Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

В последнее время в школьной практике обучения математики наблюдается значительное повышение интереса к задачам с параметрами. Конечно, решение задач с параметрами является одним из мощных инструментов формирования мышления вообще и математического в частности, поскольку эти задачи обладают большими потенциальными возможностями для развития умственных операций (сравнения, аналогии, классификации, конкретизации, обобщения), способностей к анализу и синтезу, формируют культуру логических рассуждений.

При подготовке к изложению задач с параметрами учителю необходимо учитывать различные учебные цели, которые не ограничиваются лишь научением решению задач с параметрами. Целесообразно дать учащимся основы методологических знаний об исследовательской деятельности, об общих схемах решения задач, математических приемах умственной деятельности, некоторые общие теоретические знания.

Несмотря на имеющийся интерес к задачам с параметрами и понимание необходимости их рассмотрения, в реальной школьной практике дело с их изучением обстоит плохо. Необходимо определить место рассматриваемых задач в программах средней школы.

Потребность развития учащихся, все большее использование уравнений и неравенств с параметрами в практике сдачи ГИА и ЕГЭ определяют необходимость внедрения задач с параметрами в содержание школьного курса математики.

Однако дефицит программного времени подсказывает, что задачи с параметрами следует рассматривать не только на текущих уроках, но и на факультативных занятиях. Практика диктует, что реально эти задачи решаются 20–30% учащимися в урочное время, 50–60% на факультативных занятиях, поскольку именно на этих занятиях можно подробно изложить методику решения параметрических задач каждого типа и отработать методы их решения.

Часть параметрических задач сводится к нахождению корней квадратного уравнения, расположенных определенным образом относительно заданной точки или заданного промежутка. При этом целесообразно использовать графический метод в силу его наглядности. Применению графического метода должен предшествовать тщательный анализ возможных способов расположения параболы, удовлетворяющих условиям задачи.

Рассмотрим некоторые задачи с параметрами для решения которых применяются различные методы.

Разработка занятия  элективного курса «Подготовка к ЕГЭ»

11 класс

1. При каких значениях а система   имеет более двух решений.

РЕШЕНИЕ.

1.  
2. .

Первая система принимает вид Уравнение этой системы – это уравнение окружности с центром в точке О1(8; -4) и R=5. Решение системы – дуга окружности над прямой y=2x-10, включая точки самой прямой.

Вторая система принимает вид  Уравнение системы – уравнение окружности с центром в точке  О (0; 0) и R=5. Решение системы – дуга окружности , расположенной над прямой y=2x-10.

Решив систему уравнений , получаем y=2x-10,

.

Окружности пересекаются в точке А(3;-4) и В(5; 0), которые лежат на прямой y=2x-10.

Уравнение прямой ОО1 имеет вид y=kx. Подставив координаты точки О1(8; -4), получим , тогда  уравнение прямой ОО1.

Уравнение прямой из условия задачи записываем в виде  Значит, эта прямая параллельна прямой ОО1. Из условия задачи следует, что необходимо выяснить, при каких значениях а прямые вида   пересекают обе дуги окружности более чем в двух точках.

Если прямая проходит через точку  В(5; 0), то получаем а=5.

Если прямая проходит через точку А(3;-4), то получим а=-5.

Если прямые будут расположены выше точки В или ниже точки А, то будет 4-е точки пересечения и система будет иметь 4-е решения.

Если прямые будут расположены между А и В, то будет всего два решения ,что не удовлетворяет условиям задачи.

Если прямые будут касаться дуг окружностей, то будут два решения. Найдет координаты точек касания окружности .

Рассмотрим прямую l, проходящую через центр окружности и перпендикулярную прямой .

,  . Значит, у=2х – уравнение этой прямой.

Из системы  можно найти

                                                         .

Прямая l пересекает окружность в точках .  

Если прямая  проходит через точку N, то .

Если прямая проходит через точку М, то .

Таким образом система будет иметь более двух решений если  ,  .

Ответ.

2. Найти все значения а, при каждом их которых уравнение  на промежутке имеет более одного корня.

РЕШЕНИЕ.

              2).

Рассмотрим функцию a(x).

Исследуем полученную функцию и построим её график.

;                                  .

;                                               

∉(0; 1,2)

График будет иметь вид

.

Ответ. .

3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство  выполняется при всех значениях х из промежутка  

РЕШЕНИЕ.

.

Рассмотрим функцию .

После раскрытия модулей функция принимает вид , где .

Значит, , т.е. функция - убывающая.

Если , то  при всех .

При х=0 получаем ,

                        ,

                        .

        .                                        .                        

.

Ответ. .

4. Найти все значения а, при которых уравнение   имеет единственный корень.

РЕШЕНИЕ.

.

Рассмотрим функцию . .

f(x) – четная функция. Если α-корень, то –α тоже корень. Значит, уравнение имеет единственный корень только х=0. Подставим х=0 в уравнение:

Делаем проверку.

   и    .

Уравнение имеет единственный корень х=0.

Уравнение имеет три корня. Значит,  – не удовлетворяет условию задачи.

3.  .

Ранее это уравнение было рассмотрено. Это уравнение имеет единственный корень х=0.

Ответ. -1;  -5.