Опорный конспект по теме "Применение тригонометрических формул"
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Преобразование тригонометрических выражений.

I. Основные тригонометрические  тождества               II. Формулы суммы и разности аргументов

sin2x + cos2x = 1                                                            sin (x + y) = sinxcosу  + siny cosx

tgx = sinx          ,   x ≠π + πn, n∈Z                                      cos (x + y) = cosx cosy +   sinx siny

         cosx                   2                                                            tg (x +y) =  tg x + tgy

ctgx = cosx  ,   x ≠ πn, n∈Z                                                                  1+ tgx tgy

          sinx

tgx ∙ ctgx = 1

1 + tg2 x =     1                                                           III. Формулы двойного аргумента 

                   cos2 x                                                                   sin2x = 2sinxcosx

1 +  ctg2 x =   1                                                                         cos2x = cos2x – sin2x

                 sin2x                                                                   tg2x =      2tgx                                 

                                                                                                              1 – tg2x

V. Сумма и разность тригонометрических функций                      IV. Формулы понижения степени

sinx + siny = 2sin x+y   cos x-y                                                              sin2x = 1 – cos2x

                         2             2                                                                                   2

sinx - siny = 2sin  x-y   cos  x+y                                                             cos2x = 1 + cos2x

                         2               2                                                                                                         2

cosx + cosy = 2cos  x+y   cos   x-y                                            VII.    А sinx + B cosx = C sin (x +t),

2. 2                                                                                                                                             

cosx -cosy = -2sin  x+y   sin  x-y                                                                 где С = √А2 + В2,  

                           2               2                                                      t – вспомогательный аргумент

VI. Преобразование произведений

тригонометрических функций в сумму 

sinx siny =  cos(x-y) – cos (x+y)

                        2

cosx cosy =  cos(x+y) + cos (x-y)

                        2

sinx cosy =  sin(x+y) +sin (x-y)

                        2

Примеры.

I.  1) sint = 3 ; 0π.     Найдите cost,  tgt,  ctgt.

                  5                 2

sin2t + cos2t =1.

cos2t = 1 -  sin2t.

cos2t = 1 -    3  2 =  16,   так как  0π     то cost >0. Значит cost = 4

                 5                25                       2,                                       5.

tgt =  sint  ;     tgt =     3  :   4    =   3

         cost                 5      5         4.

tgt · ctgt = 1;     ctgt =     1     ;            ctgt  =  4

                             tgt                                 3.

Ответ: cost =  4 ;   tgt =   3   ;   ctgt =  4

                5              4                   3.

II.  1) Вычислить   

          сos75° = cos (45° + 30°) = cos45°cos30° – sin45°sin30° = √2  . √3  - √2 . 1   = √ 6 - √2

                                                                            2            2         2    2                 4.

2) sin48°cos12° + cos48°sin12° = sin (48° + 12°) = sin60°  =  √3

                                                                          2.

                                                              1

3) tg15° = tg(45°  - 30°) = tg45° – tg30°       = 1 -    √3    =     √3-1       =

                                 1+ tg45° tg30°          1+ 1∙ 1          √3 +1    

                                                               √3

= (√3-1)( √3-1)  = 3 – 2 √3 + 1  = 4 - 2√3  = 2(2 -√3)  = 2 - √3.

   (√3+1)( √3-1)           3-1               2                           2

III. 1) Сократить дробь.

1 + sin2x  = sin2x + 2sinxcosx+cos2x   =            (sinx+cosx)2                     =      cosx + sinx

   сos2x            cos2x – sin2x               (cosx – sinx) (cosx + sinx)         cosx – sinx.

2) Вычислить:

  cos2 π  - sin2 π   = cos  2 ∙ π   = cos π  = √2            

          8            8                  8              4      2.

 3) Найти tg2x,  если cosx =  0,6;  x∈ (3π/2  ;  2π)

tg2x =  2tgx                tgx = sinx

        1-tg2x;                          cosx.

sin2x + cos2x =1;   sin2x = 1 – cos2x;

sin2x = 1 – 0,62 = 0,64.   Так как x∈ (3π/2  ;  2π), то sinx <0, значит sinx = - 0,8         

tgx = -0,8  = -  4 ;   tg2x =  2 ∙   -4      =  24

          0,6         3                          3                  7

                                1-  4   2                                   24                                              

                                     3                     Ответ:        7

IV. 1) Найти  cos  x/2 ;  если cosx =  -5/13;  x∈ ( π/2  ;  π)

                                                          2

cos2x=  1 +cos2x   , тогда  cos2 (x/2) =  1 + cosx

               2                                             2

 сos2 (x/2) = 1 - 5

                         13    =  4           по условию  π/2 < х < π ,

   2           13 ;                          

значит  π   < х < π ,    т.е. cos x   > 0, значит,     cos (x/2) =   2

              4       2     2                                                   √13.        Ответ: 2/√13.

V. 1) Решить уравнение:               sin5x + sinx = 0.

2sin 3xcos2x = 0.

sin3x = 0             или           cos2x = 0.

3x = πn, n∈Z                        2x = π/2+πn, n∈Z.

  x = πn/3,        n∈Z.                x = π/4+  πn/2 , n∈Z.        Ответ: πn/3, n∈Z;  π/4+  πn/2 , n∈Z.        

VI. 1) Записать в виде суммы произведение

sin5x cos3x =   sin(5x + 3x) + sin (5x – 3x)  =  sin8x + sin2x

                                 2                                       2

VII. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  у = 5sinx – 12cosx

y = 5sinx – 12cosx;  A = 5;  B = -12;  C = √52+(-12)2 = 13

5sinx – 12cosx = 13sin (x + t)

Рассмотрим функцию у = 13sinφ, где φ = x + t.

                -1 ≤ sin φ ≤ 1

                -13 ≤ 13sin φ ≤13.       у наиб.=13; у наим.= -13