Диофантовы уравнения в школьном курсе математики.
учебно-методический материал по алгебре (10 класс)

Содержание.

1. Введение.
2. Диофантовы уравнения в жизни.
3. Диофантовы уравнения в ЕГЭ.
4. Диофантовы уравнения на экзаменах и олимпиадах.
5. Способ решения линейных диофантовых уравнений предлагаемый Перельманом.
6. Пифагоровы тройки.
7. Теорема Ферма.
8. Заключение.

Введение.

Теория решения диофантовых уравнений является классическим разделом элементарной математики. В ней нет сложных и громоздких формул, но чтобы решить такое уравнение необходимо проводить аккуратные рассуждения, базирующиеся на определенных понятиях теории чисел и связанные в стройную логическую конструкцию.

Конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий мыслитель Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге ”Арифметика” решил большое число таких и более сложных. уравнений в целых числах и в сущности описал общие методы их решения. Большое внимание диофантовым уравнениям уделяет в своей книге «Занимательная алгебра» Я.И. Перельман. Книга написана в начале прошлого столетия с целью популяризации математики. Я.И. Перельман не только предлагает методы решения диофантовых уравнений, но и показывает их значимость для решения жизненных задач.

Однако в школьных учебниках эта тема затрагивается вскользь, да и то лишь в 7 классе, в то время как задачи, где требуется решать уравнения описанного типа, относительно часто предлагаются на вступительных и выпускных экзаменах. Исходя из всего вышесказанного, мы поставили перед собой цель показать учащимся задачи, в которых встречаются диофантовы уравнения, чтобы мотивировать их к самостоятельному изучению этого интересного раздела математики.

Диофантовы уравнения в жизни.

Представим задачу, когда нам необходимо расплатиться за шоколадку стоимостью 19 рублей. Мы имеем в распоряжении только двухрублевые монеты, а кассир пятирублевые. Сможем ли мы расплатиться? Если сможем, то каким образом? Проще говоря сколько должны мы дать кассиру 2-х рублевых монет чтобы он нам дал сдачу 5-рублевыми.Пусть X- число двухрублевых а Y- число пятирублевых монет. Можно составить уравнение 2x-5y=19, но как его решить? Ведь уравнения с 2-мя переменными имеют бесчисленное множество решений. Но нам подходят решения только с положительными и целыми X, Y.Чтобы найти нужные нам числа алгебра разработала метод решения подобных "неопределенных" уравнений. Заслуга введения их в алгебру принадлежит первому европейскому представителю этой науки, знаменитому математику древности Диофанту, отчего такие уравнения часто называют "диофантовыми". Итак, необходимо найти целые и положительные x и y в уравнении 2x-5y=19.

Отсюда выразим х=  =9+y+

Так как х, 6 и у - числа целые, то равенство может быть верно лишь при условии, что    так же целое число.

Далее решая данное уравнение, мы получаем подходящие x и y, например, x=12, а y=1.

Диофантовы уравнения в ЕГЭ.

Проанализировав предлагаемые разработчиками задания ЕГЭ по математике, я нашел задачи с неопределенными уравнениями, их можно решить легче, применив рассмотренный нами метод: Завод должен прислать заказчику 1100 деталей. Детали упаковываются в ящики 3-х типов. Ящик 1-го типа вмещает 70 деталей, 2-го типа-40 деталей, а 3-го 25 деталей. Стоимость пересылки одного ящика 1-го типа-200 рублей, 2-го типа-100 рублей, а 3-го- 70 рублей. Сколько ящиков каждого типа должен использовать завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей? Найдите наименьшую стоимость пересылки в этом случае.

Приступим, для начала решим какой из 3-х способов самый дорогой:

 =0,35р. за деталь;

 =0,4р. за деталь;

 =0,357р. за деталь.

Следовательно, ящики 2-го типа нам не подходят, так как имеют самую большую стоимость, так же стало понятно, что для наименьшей стоимости доставки, ящиков 1-го типа необходимо как можно больше.

Далее решение сводится к решению неопределенного уравнения:

70x+25y=1100, где x-это кол-во ящиков 1-го типа, а y- кол-во ящиков 3-го типа. Потом выражаем y:

=44-2x-

Так как y целое и положительное число, тогда    должно быть целым и положительным, следовательно, x должно быть кратно 5. Теперь нам необходимо найти такой максимальный x при котором y будет положительным и целым и это x=15, при таком случае y=12.Для наименьшей стоимости посылки необходимо взять 15 ящиков 1-го типа и 2 ящика 3-го типа, стоимость в таком случае будет равна 3140 рублей.

Диофантовы уравнения на вступительных экзаменах.

Задачи решаемые с помощью диофантовых уравнений встречаются в вступительных экзаменах. Например, задача которая была на таких экзаменах в МГУ при поступлении на Факультет мировой культуры, в 2007 году. Найти наименьшее натуральное число x та- кое, что остаток от деления x на 8 на 5 больше остатка от деления x на 5 и в два раза больше остатка от деления x на 7. Ответ: 206.Или задача из социологического факультета 2006 года, того же университета. Накануне экзамена Лиза и ее товарищ искали на Воробьевых горах четырехлистный клевер, приносящий, по народной примете, удачу. В первый день товарищ нашел четырех- листников на 20% больше, чем Лиза. Во второй день, наоборот, товарищ нашел четырехлистников на 30% меньше, чем Лиза в этот день. Всего за два дня Лиза нашла четырехлистников на 10% больше, чем ее то- варищ. Какое минимальное количество четырехлистников могли найти студенты при данных условиях? Ответ: 525. И задача факультета государственного управления 2004 года МГУ. Компания предложила 350 своим служащим выполнить сверхурочную работу, причем каждому мужчине предлагалось в виде вознаграждения 20 долларов, а каждой женщине – 16 долларов 30 центов. Все женщины согласились с этим предложением, а часть мужчин отказалась. Общая сумма выплаченного вознаграждения составила 5705 долларов. Какова сумма вознаграждения, выплаченного всем женщинам? Ответ: 2445 долларов.

Способы решения.

Задача. Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок - копеечных, 4-копеечных и 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства? Приступим к решению.

В этот раз мы можем составить систему уравнений с тремя переменными:

x+4y+12z=100  

x+y+z=40

где х - число копеечных марок, у - 4-копеечных, z - 12-копеечных.

Решим систему путем вычитания из первого уравнения второго. В итоге получаем:

3y+11z=60,

Далее выражаем:

у==20-

Очевидно, что    целое число. Пусть z=3t, тогда имеем:

y= 20-11t

Подставляем выражения для у и z во второе из исходных уравнений:

x+20-11t+3t=40,

Получаем: x=20+8t

Так как x ≥ 0, y ≥ 0 и z ≥ 0, то нетрудно установить границы для t:

0    t  1

Отсюда получаем только 2 целых значения:1 и 0.

Подставив t в x, y, z получаем:

Следовательно, купить марки в данных условиях можно двумя способами, а если необходимо купить каждого разряда, то только одним.

Фокус с угадыванием даты.

Уменье решать неопределенные уравнения дает возможность выполнить следующий математический фокус.

Вы предлагаете товарищу загадать число и месяц, далее он умножает число месяца на 12, а номер месяца - на 31 и сообщает вам сумму обоих произведений, по ней вы вычисляете по ней дату.

Если, например, товарищ загадал 9 февраля, то он выполняет следующие действия:

9*12=108

31*2=62

108+62=170

Это последнее число, 170, он сообщает сам, и вы определяете задуманную дату. Как?

Задача решается путем неопределенного уравнения:

12x+31y=170

Выражаем x==14-3y+

Пусть 2+5y=12t

Далее мы выражаем

y==2t-2*

Пусть1-t=5, тогда t=1-5

Подставляя в предыдущие уравнения находим x, y:

x=9+31

y=2-12 

Зная, что x(день) находится в пределах от 0 до 31, а

Y (месяц) от 0 до 12, можно установить границы для  :

  <<

Если учесть, что x, y, целые числа, то получаем

 =0, x=9, y=2

То есть загаданная дата 9 февраля.

Два числа четыре действия.

Над двумя целыми положительными числами были выполнены следующие четыре действия:

1.их сложили;

2.вычли из большего меньшее;

3.перемножили;

4.разделили большее на меньшее.

Сумма полученных результатов равна 243.

Допустим x большее число, тогда:

(x-y)+(x+y)+x*y+=243;

Умножив уравнение на y, раскрыв скобки и приведя подобные члены получаем:

x*(2y++1)=243y,

Но (2y++1)= Поэтому

x=

Тогда чтобы x было целым числом должно быть делителем 243(именно 243, а не y, потому что число y не имеет общие делители с y+1). Зная, что 243=, находим, что 243 делится на точные квадраты: ,  то есть должно быть равно или .

Следовательно, y=2 или y=8.

Подставляя в уравнение находим x=24(при y=8) и x=54(y=2).

В итоге эти числа равны 8 и 24 или 2 и 54.

Пифагоровы числа.

 Этот древний способ, по-видимому, применявшийся еще тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся, как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, - прямоугольный, так как +=. Кроме чисел 3, 4, 5, существует, как известно, бесчисленное множество целых положительных чисел а, b, с, удовлетворяющих соотношению:

+= Собственно это уравнение и является диовантовым. Они называются пифагоровыми числами. Согласно, теореме Пифагора такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника, поэтому а и b называют "катетами", а с - "гипотенузой".

Пифагоровы числа обладают вообще рядом любопытных особенностей:

1.Один из "катетов" должен быть кратным трем.

2.Один из "катетов" должен быть кратным четырем.

3.Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Сто тысяч за доказательство теоремы.

Одна задача из области неопределенных уравнений приобрела громкую известность, так как за правильное ее решение было завещано целое состояние: 100000 немецких марок!

Задача состоит в том, чтобы доказать следующее положение, носящее название теоремы Ферма:

Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью какого-либо третьего целого числа. Исключение составляет лишь вторая степень, для которой это возможно.

По другому говоря необходимо доказать что:

 + =  при n>2.

Такое же уравнение только во второй степени имеет множество целочисленных решений. Но попробуйте подыскать три целых положительных числа, для которых было бы выполнено равенство x3 + y3 = z3; ваши поиски не увенчаются успехом. Та же неудача ожидает вас и при подыскании примеров для четвертой, пятой, шестой и т. д. степеней. Это и утверждает "великое предложение Ферма". Прошло три века с тех пор, как она высказана, но математикам не удалось до сих пор найти ее доказательства.

Величайшие математики трудились над этой проблемой, однако в лучшем случае им удавалось доказать теорему лишь для того или иного отдельного показателя или для групп показателей, необходимо же найти общее доказательство для всякого целого показателя.

Заключение.

Диофантовы уравнения нельзя назвать сложными: любой интересующийся школьник вполне способен решить задачку про ящики или монеты. Подбором ли, применением ли специальных методов, данные уравнения поддаются к решению. Но и нельзя назвать диофантовы уравнения простыми: для доказательства теоремы Ферма современными математиками выстроена целая теория. Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был.

Но одно утверждение достоверно: диофантовы уравнения нельзя назвать неинтересными. Ведь недаром к ним обращаются математики в течение многих столетий. Начните их решать, и вы поймете о чем идет речь.

В заключении хотим сказать, что обобщая решения даже самых простых задач, можно интуитивно открыть великую теорему, увековечив свое имя в истории. Очень надеемся, что после прочтения нашей работы, школьники и студенты не станут пропускать главы учебников с пометкой «для тех, кто хочет знать больше». Ведь это неуважение к наследию, оставленному нам великими учеными, такими как Диофант, Ферма, Перельман и многими другими.