специальные вкладыши. Помимо этого есть публикации, раскрывающие методику преподавания названного материала, как по конкретным учебникам, так и в общем плане. Изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей целесообразно начинать в 5–6 классах или в 7 классе — в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание. Необходимое время может быть найдено за счет отказа от рассмотрения с учащимися вопросов, которые не входят в обязательный минимум содержания основной школы (корень степени n, степень с дробным показателем, метод интервалов, тригонометрический материал в курсе алгебры), но сохраняются в ряде учебников и в практике работы учителей.

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей входят в материалы для итоговой аттестации выпускников основной школы.

Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по учебным комплектам «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. В этих учебниках последовательно с 5 по 9 класс вводится вероятностно-статистическая линия. Перечисленные книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт учащихся. В 5 классе рассматриваются случайные, достоверные, невозможные события, а в 6-ом классе - эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события, школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. Для решения комбинаторных задач вводится дерево возможных вариантов, правило умножения (в 5-6 классах). В 5-6 классах начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм.

В курсе 7-8 классов рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в курсе приводится, как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями.

Важнейшей методической особенностью данных учебников является возможность реализации уровневой дифференциации, за счет широкого диапазона в уровне сложности задач, распределенных в группы А и Б, разнообразного материала, позволяющего выйти за рамки обязательного содержания. Методические особенности комплекта: мотивированное и доступное изложение материала, создание условий для формирования навыков исследовательской деятельности, для развития самостоятельности мышления.

Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей включены в учебники под ред. А.Г. Мордковича (Математика 5-6 класс), а к курсу алгебры для 7-9 классов подготовлен специальный вкладыш «События. Вероятность. Статистика» (авторы А.Г. Мордкович, П.В. Семенов). В первой части каждого параграфа на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы комбинаторики (правило умножения, перестановки, размещения, сочетания), теории вероятностей (случайные события, классическое определение вероятности, вероятность суммы событий, схема Бернулли) и статистики (многоугольники распределения данных, кривая нормального распределения, числовые характеристики выборки). Теоремы и определения формулируются только после того, как из рассмотрения практических вопросов становится ясной необходимость их введения. Во второй части каждого параграфа собраны упражнения для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ.

В «Учебниках-собеседниках» для 5-6 классов (авторы Л.Н. Шеврин и др.) стохастическая линия так же внедряется в учебный процесс. В начале 5-ого класса идет разговор о таблицах. В конце 5-го класса, где два последних параграфа посвящены достоверным, невозможным и случайным событиям, совместным и несовместным событиям, сравнению шансов наступления событий и первому знакомству с комбинаторными задачами, с деревом вариантов. Далее, в 6-м классе комбинаторные задачи включаются в систему упражнений по другим темам (например, при изучении числовых промежутков), вводится правило умножения, действия над событиями, осуществляется первое знакомство с понятием вероятности и с подсчетом вероятности, вводится вероятность суммы событий, вероятность произведения событий, понятие случайной величины и ее среднего значения.

В учебниках «Математика 5», «Математика 6» (авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд) имеется достаточное количество прикладных и математических задач на составление комбинаций из нескольких элементов; числовых ребусов; задач на перебор элементов заданного множества, на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур. Однако, как в 5 классе, так и в 6 классе отсутствуют элементы теории вероятностей. Для преподавания вероятностно-статистической линии в 5 – 6 классах по учебникам этих авторов можно использовать рекомендации М.В. Ткачевой «Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других».

Авторы пособия «Элементы статистики и теории вероятностей» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк в 7-8 рассматривают статистические характеристики, статистические исследования. Параграф об элементах комбинаторики помещен в курс 9 класса и содержит гораздо больше и теоретических сведений (вводятся соединения), и практических упражнений, чем соответствующий материал по комбинаторике в УМК под ред. Г.В. Дорофеева. Сведения из теории вероятностей (вероятность события, сложение и умножение вероятностей) тоже рассматриваются в 9-ом классе. Пособие содержит большое количество хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности.

Учебники «Арифметика» для 5-6 классов и «Алгебра» для 7-9 классов С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина содержат элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей (рассмотрен минимальный круг вопросов). В 5-ом классе рассматриваются комбинаторные задачи на существование и построение комбинаций, удовлетворяющих заданному свойству, а в 6-ом классе - задачи на перебор всех возможных вариантов, вводится понятие вероятности события, начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме графиков и диаграмм.

Вопросам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебниках алгебры для учащихся 7 – 9 классов авторского коллектива Ш.А. Алимова и других уделено мало внимания. Чтобы школьники, обучаясь по этим учебникам, приобрели вероятностно-статистическую грамотность, было выпущено пособие для учащихся «Алгебра, 7-9: Элементы статистики и вероятность» (авторы М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова).

Предлагаемые в «Сборнике задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы» (авторы С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич) материалы могут быть использованы учителями общеобразовательных школ и математических классов для организации и проведения обобщающего повторения вне зависимости от учебников и сборников задач, по которым они работают. Такая универсальность базируется на выделении основных содержательных линий, соответствующих стандарту математического образования, и отнесении каждой задачи к одной из этих линий.

Классификация задач из данного сборника, относящихся к вероятностно-статистической линии: статистическое определение вероятности, статистические характеристики, классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности, теорема сложения вероятностей, теорема умножения вероятностей, анализ табличных данных.

Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей, статистики помогает учащимся осознать, что многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, что много реальных явлений и процессов описываются вероятностными моделями. За это время возрос уровень познавательной активности учащихся; разнообразные по содержанию и по уровню сложности задания позволили выявить творческие возможности детей, нестандартность их мышления.

В своей разработке я попыталась отразить решение проблемы введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в школьный курс математики.

2. Цели и задачи раздела

Содержание обучения

Основная цель изучения раздела «Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики» - ознакомить учащихся с понятиями перестановки, размещения, сочетания и соответствующими формулами для подсчета их числа; ввести понятия относительной частоты и вероятности случайного события.

Изучение темы начинается с решения задач, в которых требуется составить те или иные комбинации элементов и подсчитать их число. Разъясняется комбинаторное правило умножения, которое используется в дальнейшем при выводе формул для подсчета числа перестановок, размещений и сочетаний.

При изучении данного материала необходимо обратить внимание учащихся на различие понятий «размещение» и «сочетание», сформулировать у них умение определять, о каком виде комбинаций идет речь в задаче.

В данной теме учащиеся знакомятся с начальными сведениями из теории вероятностей. Вводятся понятия «случайное событие», «относительная частота», «вероятность случайного события». Рассматриваются статистический и классический подходы к определению вероятности случайного события. Важно обратить внимание учащихся на то, что классическое определение вероятности можно применить только к таким моделям реальных событий, в которых все исходы являются равновозможными.

Триединая дидактическая цель раздела

«Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики»

Познавательная:

• познакомить обучающихся с понятиями перестановки, размещения, сочетания и соответствующими формулами для подсчета их числа;
• сформировать умения определять, о каком виде комбинаций идет речь в задаче;
• познакомить с понятиями относительной частоты и вероятности случайного события;
• сформировать умения применять изученные формулы для решения задач, в том числе практического содержания;
• сформировать умения вычислять вероятность и использовать формулы комбинаторики.

Развивающая:

• формировать функциональную грамотность – умение воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты;
• обогатить представление о современной картине мира и методах его исследования;
• продолжить развитие основ вероятностного мышления.

Воспитательная:

показать возможность использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

• для выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;
• для решения задач в повседневной и профессиональной деятельности;
• для сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией.

3. Психолого-педагогическое объяснение специфики восприятия и освоения учебного материала обучающимися в соответствии с возрастными особенностями

Раздел «Решение вероятностных задач с помощью элементов комбинаторики» образовательной программы по математике относится к 9 классу. Учащимся, как правило, 14 – 15 лет, это период завершения подросткового возраста.

В отечественной психологии в рамках системно-функционального подхода считается, что в подростковом возрасте центральной, или ведущей, функцией является развитие мышления, функция образования понятий. Под влиянием обучения, усвоения более обобщенных знаний и основ наук высшие психические функции постепенно преобразуются в хорошо организованные, произвольно управляемые процессы. Восприятие становится избирательной, целенаправленной, аналитико-синтетической деятельностью.

а) простые (восприятие величины, формы, цвета)

б) сложные (сочетание простых видов)

в) специальные (восприятие пространства, движения, времени)

осмысленность

обобщенность

целостность

константность

объем

Качественно улучшаются все основные параметры внимания: объем, устойчивость, интенсивность, возможность распределения и переключения; оно оказывается контролируемым, произвольным процессом.

а) непроизвольное

б) произвольное

в) послепроизвольное

объем

устойчивость

распределение

переключение

сосредоточение

Память внутренне опосредствована логическими операциями; запоминание и воспроизведение приобретают смысловой характер. Увеличивается объем памяти, избирательность и точность мнемической деятельности. Постепенно перестраиваются процессы мышления — оперирование конкретными представлениями сменяется теоретическим мышлением. Теоретическое мышление строится на умении оперировать понятиями, сопоставлять их, переходить в ходе размышления от одного суждения к другому. Мыслительные операции становятся формально-логическими, подросток умеет оперировать гипотезами, у него развиты операции классификации, аналогии, обобщения. В связи с развитием самостоятельного мышления, переходом к инициативной познавательной активности усиливаются индивидуальные различия в интеллектуальной деятельности. Особенно развиваются познавательные интересы к разным отраслям знаний. Раньше других проявляются музыкальные, художественные и литературные способности, позже математические и технические. Речь становится контролируемой, подросток любит говорить грамотно, умно, красиво.

В 14-15 лет заметно развиваются волевые черты, так как подросток ставит цель и может планировать действия. Более устойчивым становится характер, но нарушение дисциплины и эмоциональные срывы еще возможны.

Представленная выше идеальная модель того уровня психического и личностного развития, которого при благоприятных условиях (обучения и воспитания) должен достигнуть каждый подросток, реализуется далеко не всегда. В классе, практически, всегда есть подростки, которые имеют невысокий уровень общего психического развития. Познавательная потребность у них бедна и однообразна, преобладают занимательные и пассивные формы ее удовлетворения. Общекультурные интересы достаточно широки и неустойчивы. Школьники опираются на способы механического запоминания, недостаточно используя приемы смыслового запоминания. Они не владеют в достаточной мере интеллектуальными приемами и умениями (вербального анализа, обобщения, образного анализа и синтеза). Теоретическое понятийное мышление развито слабо. Личностные особенности средних школьников свидетельствуют о низком уровне саморегуляции, о выраженной школьной тревожности, неуверенности в себе, эмоциональной усталости, несоответствии уровня притязаний возможностям учащихся.

Не умея и/или не желая учиться, не понимая необходимости этого, подросток тратит много времени и сил на домашние задания, испытывает перегрузку, отсутствие радости и отрицательные чувства к учению. Причины неуспеваемости в средних классах связаны с отсутствием адекватной мотивации учения, со смещением акцентов на формальные элементы учебной деятельности.

Таким образом, решающее значение для развития теоретического мышления и логической памяти имеет организация и мотивация учебной деятельности в средних классах школы, содержание учебных программ, система методов подачи учебного материала и контроля за его усвоением.

4.Ожидаемые результаты освоения раздела программы

В результате изучения раздела «Решение вероятностных задач с помощью элементов комбинаторики» обучающийся должен:

Знать/понимать:

• понятия перестановки, размещения, сочетания и соответствующие формулы для их подсчета;
• понятия относительной частоты и вероятности случайного события;
• вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира.

Уметь:

• решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
• вычислять средние значения результатов измерений;
• находить частоту события;
• находить вероятности случайных событий в простейших случаях.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;
• распознавания логически некорректных рассуждений;
• решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
• сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
• понимания статистических утверждений.

5. Обоснование используемых в образовательном процессе образовательных технологий, методов, форм организации деятельности обучающихся

В процессе изучения материала мною используются как традиционные формы обучения, так и самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным и методическим материалом.

При обучении можно использовать стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование (имитацию).
     Предполагаются следующие формы организации обучения:
     • индивидуальная, групповая, коллективная;        
     • взаимное обучение, самообучение, саморазвитие.        
      Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности:        
     лекции,        
     консультации,        
     самостоятельную работу,        
     творческую проектную работу.        

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:
       самостоятельная работа, тесты, диагностические и тренировочные         работы в формате ГИА        

• срезы знаний, умений в процессе обучения        
          • итоговый контроль        
      Показателем эффективности следует считать повышающий интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся.

Дифференцированный подход к обучению предусматривает использование соответствующих дидактических материалов: специальных обучающих таблиц, плакатов и схем для самоконтроля; карточек – заданий, определяющих условие предлагаемого задания, карточек с текстами получаемой информации, сопровождаемой необходимыми разъяснениями, чертежами; карточек, в которых показаны образцы того, как следует вести решения; карточек-инструкций, в которых даются указания к выполнению заданий.

Как же наиболее рационально организовывать дифференцируемую работу учащихся на уроках и при выполнении домашних заданий? Можно предложить следующие рекомендации по рациональному применению дифференциального подхода.

1. Трёхвариантные задания по степени трудности – облегчённый, средний и повышенный (выбор варианта предоставляется учащемуся).
2. Общее для всей группы задание с предложением системы дополнительных заданий все возрастающей степени трудности.
3. Индивидуальные дифференцированные задания.
4. Групповые дифференцированные задания с учётом различной подготовки учащихся (вариант определяет учитель).
5. Равноценные двухвариантные задания по рядам с предложением к каждому варианту системы дополнительных заданий все возрастающей сложности.
6. Общие практические задания с указанием минимального количества задач и примеров для обязательного задач и примеров для обязательного выполнения.
7. Индивидуальные групповые задания различной степени трудности по уже решенным задачам и примерам.
8. Индивидуально-групповые задания, предлагаемые в виде запрограммированных карточек.

Еще я часто использую дифференцированный подход при изучении нового материала. Объяснив тему, и показав 2-3 примера по теме, я вызываю 3-4 человека к доске, даю им индивидуально-дифференцированное задание, класс работает параллельно с 1-2 учащимися, затем разбирается решение, идет обработка новых понятий. В заключении хочется сказать, что дифференциальный подход может быть осуществлен не любом из этапов урока:

• При закреплении.
• При проверке домашнего задания.
• При самостоятельной работе.

В своей работе главное, я считаю, (и пытаюсь это делать) – то, что необходимо создать на уроке ситуацию успеха:

• помочь сильному ученику реализовать свои возможности в более трудоемкой и сложной деятельности;
• слабому – выполнить посильный объем работы.

В процессе разноуровневого обучения главное оценивать не столько достигнутые результаты, сколько усилия ученика группа “А”- базовый уровень, определенный образовательным стандартом по всем предметам школьного цикла. Если ученик успешно достигает запланированного данным стандартом уровня знаний, умений, навыков, то и получает в соответствии с достигнутыми результатами отметки, если учащиеся претендуют на более высокий уровень знаний, то его необходимо оценивать исходя из более высоких требований к знаниям, умениям и навыкам, Чтобы добиться лучших результатов школьнику потребуется приложить больше усилий, но в соответствии с его способностями. Если оцениваются не усилия, а знания, да еще на базовом уровне, да ещё в сравнении с сильными учащимися, у средних и слабых практически нет стимула прилагать усилия для достижения лучшего результата. Только тогда, когда ученик знает, что его может понять, зачем ему стараться. Такой подход учит ребят ценить не столько сами отметки, сколько знания.

Деятельность учителя при организации разноуровневых групп состоит в:

• делении учащихся на группы (по уровню знаний, способностям)
• разработке или подборке заданий в соответствии с выявленными уровнями знаний
• оценивании деятельности учащихся.

Применение разноуровневого обучения помогает учителю достичь следующих целей:

Для первой группы (группа “А”)                 
1. Пробудить интерес к предмету путем использования заданий базового уровня, позволяющих работать в соответствии с его индивидуальными способностями. 
2. Ликвидировать пробелы в знаниях и умениях. 
3. Сформировать умения осуществлять самостоятельную деятельность по образцу.

Для второй группы (группа “В”)         
1.Развивать устойчивый интерес к предмету.         
2. Закрепить и повторить имеющиеся знания и способы действия.         
3. Актуализировать имеющиеся знания для успешного изучения нового материала. 
4. Сформулировать умение самостоятельно работать над заданием, проектом.

Для третьей группы (группа “ С”)         
1. Развивать устойчивый интерес к предмету.         
2. Сформировать новые способы действия, умения выполнять задания повышенной сложности.         
3. Развивать воображение, ассоциативное мышление, раскрыть творческие возможности, совершенствовать языковые умения учащихся.

Задачей учителя является преодоление единообразия, перенос акцента с коллектива учащихся на личность каждого из них с её индивидуальными возможностями и интересами, создание условий для развития познавательной активности и самостоятельности.

Закрепление полученных знаний на практике осуществляется в виде трёхуровневой обучающей самостоятельной работы, где учащихся сами определяют для себя уровень

Только во второй четверти делю ребят на три мобильные группы по уровням обучаемости. В первую группы входят дети с низким уровнем обучаемости, характеризующиеся беспомощностью в решении даже типовых задач, неоднократно решавшихся в классе. Во вторую группу входят ученики со средним уровнем обучаемости, характеризующиеся быстрым и прочным усвоением знаний, но затрудняющихся при решении нестандартных задач. Третью группу составляют ребята с высоким уровнем обучаемости, характеризующиеся умением решать любые познавательные задачи без помощи педагога. Группы не являются стабильными в течение всего учебного года. Условно группы названы А, В, С. В силу различных обстоятельств, учащиеся могут переводиться из группы в группу.

Стараюсь дифференцировать работу на различных этапах урока. Так, например, привлекаю учащихся к подготовке устных упражнений: группа А составляет задания на отработку вычислительных навыков; группа С – занимательные задачи. Например, при изучении темы «Уравнения» в 6-ом классе учащиеся группы А составляют задания «Найдите значения выражений»; учащиеся группы В составляют задания «Решите уравнения»; учащиеся группы С подбирают занимательные задачи. Вот одна из таких задач: «Сколько лет твоему сыну?»- спросил один человек своего приятеля. Приятель ответил: «Если к возрасту моего сына прибавить столько же да еще половину, то будет 10 лет. Сколько лет сыну?

На каждом уроке на этапе закрепления материала, как правило, набор карточек с заданиями различного уровня сложности. Периодически, при закреплении нового материала, отработке умений и навыков учащихся применяю групповую работу на уроке. Предлагаю один из вариантов такой работы. Разбиваю класс на группы по 5 человек. В каждой группе есть сильные и слабые ученики. Сильный ученик – консультант, он помогает ребятам своей группы разобраться с заданиями, вызывающими затруднения. (Консультант назначается учителем с учетом пожеланий учащихся). После группового выполнения работы каждый ученик получает индивидуальное задание, составленное и решенное консультантом и проверенное учителем накануне. Таким образом, консультант может сразу проверить карточку-задание и разобрать допущенные ошибки. В случае несогласия ученика с консультантом, учитель выступает в роли арбитра. Иногда консультант проводит сначала устный опрос по теме. Вопросник заранее получен каждым учеником, поэтому у ребят есть возможность подготовиться к теоретическому опросу. Такой опрос является своеобразным допуском к самостоятельной работе. Консультант имеет право выставлять оценки ребятам своей группы. Нормы выставления оценок оговариваются с учащимися класса заранее.

Нельзя сказать, что достигнуты большие успехи. Однако, следует отметить, что слабые дети не чувствуют себя ущемленными, они в меру своих возможностей участвуют в процессе обучения. Сильные ученики тоже заняты работой, у них нет времени для «отдыха» на уроке.

Домашнее задание не систематически, но довольно часто тоже дифференцируется. Можно рекомендовать постановку домашних заданий одним из предлагающихся способов.

1. Учащиеся сами выбирают, какие из предложенных заданий они будут решать;

2. Учащимся предлагаются задания, соответствующие уровню их подготовленности.

Происходящие сегодня в нашей стране социокультурные изменения неопровержимо показывают, что существующее образование не удовлетворяет актуальным запросам общества. Оно не в полной мере готовит молодое поколение к успешной, качественной жизни. А ведь именно такой результат образования, а не просто получение хорошего аттестата является основным свидетельством эффективности работы школы как социального института.

Сегодня основным фактором, преобразующим нашу жизнь, является информация. Темпы получения, накопления и передачи информации обеспечены развитием и широким внедрением во все сферы жизни информационно-коммуникационных технологий (ИКТ).

Образование в информационном обществе приобретает новое качество благодаря наличию информационных и телекоммуникационных технологий.

Процесс обучения – это целенаправленная совместная деятельность учителя и учащихся, направленная на решение задач образования и развития личности.

Метод обучения – это способ целенаправленной, совместной деятельности учителя и учащихся, связанной с достижением целей образования.

При изучении раздела «Элементы комбинаторики и теория вероятностей» целесообразно использовать следующие методы обучения, классифицируемые по критерию степени самостоятельности и творчества в деятельности обучаемых:

Объяснительно-иллюстративный метод обучения - метод, при котором учащиеся получают знания на лекции, из учебной литературы, через экранное пособие в "готовом" виде. Воспринимая и осмысливая факты, выводы, учащиеся остаются в рамках репродуктивного (воспроизводящего) мышления. Этот метод я использую в начале первого урока данного раздела при проведении лекции о возникновении комбинаторики и теории вероятностей.

Репродуктивный метод обучения - метод, где применение изученного осуществляется на основе образца или правила. Здесь деятельность обучаемых носит алгоритмический характер, т.е. выполняется по инструкциям, предписаниям, правилам в аналогичных, сходных с показанным образцом ситуациях. Этот метод применяю на первом уроке по теме «Вероятность равновозможных событий», когда учащиеся по формуле только учатся вычислять вероятность. Материал данного урока сложный и принципиально новый, поэтому репродуктивный метод обучения наиболее целесообразен.

Метод проблемного изложения в обучении - метод, при котором, используя самые различные источники и средства, учитель, прежде чем излагать материал, ставит проблему, формулирует познавательную задачу, а затем, раскрывая систему доказательств, показывает способ решения поставленной задачи.         

Частичнопоисковый метод обучения заключается в организации активного поиска решения выдвинутых в обучении (или самостоятельно сформулированных) познавательных задач под руководством учителя. Процесс мышления приобретает продуктивный характер, но при этом поэтапно направляется и контролируется педагогом или самими учащимися на основе работы над программами (в том числе и компьютерными) и учебными пособиями.

Метод проблемного изложения и частичнопоисковый метод результативно применяю на уроках по темам «Перестановки», «Размещения», «Сочетания».

Исследовательский метод обучения - метод, в котором после анализа материала, постановки проблем и задач и краткого устного или письменного инструктажа обучаемые самостоятельно изучают литературу, источники, ведут наблюдения и измерения и выполняют другие действия поискового характера. Инициатива, самостоятельность, творческий поиск проявляются в исследовательской деятельности наиболее полно. Данный метод применим на уроке по теме «Относительная частота случайного события»

Ни один из перечисленных методов обучения не утрачивает своего значения при обучении в информационно-образовательной среде.

На первом уроке лекцию о зарождении и становлении раздела математики «Комбинаторика и теория вероятностей» я сопровождаю презентацией об ученых, внесших вклад в становление и развитие теории вероятностей (на диске).

На уроке по проверке и коррекции знаний и умений по теме «Статистическое и классическое определение вероятности» можно использовать тест в компьютерном варианте (на диске).

Работу на уроке «Случайные, достоверные, невозможные события» можно сопроводить гипертекстом – формой организации текстового материала, при которой он представлен как многомерная сеть (на диске).

Подготовку к итоговой аттестации по данному разделу я провожу, используя презентацию «Готовимся к ГИА» (на диске).

Использование информационно-коммуникационных технологий позволяет:

• усилить мотивацию к учению;
• внести элементы новизны в традиционные уроки;
• расширить возможности представления информации (цвет, мультипликация, музыка, звуковая речь);
• строить индивидуализированное обучение на основе модели учащегося, учитывающей историю его обучения и индивидуальные особенности памяти, восприятия, мышления;
• активно включать учащихся в учебный процесс, сосредоточить их внимание на наиболее важных аспектах изучаемого материала;
• расширить наборы применяемых учебных задач;
• учащимся пользоваться большим объемом ранее недоступной информации.
  

6. Система знаний и система деятельности

- расширение круга математических задач;

- знакомство с новым разделом математики;

- процесс открытия новых понятий;

- конструирование определений;

-формулировка правил, используя эвристические методы (эксперимент, обобщение, неполная индукция);

- постановка проблемы;

- аналитико-синтетическая деятельность на всех этапах решения задач;

- прогнозирование ситуаций при решении задач применения нового правила;

- исследование результата решения задачи;

- взаимообучение;

- самоконтроль;

- рефлексия.

7. Тематическое планирование по разделу

8. Учебно-методический комплекс

1. Программа по математике для общеобразовательных учреждений, сост. Т.А. Бурмистрова, М., Просвещение, 2009
2. Учебник по алгебре 9 класс, авт. Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др., М., Просвещение, 2012
3. Элементы статистики и вероятность 7-9, авт. М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М., Просвещение, 2006
4. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей, авт. В.Н. Студенецкая
5. Сборник для подготовки к ГИА, авт. Ященко, Шестаков, М., МИОО, 2011
6. Сборник для подготовки к ГИА, авт. Лаппо, М., МИОО, 2011
7. Контрольно-измерительные материалы по алгебре 9 класс, сост. Л.Ю. Бабошкина, М., ВАКО, 2010

9. Обобщающий урок по теме «Комбинаторика» в 9 классе

Цель урока: обобщение и систематизация полученных знаний.

Задачи урока:

1. Закрепление знаний учащихся по изученным темам.

2. Развитие навыков комбинаторного мышления учащихся.

3. Воспитание творческого подхода к решению задач.

4. Развитие математических компетенций.

Результаты урока.

Учащиеся должны иметь представление:

- об основных законах комбинаторики - правиле умножения и правиле сложения;

- о перестановках и перестановках с повторениями;

- о размещениях;

- о сочетаниях;

- о факториале.

уметь:

- подсчитать количество перестановок;

- использовать правила сложения и умножения при решении задач;

- подсчитать количество размещений из n предметов по m;

- отличить сочетания от перестановок и подсчитать количество сочетаний;

- знать, что такое факториал;

- уметь на практике применять полученные знания.

1 этап. Обобщение знаний. (5 минут)

- Что такое комбинаторика? (фронтальная беседа)

- Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

- «Нужна ли нам наука комбинаторика?»

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов.

Доклад учащегося «Из истории комбинаторики».

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы

комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели

вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара

вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что

индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике,

науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с

подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких)

слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика

сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.)

французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую

главу. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах.

П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с

теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после

опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном

искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и

перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулливо

второй части своей книги "Arsconjectandi" (искусство предугадывания) в

1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в. Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двухосновных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

II этап. Математический диктант. Основные понятия и формулы комбинаторики (диктант, после устная проверка).(12 минут)

1.Определение перестановки.

2.Подсчет количества перестановок из n предметов по m.

3.Правило умножения.

4.Правило сложения.

5. Определение размещений.

6.Подсчет количества размещений из n предметов по m.

7.Сочетания. Количество сочетаний.

8.Перестановки с повторениями.

III этап. Закрепление. Решение задач (16 минут)

Примеры:

          1. Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг?

2. Сколькими способами можно выбрать 2-х дежурных из нашего класса

в 23 человек.

3. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2,

3, 4?

4. Каких чисел больше среди первых 100, натуральных чисел: содержащих в своей записи цифру 7 или нет?

Понятие размещений из n элементов по m.

Пример 1. Даны цифры 1, 2, 3, 4 .

a) Сколько различных двузначных чисел можно составить из них?

(цифры не повторяются, т.е. выбранная цифра назад не возвращается)

Эти числа можно назвать:

12 21 31 41

13 23 32 42

14 24 34 43

На первое место выбираем любую из четырёх цифр – 4 способа,

для цифры единиц берём одну из трёх оставшихся цифр – 3 способа.

Каждому выбору цифры десятков соответствует три выбора цифры единиц. Всего 4×3=12 двузначных чисел.

б) А сколько трёхзначных чисел?

Если первые 2 цифры выбраны количеством способов 4×3=12, то третью цифру выбираем из двух оставшихся. Всего способов составить трёхзначное число 4×3×2=24

Вот эти числа:

123 124 312 314

132 134 321 324

142 143 341 342

213 214 412 413

231 234 421 423

241 243 431 432

Если есть n элементов, то размещениями из n элементов по к (к ≤ n) называются выборки, отличающиеся друг от друга или составом элементов, или их порядком.

Количество размещений обозначается: 

Перестановки

Произведение первых n натуральных чисел называется n-факториал и

обозначается1×2×3×…n = n!

Пример:

3! = 3×2×1 = 6

4! = 4×3×2×1 = 24

Определение

Размещения из n по m элементов, содержащие все n элементов и отличающиеся только порядком элементов называются перестановками из n элементов.

Их количество обозначается 

Задачи:

1) Составить все перестановки из элементов {a,b,c}

Их P3 = 3! = 1×2×3 = 6

abcbaccab

acbbcacba

2) Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Москва»?

(буквы не повторяются)

P6 = 6!= 720

3) Сколькими способами можно раскрасить тремя различными красками три каких-либо клетки квадратной сетки 4×4?

Всего 16 клеток, красим 3 различными красками.

4) Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг?

P5 = 5!= 1× 2× 3 × 4× 5 = 120

Правило произведения

Начнём с задач:

1) Сколько имеется трёхзначных чисел, кратных 5?

Решение:

Обозначим трёхзначное число abc.

Так как на первом месте не может стоять c,

то a ∈{1,2,3,…9}; b ∈{0,1,2,…9};

Т.к. abc кратно 5, то c ∈{0;6}

На первое место выбираем одну из 9 цифр, на второе из 10. Каждому выбору a соответствует 10 выборов b, поэтому ab можно выбрать 9×10 способами. Каждому выбору ab соответствует 2 выбора c, поэтому abc можно выбрать 9×10×2=180 способами.

2) Сколькими способами можно разложить 6 монет по трём карманам?

Решение:

Множество карманов обозначим {k1,k2,k3}. Для каждой монеты из 6

имеющихся нужно осуществить выборки одного из трёх карманов.

Всего способов 3×3×3×3×3×3=36=729

Правило

Если имеем m множеств

{a1,a2,...an}, {b1,b2,...bn2}, {c1,c2,...cnm}

Составляем всевозможные m-элементные выборки, беря по одному элементу из каждого множества. Тогда количество таких выборок находится по правилу произведения: n×n2×…×nm.

3) В магазине «Всё для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца.

Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Решение:

Выбираем одну из 5 чашек, к ней подбираем одно из трёх блюдец.

Число комплектов 5×3=15.

4) Там же есть ещё 4 вида ложек. Сколькими способами можно купить

Чашку с блюдцем и ложку?

Решение:

Аналогично к комплекту чашки с блюдцем добавим одну из четырёхложек. Всего 5×3×4=60 способов.

Сочетания

Если выборки составляются без учета порядка, а учитывается только состав выборки, то такие выборки называются сочетаниями.

Определение.

Выборки, содержащие m элементов из n данных и отличающиеся только

составом (без учета порядка) называются сочетаниями из n элементов поk

элементов. Их количество

Задачи.

1. Составить все сочетания из элементов множества {a,b,c} по 2

Решение: {a,b};{a,c};{b,c} - их 3

2. Для 5 сотрудников имеются три путевки: в Крым, на Алтай, на Кавказ. Сколькими способами их можно распределить?

Решение: Т.к. маршруты различны, то выборки из 5 по 3, отличаются и

составом и порядком. Значит это размещения.

 = 5∙ 4 ∙ 3 = 60

3. Для 5 сотрудников имеются три путевки на Кавказ. Сколькими способами их можно распределить?

Решение:

Все три маршрута одинаковы – на Кавказ. Внутри выборки порядок роли не играет, только состав. Значит, имеем сочетания.

 = (5 ∙4∙ 3) : (1∙ 2 ∙3) = 60 : 6 =10.

4. Из 29 учащихся класса нужно выделить 7 человек для уборки территории? Сколько способов выбора?

Решение:

III этап. Фронтальная работа с классом. (10 минут)

Решение задач с выбором ответа.

1. Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в 4-хместной каюте?

( 24; 4; 16 )

2. Четыре человека обменялись рукопожатиями. Сколько было всего рукопожатий?

( 4; 6; 8 )

3. Сколько бригад по 3 человек в каждой можно составить из 7 человек для отправки на особое задание?

( 210; 35; 24)

4. Определить число диагоналей 5-тиугольника.

( 5; 10; 20 )

5. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам олимпиады, если число команд 15?

( 9; 210; 105)

6. В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд мясо, котлеты и рыбу. На сладкое — мороженое, фрукты и пирог. Можно выбрать одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Сколько существует различных вариантов обеда?

( 3; 6; 9)

7. Трое господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу? (1; 3; 6)

IV этап. Выводы. Самостоятельная работа Домашняя работа. (2 мин)

Проверочная работа

1 вариант

1. Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

2. Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

2 вариант

1. В школьном хоре имеется пять солистов. Сколько есть вариантов выбора двух из них для участия в конкурсе?

2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Ответы.

1 вариант 2 вариант

Обобщающий урок по теме: «Элементы комбинаторики»

Цели:

воспитательная задача: воспитание таких качеств личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.

развивающая задача:

развитие самостоятельности учащихся в обучении;

обучающая задача:

обобщить и систематизировать знания по теме;

Оборудование: книга, индивидуальные карточки, презентация, таблица «Основные формулы комбинаторики».

В настоящее время элементы статистики и теории вероятностей включены в государственный стандарт основной школы. Решение комбинаторных задач способствует развитию логического мышления, расширению кругозора, формированию математической культуры учащихся, возможности использования математических методов и технологий статистической обработки в различных исследованиях.

« Умение решать задачи – такое практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения».

Дъёрдь Пойа

Ход урока.

I. Организационный момент, постановка целей урока.

II. Сообщение темы урока.

III. Повторение и систематизация знаний. 
Презентация (слайды 4-7);

IV. Формирование умений и навыков. 
Презентация (слайды 9-15);

V. Проверка усвоения материала: 
Сформулируйте основные комбинаторные правила, формулы. 

VI. Подведение итогов, задание на дом. 
Презентация (слайд 16-18).