Исследовательская работа по математике "Статистический портрет родного края в задачах на проценты"
занимательные факты по алгебре (7 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Рабочеостровская средняя общеобразовательная школа»

Кемского муниципального района

Статистический портрет родного края                                   в задачах на проценты

(исследовательская работа по математике).

Выполнила:            

Кустова Екатерина Валерьевна,

ученица 7 «а» класса

 Рабочеостровской СОШ.

 Руководители:

Ольшанникова Марина Ивановна,

 учитель математики

Головина Светлана Геннадьевна,

учитель истории.

П. Рабочеостровск, 2014 г.

АННОТАЦИЯ.

   Основной целью исследовательской работы по математике является составление задач на проценты, исходными данными для которых послужили собранные автором статистические материалы о республике Карелия и городе Кеми.

    Были поставлены следующие задачи: собрать статистические материалы о нашем крае и городе, проанализировать и систематизировать изученный материал, повторить все изученные типы задач на проценты, составить задачи на проценты по каждому из пяти типов, используя собранные статистические данные.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Введение…………………………………….…………………….……………..…………......4

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ……………………………...………….……..…......5

1.1.Что понимают под словом «проценты»……….………..………………...................…..5

1.2.Историческая справка………………………….……..……………………….………..…5

ГЛАВА2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ……………………………………………..…...……6

2.1. Первый тип задач – нахождение процентов от числа…..………………….….....…..…6

2.2. Второй тип – задачи на нахождение числа по значению его процентов….…………..6

2.3. Третий тип –задачи на вычисление, сколько процентов составляет одно число от                                                          другого…………………………………………………………………….….………….……..6

2.4. Четвёртый тип – задачи на определение, на сколько процентов произошло изменение    величины…………………………………………………………………………………..…...7

2.5. Пятый тип – задачи на концентрацию………………………...…....………............…..7

2.6. Схематический способ решения задач на проценты……...………………….…...….…7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………..........….8

Список используемых источников………………….…………………………………..….....9

Приложение І…………………………………………………………………..………..…......10

Приложение ІІ…………………………………………………………………...……..…...….14

Приложение ІІІ…………………………………………………………………….……...…....15

Введение.

Задачи на проценты занимают важное место в обучении математике, они включены в ГИА и ЕГЭ.

С задачами на проценты люди сталкиваются в повседневной жизни. Но, к сожалению, в учебниках математики недостаточно подобных задач.

В своей работе я попыталась решить эту проблему, составив собственные задачи на проценты всех типов. Исходными данными для задач послужили собранные мной  статистические материалы о родном крае. Мне кажется, ученикам будет интересно узнать что-то новое о своей малой родине.

Цель работы – составление сборника задач на проценты для учащихся 6 – 7 классов о нашем крае и городе.

Задачи исследования:

1. собрать статистические материалы о нашем крае и городе;
2. проанализировать и систематизировать изученный материал;
3. повторить все изученные мною в 6 – 7 классе типы задач на проценты;
4. составить задачи на проценты по каждому из пяти типов, используя собранные статистические данные.

  Объекты исследования:

1. Республика Карелия;
2. Кемский район.

   Методы исследования:

1. работа с периодической печатью, книгами, сайтами Интернета о Карелии, Кеми;
2. анализ и систематизация статистических данных;

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1.  Что понимают под словом «проценты»

Нам часто приходится сталкиваться в СМИ  со словом «процент».

Например:

в выборах приняло участие 67 процентов жителей города;

стоимость проезда  в городском транспорте повысилась на 50 процентов;

рейтинг передачи «Умники и умницы» составляет 30 процентов.

   Что же понимают под словом «процент»?

Процентом от некоторой величины называется одна сотая её часть.

Поэтому, чтобы найти один процент от величины, нужно разделить эту величину на 100.

Например:

1 процент от 1 км составляет 10 м, действительно, 1 км = 1000 м, а 1000 ÷ 100 = 10.

   Для слова «процент» в математике есть специальный знак: %.

2.  Историческая справка

   Слово "процент" происходит от латинского "procentum", что буквально означает "за сотню" или "со ста". Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией.

   Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римский сенат даже должен был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

  Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 г. Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе - особой записи десятичных дробей.

Знак "%" происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

В практической части работы рассматриваются решения основных типов задач на проценты и приводятся примеры на основе статистических данных республики Карелии и  Кемского района.

 2.1. Первый тип задач – нахождение процентов от числа. Суть решения таких задач сводится к следующему:

- перевести проценты в десятичную дробь;

- умножить данное число на дробь.

Пример: В Карелии проживает 636932 человека. Известно, что карелы составляют 7% от всего населения. Сколько карелов проживает на территории Карелии? Ответ округлите до целых.

Решение:

7% - 0,07

636932 × 0,07 = 44585,24 ≈ 44585 (чел.)

Ответ: в Карелии проживает 44585 карелов.

  2.2. Второй тип – задачи на нахождение числа по значению его процентов. Для решения такого типа задач необходимо:

- перевести проценты в десятичную дробь;

- разделить число на дробь.

Пример: Река Кемь протяженностью 385 км занимает второе место в Карелии – это составляет 92,2% от протяженности реки Водла. Чему равна протяженность реки Водла? Какое место в Карелии по протяженности занимает река Водла?

Решение:

96,2% - 0,962

 385 ˸ 0,962 ≈ 400 (км)

Ответ: 400 км, первое место.

2.3.Третий тип –задачи на вычисление, сколько процентов составляет одно число от                                                          другого. Для их решения необходимо:

- найти отношение двух чисел, то есть какую часть составляет одно число от другого;

- перевести полученную дробь в проценты, то есть умножить на 100.

Пример: В Карелии всего 60000 озёр, а в Кемском районе их насчитывается около 500. Сколько процентов от всех озёр Карелии составляют озёра Кемского района?

Решение:

500 ˸ 60000 ≈ 0,008 – 0,8%

Ответ: 0,8%

2.4. К четвёртому типу относятся задачи на определение, на сколько процентов произошло изменение величины. Для решения этого типа задач необходимо:

- найти разницу величин;

- взять отношение двух величин (отношение разности к первоначальному значению);

- перевести дробь в проценты.

Пример:В Карелии в 1995 году средняя продолжительность жизни населения  составляла 60,8 года, а в 2010 году – 66,4 года. На сколько процентов повысилась средняя продолжительность жизни жителей Карелии за 15 лет?

Решение:

1. 66,4 – 60,8 = 5,6 (лет) – на столько лет увеличилась продолжительность жизни.
2. 5,6 ː 60,8 = ≈ 0,09 – 9%

Ответ: на 9% повысилась средняя продолжительность жизни жителей Карелии за 15 лет.

2.5. К пятому типу относятся задачи на концентрацию. Чтобы найти концентрацию получившегося раствора необходимо:

- найти отношение массы чистого вещества к массе всего раствора;

- перевести полученную дробь в проценты.

Пример:Сколько процентов соли содержится в морской воде, если в двухсотграммовом стакане содержится 10 г соли?

Решение:

10 ÷ 200 = 0,05

0,05 – 5%

Ответ: 5% соли содержит морская вода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

- В своей работе я рассмотрела пять основных типов решения задач на проценты.

- Первый тип задач – нахождение процентов от числа.

- Второй тип – задачи на нахождение числа по значению его процентов.

- Третий тип –задачи на вычисление, сколько процентов составляет одно число от                                                          другого.

- К четвёртому типу относятся задачи на определение, на сколько процентов произошло изменение величины.

- К пятому типу относятся задачи на концентрацию.

- Решение всех типов задач на проценты развивает смекалку, сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, позволяет воспитывать логическую культуру, формирует умения и навыки для решения практических задач.

- Работа с данными задачами позволяет зримо увидеть родную республику, даёт наглядный образ жизни её населения, а также включает в себя множественные межпредметные связи.

- Данная исследовательская работа может служить материалом для использования учителями на уроках, на факультативных курсах и хорошим пособием для подготовки учащихся к выпускным экзаменам.

- Я хотела бы продолжить составление сборника задач других видов (например, задачи на движения) по статистическим материалам родного края.

Список использованных источников.

1. Баркина В.С. Кемь. / В.С. Баркина – Петрозаводск: «Карелия»,1980 – 126 с.
2. Дацык О.Н. Методика обучения решению текстовых задач. / О.Н. Дацык. – Петрозаводск: ГОУ ИПК РО, 2001 – 70 с.
3. Дорофеев Г.В. Алгебра 7 класс. /Г.В. Дорофеев -  Москва: «Просвещение»,

2013 – 287 с.

4. Дорофеев Г.В. Математика для 6 класса. / Г.В. Дорофеев – Москва: «Просвещение», 2006 – 314 с.
5. Немкович Е.Г. Республика Карелия. / информационно-справочное пособие / - Петрозаводск: «Карелия», 1999 – 199 с.
6. Нурк Э.Р. Математика для 6 класса. / Э.Н. Нурк – Москва: «Просвещение»,

 1991 – 224 с.

7. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. / А.П. Савин - Москва: «Педагогика», 1989. – 416 с.
8. http://netnotes.narod.ru
9. www.abo.ru
10. www.mavriz.ru
11. www.konkurs.dnttm.ru
12. www.isse.dnttm.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ І.

2.1. Статистические данные родного края.

   Республика Карелия – субъект Российской Федерации, входит в состав Северо-Западного федерального округа. Административный центр (столица) – город Петрозаводск. Территория Карелии – 180,5 тыс.км². Население республики в 2010 году составило 643,6 тыс. человек.  Республика Карелия включает в себя 18 административных единиц, в том числе: 2 городских округа (Петрозаводский и Костомукшский), 16 муниципальных районов, в состав которых входят: 24 города и 86 сельских поселений.

2.1.1.  Данные о территории и населении районов Карелии:

2.1.2. Общие данные о населении республики.

   За последние 15 лет население Республики Карелия уменьшилось приблизительно на 80000 человек. По итогам переписи населения России, которая прошла в октябре 2010 года численность постоянного населения края по сравнению с переписью населения 2002 года уменьшилась на 71 тысячу человек и составляла 643,6 тысяч человек. Сохраняется естественная убыль, и продолжается процесс «старения» населения.

- численность:

- рождаемость (число родившихся на 1000 человек населения):

- смертность (число умерших на 1000 человек населения):

- ожидаемая продолжительность жизни при рождении (число лет):

- Всего населения: 643 548 (2010 г.), 716 281 (2002 г.)                                                                                     - Городское: 502 217 (2010 г.), 537 395 (2002 г.)                                                                                               - Сельское: 141 331 (2010 г.), 178 886 (2002 г.)                                                                                                  - Мужчины: 293 244 (2010 г.), 331 505 (2002 г.)                                                                                              - Женщины: 350 304 (2010 г.), 384 776 (2002 г.)

2.1.3. Флора и фауна.

   Большую часть территории Карелии (148 000 км² или 85%) занимает государственный лесной резерв. Общий запас лесных ресурсов – 807 млн. м³. В Карелии насчитывается около 27000 рек, из которых самые крупные: Водла (400 км) и Кемь (385 км) и около 60000 озёр. Ладожское и Онежское являются самыми большими в Европе. В совокупности с болотами они насчитывают около 2000 км³ качественно свежей воды.

   В процентном соотношении в недрах республики имеются:                                                                        - твердые полезные ископаемые – 7,2%;                                                                                              - торфяные месторождения – 89,1%;                                                                                                    - месторождения подземных вод хозяйственно-питьевого назначения – 3,2%;                              - месторождения минеральных вод – 0,5%

   Ресурсы недр Карелии также включают 489 разведанных месторождений:                                - 31 вид твёрдых полезных ископаемых,                                                                                              - 386 торфяных месторождений,                                                                                                             - 14 месторождений подземных вод хозяйственно-питьевого значения,                                          - 2 месторождения минеральных вод,                                                                                                  - 10 официально признанных и свыше 200 учтенных геологических памятников.

   Фауна Карелии относительно молодая, она сформировалась после Ледникового периода. Всего на территории республики обитают 63 вида млекопитающих, 285 видов птиц и 5 видов пресмыкающихся.

ПРИЛОЖЕНИЕ ІІ.

Задачи первого типа – нахождение процентов от числа.

1.  Площадь Карелии составляет 180500 км², а 25% её территории – водная поверхность. Какую площадь Карелии занимает водная поверхность?
2. Площадь территории Российской Федерации, которая покрыта лесами, составляет  примерно 766млн.га. Лесные ресурсы республики Карелия занимают 1,2% от лесной площади России. Чему равна площадь лесного массива в нашей республике? Результат округлите до десятых.
3. В Карелии 60000 озёр. В 12% из них встречаются ценные виды рыб, такие как лосось, сёмга, хариус. В каком количестве озёр Карелии можно встретить этих рыб?
4. Площадь Карелии – 180500 км². Чему равна площадь Кемского района, если она составляет 4,4% от площади Карелии?
5. Городское население Кемского района составляет 71% от общей численности населения района. Чему равна численность горожан и сельскихжителей, если известно, что всего в районе проживает 18604 человека?
6. В 2010 году в Карелии проживало 643548 человек. Из них 78% - в городах. Какова была в указанном году численность городского и сельского населения в нашей республике?
7. В красную книгу Карелии занесено 36 видов птиц, что составляет 12,6% всех видов птиц республики. Сколько всего видов птиц обитают в Карелии?

Задачи второго типа – нахождения числа по процентам.

1. Территория Кемского района – 7 950 км². Это составляет 4,4% площади всей Карелии. Чему равна площадь республики?
2. Население Кемского района составляет 2,9% от всего населения республики. Чему равна численность населения Карелии, если в районе проживает 18604 человек?
3. Большую часть территории Карелии – 148000 км² занимает государственный лесной резерв. Это составляет 82% всей площади республики. Чему равна площадь Республики Карелия?
4. В республике охраняемые природные территории и объекты занимают 4,4% её площади. Их общая площадь – 794,7 тыс.га. Найдите площадь Карелии.

Третий тип задач - вычисление процентов одного числа от другого.

1.  В Карелии созданы 2 национальных парка – Водлозерский и Панааярви. Карельская часть Водлозерского парка составляет 130,5 тыс.га, а площадь Паанаярви – 103,3 тыс.га. Какой процент от всей площади Карелии – 18050 тыс.га –составляют Национальные парки?
2. На территории республики встречается 17 видов дикорастущих ягодных растений. Угодья клюквы и морошки составляют 660 тыс.га. Общая площадь Карелии – 18050 тыс.га. Какой процент всей площади республики составляют угодья клюквы и морошки?
3. В Карелии в настоящее время существует два заповедника – «Кивач» и «Костомукшский» общей площадью 58,05 тыс.га. Какой процент территории всей республики – 18050 тыс.га – занимают заповедники?
4. Численность населения Кемского района равна 18 604 человека, число сельских жителей – 5486 человек. Какой процент составляет сельское население от общей численности населения района?
5. По переписи населения России на 2010 год в Карелии насчитывалось 293 244 мужчин и 350 304 женщин. Сколько процентов от всей численности населения – 643 548 человек – составляли мужчины, а сколько женщины?
6. Фауна Карелии представлена 353 видами животных; из них 63 вида млекопитающих, 285 видов птиц и 5 видов пресмыкающихся. Сколько процентов от общего числа животных составляют млекопитающие, птицы и пресмыкающиеся?

Четвертый тип - задачи на определение изменения величины в процентах.

1.   В 2000 году численность населения Карелии составляла 735 462 человека, в 2013 году уменьшилась до 636 932 человека. На сколько процентов уменьшилась численность населения Карелии?
2. В 2000 году в республике родилось 6 104 малыша, а в 2012 году количество родившихся детей увеличилось до 7996. На сколько процентов увеличилось число родившихся детей?
3. В 2002 году мужчин в Карелии насчитывалось 331505 человек, а женщин – 384 776. В 2010 году число мужчин и женщин уменьшилось соответственно до 293 244 и 350 304 человек. На сколько процентов уменьшилось численность мужчин и женщин?
4. В 2002 году в Карелии  городского населения составляло 537 395 человек, а сельского – 178886 человек. В 2010 году число горожан уменьшилось до 502 217 человек, а сельских жителей стало 141331. На сколько процентов за эти годы уменьшилось городское и сельское население республики?

Пятый тип задач – задачи на концентрацию.

1. Максимальная концентрация соли в Белом море составляет 3,1%. К 200 г раствора морской воды добавили 100 г воды из реки Кемь. Какова концентрация получившегося раствора?
2. Минимальная концентрация соли в Белом море составляет 2,6%. Сколько соли в стакане морской воды (200 г)? Какое количество морской воды надо взять, чтобы в ней содержалось 100 г соли?
3. Смешали 10 кг воды из Белого моря (концентрация соли 2,6%) с 10 кг  воды из Баренцева моря (концентрация соли 3,5%). Каково процентное содержание соли в полученном растворе?
4. В 100 г воды из Белого моря содержится 2,6% соли. Вода подверглась выпариванию и стала содержать 3%. Какова масса полученной трехпроцентной воды?

Иные способы: Качество питьевых и природных вод оценивается комплексом химических, физико-химических и санитарно-бактериологических показателей, определяемых соответствующиманализом. Существуют специальные нормы содержания различных веществ в питьевой воде. Они называются ГОСТы. В таблице приведены некоторые нормы показателей качества воды.

Исследовательской  группой были отобраны пробы воды и проведен контроль её качества. В таблице представлены результаты исследования.

1)Из какого источника вода соответствует всем нормативам качественной питьевой воды?     2)Во сколько раз количество фтора в воде Родника больше, чем количество фтора в Ладожском озере?                                                                                                                                 3) Сколько процентов составляет жесткость воды реки Кемь от максимально допустимого норматива жёсткости?                                                                                                                          4) Сколько процентов составляет кислотность воды в Ладожском озере от максимально допустимого норматива кислотности?                                                                                                5) Во сколько раз количества железа в Ладожском озере больше, чем в реке Кемь?

ПРИЛОЖЕНИЕ III

Ответы.

Первый тип: 1) 45125 км²;  2)  ≈ 9,2 млн.га;3) 7200 озёр; 4) 7942 км²;  5) 13209 городского населения, 5395 – сельского; 6) 501967 городского населения, 141581 – сельского;                   7) 285 видов птиц.

Второй тип: 1) 180 500 км²; 2) 643,6 тыс.человек; 3) 180 500 км²; 4) 18050 тыс.га.

Третий тип: 1) 1,3%; 2) 4%; 3) 0,32%; 4) 29%; 5) 45,6% мужчин, 54,4% женщин;                      6) 18% млекопитающие, 81% птицы, 1% пресмыкающиеся.

Четвертый тип: 1) на 13%; 2) на 31%; 3) на 12% мужчины, на 9% женщины;                            4) на 7% городское, на 21% сельское население.

Пятый тип: 1) 2%; 2) 5,2 г соли, 3846 г морской воды; 3) 3%; 4) 87 г.

Иные задачи:1) из Родника; 2) в 6,9 раз; 3) 45%; 4) 78%; 5) в 2 раза.