Презентация к уроку математики в 11 классе по теме: "Логарифмы"
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

y=log 2x-1 (x 2 -2x-7) Log 3 24-log 2 2x x x =cos30x Логарифмические уравнения и неравенства. Методы решения

Слайд 2

Exit Логарифм Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Слайд 3

Что такое логарифм ? log a b=c  a c =b Основное логарифмическое тождество

Слайд 4

Основные свойства логарифмов 1) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 ( a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0). Замечание. Если N 1· N 2 > 0, тогда свойство примет вид log a N 1 · N 2 = log a | N 1 | + log a | N 2 | ( a > 0, a ≠ 1, N 1· N 2 > 0). 2) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя ( a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0). Замечание. Если , (что равносильно N 1 N 2 > 0) тогда свойство примет вид ( a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

Слайд 5

3) Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: log a N k = k log a N ( a > 0, a ≠ 1, N > 0). Замечание. Если k - четное число ( k = 2 s ), то log a N 2 s = 2 s log a | N | ( a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0). 4) Формула перехода к другому основанию: ( a > 0, a ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, b > 0), в частности, если b = c , получим ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).

Слайд 6

1) Найдите числовое значение выражения a ) log 5 25 ; б) Log 1/3 27; в) Log 9 27 . 2) Вычислите: а) 5 log 5 16 ; б) 3 5 log 3 2 ; в) 9 log 3 12 .; Г) Log 10 5 + log 10 2; д) Log 8 12 – log 8 15 + log 8 20 3) Решите уравнение: а) log 3 (1-2x)=1 б) log 3 2x= 2 в) log 1/6 ( 7 x -9 )= log 1/6 Х 3) Решите неравенство:

Слайд 7

x y a y=log a x y=a x y=x

Слайд 8

Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0< x 1 < x 2 => log a x 1 < log a x 2 ), а при 0< a <1, - строго убывает (0< x 1 < x 2 => log a x 1 >log a x 2 ). log a 1 = 0 и log a a = 1 ( a > 0, a ≠ 1). Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+ ), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x Î (1;+ ). Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.

Слайд 9

x y y=log a x 1 1 a y x y=log a x -1 1 a a>1 0

Слайд 10

2) log a f ( x ) = log a g ( x ) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением . Логарифмические уравнения log a x = b . 1) Простейшее логарифмическое уравнение Решением является x=a b f ( x ) = g ( x ) , g ( x ) >0, f ( x ) >0. f ( x ) = g ( x ) , g ( x ) >0, f ( x ) = g ( x ) , f ( x ) >0.

Слайд 11

4) log h ( x ) f ( x ) = log h ( x ) g ( x ) f ( x ) > 0, h ( x ) ≠ 1, h ( x ) > 0, f ( x ) = g ( x ), g ( x ) > 0. h ( x ) ≠ 1, h ( x ) > 0, f ( x ) = g ( x ), Потеря решений при неравносильных переходах log a f ( x ) = log a g ( x ) < = > f ( x ) = g ( x )

Слайд 12

Методы решения логарифмических уравнений Использование определения логарифма log a b = c  b = a c Пример log 2 (5 + 3log 2 ( x - 3)) = 3 Решение 5+ 3log 2 (x-3)=2 3  log 2 ( x - 3) = 1   x=5

Слайд 13

Методы решения логарифмических уравнений Использование свойств логарифма log a b = c  b = a c Пример log 3 x + log 3 ( x + 3) = log 3 ( x + 24), Решение О.Д.З.: x>0, x(x+3)=x+24  x 2 + 2 x - 24 = 0   x={-6;4}  x>0   x=4

Слайд 14

Методы решения логарифмических уравнений Метод подстановки f(log a x)=0   t=log a x f(t)=0 Пример lg 2 x - 3lg x + 2 = 0 Решение lg x = t lgx=1 t 2 -3t+2=0  lgx=2   x={10;100}

Слайд 15

Пример 5 lg x = 50 - x lg5   5 lg x = 50 - 5 lg x  5 lg x = 25   x=100

Слайд 16

Методы решения логарифмических уравнений Уравнения, содержащие выражения вида Пример Решение log 2 (x+2)=t, t 2 -t-2=0.

Слайд 17

Методы решения логарифмических уравнений Метод оценки левой и правой частей Пример log 2 (2x – x 2 + 15) = x 2 – 2x + 5. Решение 1) 2x – x 2 + 15 = – (x 2 – 2x – 15) = –((x 2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1) 2 )  16  log 2 (2x – x 2 + 15)  4. 2) x 2 – 2x + 5 = (x 2 – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1) 2 + 4  4 ; log 2 (2x – x 2 + 15) = 4 , x 2 – 2x + 5 =4. x=1

Слайд 18

Методы решения логарифмических уравнений Использование монотонности функций. Подбор корней. Пример log 2 (2x – x 2 + 15) = x 2 – 2x + 5. Решение 2x–x 2 +15=t, t>0 x 2 –2x+5=20–t log 2 t=20-t y=log 2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16 . Решив уравнение 2x–x 2 +15=16, находим, что x=1

Слайд 19

1) log a f ( x ) > log a g ( x ) Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением . Логарифмические неравенства f ( x ) > g ( x ) >0, a>1. 0< f ( x ) < g ( x ) , 0log h(x) g(x) f ( x ) > g ( x ) >0, h(x)>1. 0< f ( x ) < g ( x ) , 0

Слайд 20

3) log h(x) f(x)>log h(x) g(x) (h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0. 4) f(log a x)>0 t=log a x, f(t)>0.

Слайд 21

Методы решения логарифмических неравенств с переменным основанием Быстрое избавление от логарифмов Пример log 2x (x 2 -5x+6)<1 Решение log 2x (x 2 -5x+6)<1       x  x 2 -5x+6>0,  x>0. 

Слайд 22

Правило знаков Очевидно, что lg x, как и log a x по любому основанию a > 1, имеет тот же знак, что и число x – 1. В более общем случае от логарифма по произвольному основанию a можно перейти к основанию 10: Таким образом, знак величины log a x совпадает со знаком числа (x – 1) / (a – 1) или (x – 1)(a – 1). 1

Слайд 23

Пример log 2x ( x-4 ) log x-1 (6-x)<0    (2x-1)(x-5)(x-2)(5-x)<0, x-4>0, 6-x>0, x>0, x ≠1/2, x>1,x-1≠1.   x  (4;5)  (5;6)