" Старинные меры длины"

Содержание

Введение……………...…………………………………………………………..3

Глава 1. Литературный обзор

1.1. Из истории мер длины…………………………..………………………….4

1.2. Происхождение метрической системы мер……………………………….6

1.3. Единицы измерений длины Древней Руси……………………………….8

Глава 2. Практическая часть

2.1. Занимательные задачи …………………………………………………….12

2.2. Пословицы и поговорки, в которых упоминаются различные меры длины………………………………………………..……………………………13

Заключение……………………………………………………………………..15

Список использованной литературы……………………………………….16

Приложения…………………………………………………………………….17

Аннотация

на работу  ученика 6 класса МБОУ «Удинская средняя общеобразовательная школа» Алешкова Максима.

 « Старинные меры длины»

    На основе рассмотрения теоретического и практического материала можно сделать вывод, что характер работы повышает познавательный интерес учащихся, уровень их самостоятельности.

Сведения из истории мер длины, в том числе исконно русских, убедительно раскрывают связь математики с жизнью. Они показывают, что единицы измерения люди не придумали, а принимали вначале в качестве мер части своего тела, которые постепенно превращались в общепринятые образцы. Это подтверждают и собранные пословицы и поговорки, которые до сих пор встречаются в истории, литературе и народной речи.

Предложенный материал имеет практическую ценность:

- знакомит учащихся со старинными мерами длины;

- помогает учиться решать задачи по математике с использованием старинных мер;

- позволяет показать связь старинных мер длины с современными и способствует гуманитаризации предмета;

- способствует формированию умения поиска нужной информации, ее анализа и обобщения полученных сведений.

Тема « От локтя и пяди до системы СИ»  недостаточно широко раскрывается в программе школьного курса, поэтому в дальнейшем планируется продолжить изучение старинных мер не только длины, но и массы, времени, денежных мер, изучая научную и историческую литературу, а также используя информационные технологии.

Учитель математики МБОУ «Удинская СОШ» Самбуева Н.С.

Введение

«Наука начинается с тех пор, как начинают измерять.

Точная наука немыслима без меры».   Д.И.Менделеев.

    Наверное, у каждого из нас найдутся дома линейка и сантиметровая лента. Они нужны для того, чтобы измерять длины. Если мама решит что-то сшить или связать , то, ей нужна сантиметровая лента. А я не смогу обойтись  без линейки и треугольника, когда начинаю помогать дома сделать полку, отрезать доску или наклеить обои. С древности, мерой длины и веса всегда был человек: на сколько он протянет руку, сколько сможет поднять на плечи и т.д.  К XVIII веку насчитывалось до 400 различных по величине единиц мер, употребляемых в разных странах. Разнообразие мер затрудняло торговые операции. Поэтому каждое государство стремилось установить единообразные меры для своей страны. Сегодня трудно даже представить себе, как можно было, делая расчеты или измерения в XIX веке (и ранее), не запутаться в том многообразии мер и весов, которые применялись в то время.    В своем выступлении я попытаюсь разобраться в стандартах  меры длины и веса прошлых веков и изучить их  историю и происхождение в России.

    Есть дома и другие измерительные приборы. Это часы, по которым я  узнаю, когда надо идти в школу и когда начнется любимая передача по телевизору;  термометр, на который мы смотрим, определяя температуру воздуха и многое другое. А сколько измеряющих приборов на щитке автомобиля! Тут и спидометр, по которому водитель узнает, с какой скоростью он едет, и приборы, показывающие, сколько бензина в баке, и счетчик пройденных автомобилем километров, и т. д. В магазине перед продавцами стоят весы, на которых они отвешивают продукты.  Но больше всего измеряющих приборов на заводах и предприятиях, которые проверяют температуру и состав веществ, давление газа и т. д. Измеряющими приборами полны и современные самолеты. С их помощью пилот верно ведет машину, правильно взлетает и садится, проверяет, не обледенели ли крылья самолета.  Сельское хозяйство тоже невозможно без измерений. Агроном должен знать температуру почвы, количество семян, высеянных на том или ином поле, количество и состав внесенных удобрений. И уж, конечно, он должен знать площадь каждого поля. Так что измерения - одно из важнейших дел в современной жизни. Именно это определяет актуальность моей работы.

Объектом  моего исследования является измерение длины.

Предметом исследования является динамика развития измерений длины.

Цель исследования - показать связь математики с жизнью на единицах измерения длины.

Задачи исследования:

1. Осуществить исторический экскурс в данную тему.
2. Собрать пословицы и поговорки, содержащие упоминание о различных мерах длины.
3. Подобрать математические задачи, содержащие старые и новые меры длины.

Глава 1.

Литературный обзор

1.1. Из истории мер длины

      В далекие исторические времена человеку приходилось постепенно постигать не только искусство счета, но и измерений. Когда наш предок - древний, но уже мыслящий, попытался найти для себя пещеру, он вынужден был соразмерить длину, ширину и высоту своего будущего убежища с собственным ростом. А ведь это и есть измерение. Изготовляя простейшие орудия труда, строя жилища, добывая пищу, возникает необходимость измерять расстояния, а затем площади, емкости, массу, время. Наш предок располагал только собственным ростом, длиной рук и ног. Если при счете человек пользовался пальцами рук и ног, то при измерении расстояний использовались руки и ноги. Не было народа, который не избрал бы свои единицы измерения.          

В программе Олимпийских игр Древней Эллады был бег на стадию. Установлено, что греческая стадия (или стадий) это длина стадиона в Олимпии - 192,27 м. Эта мера была введена в Вавилоне, а затем перешла к грекам. За стадий принимали расстояние, которое человек проходит спокойным шагом за промежуток времени от появления первого луча солнца, при его восходе, до момента, когда солнечный диск целиком окажется над горизонтом. Это время приблизительно равно двум минутам.

Почти у всех народов расстояние измерялось шагами, но для измерения полей и других больших расстояний шаг был слишком малой мерой, поэтому была введена мера трость или двойной шаг, а затем и двойная трость, или перша. В Риме вводится мера равная тысяче двойных шагов, получившая название миля (от слова милле,  милиа - тысяча).       

А еще большие расстояния измеряли переходами или днями передвижения. В рассказе Джека Лондона «Белое безмолвие» индеец на вопрос о том, сколько еще осталось проехать, отвечает: «Едешь 10 снов, 20 снов, 40 снов» (то есть суток).У многих народов была мера расстояния стрела - дальность полета стрелы. Но эта мера зависит от силы стрелка. Ведь в греческой поэме «Одиссея» рассказано, что Одиссей легко стрелял из лука, который никто другой не мог даже согнуть. Сейчас мы говорим «не допустить на пушечный выстрел». Но и разные пушки стреляют на разные расстояния.

Однако шаги, мили, переходы - все это было хорошо для измерения расстояний на земле. Ни рост человека, ни рулон ткани шагами не измеришь. Здесь применяли иные единицы меры. Точно так же, как при счете, в ход пошли те измерительные приборы, которые всегда были при себе. При измерениях длин стали использовать ширину пальца, длину сустава пальца, расстояние от локтя до кончика среднего пальца, размах рук и т. д.

     Одной из самых распространенных единиц длины был локоть, то есть расстояние от локтя до конца среднего пальца. Локтями купцы измеряли продаваемые ткани, наматывая их на руку (и, конечно, стараясь при этом обмануть покупателя), локтями измеряли и высоту подъема Нила во время половодья, высоту дерева, срубленного на постройку дома, и т.п. Полный оборот ткани вокруг локтя иногда называли двойным локтем. Но локти у разных людей имеют разную длину. Поэтому в каждом городке правивший им царь издавал указ, каким локтем должны пользоваться все его подданные. Наряду с локтем применяли и иные единицы для измерения длин. Если свести руки на груди, то концы пальцев сойдутся вместе. Это значит, что локоть равен четверти расстояния между концами пальцев расставленных рук. Такое расстояние применялось для измерения длин во многих странах и называлось сажень. Сажень примерно равна расстоянию от подошвы  до концов пальцев поднятой вверх руки. Поэтому, возможно, что это слово происходит от глагола «сягать» - доставать (сам этот глагол сейчас не употребляется, но производный от него «посягнуть» и теперь можно встретить в книгах).  Для измерения меньших расстояний употреблялась ладонь - ширина кисти руки. В английских повестях нередко можно встретить описание того, как крестьянин или любитель лошадей определяет высоту лошади числом ладоней.

Еще меньшей единицей длины является дюйм, который первоначально был длиной сустава большого пальца. На это указывает само название этой меры: «дюйм» - голландское название большого пальца. Мера длины, равная 0,1 дюйма, называлась линией (очевидно, потому, что ее можно было отложить при помощи линейки). Слово дюйм я впервые услышал , когда читал сказку про дюймовочку. Уже тогда я спросил у родителей, какого роста она была, оказалось, что дюйм равен 2,54 см. В Россию дюйм  пришёл  в царствование  Петра I.. Эта мера использовалась для измерения небольших предметов Длина дюйма была уточнена в Англии, где в 1324 году королем Эдвардом II был установлен «законный дюйм», равный длине трех ячменных зерен, вытянутых из средней части колоса и приставленных одно к другому своими концами. В английском быту и языке до сих пор сохранилась мера «ячменное зерно», равная одной трети дюйма.

Одновременно с дюймом была уточнена длина другой меры - фута, употребляющейся с древних времен многими народами. Фут - это средняя длина ступни человека (английское слово «фут» - ступня).  В XVI веке математик Клавий, один из главных участников создания нашего (грегорианского) календаря, определяет геометрический фут как ширину  64 ячменных зерен. Иногда случайная длина могла быть принята за меру. За основную в английском обиходе меру длины - ярд - указом короля Генриха I (1101 год) было определено расстояние от носа короля до конца среднего пальца вытянутой его руки. Длина ярда в настоящее время равна  примерно 0,91  метра. По другому преданию, прообразом длины ярда явилась длина меча Генриха I.    

1.2. Происхождение метрической системы мер

    Потребности практики заставили начать поиски единой системы мер. При этом было ясно, что надо отказаться от установления связей между единицами измерения и размерами человеческого тела. И шаг у людей бывает разный, и длина ступни у них неодинакова, и пальцы у них разной ширины. Поэтому надо было искать новые единицы измерения в окружающей природе.  Ученые выдвигали разные идеи. Кто предлагал взять за основу размеры, связанные с пчелиными сотами, кто путь, проходимый за первую секунду свободно падающим телом. В 1792 г. Парижская Академия наук решила измерить длину земного меридиана, проходящего через Париж. В результате огромной работы была найдена длина парижского меридиана в существовавших тогда французских мерах длины - туазах (1 туаз = 1 м 95 см). В качестве единой меры длины  была определена одна десятимиллионная часть четверти земного меридиана от полюса до экватора. Назвали её метр - от греческого слова метрон -  мера. Уже в апреле 1795 года был утвержден закон о новых мерах и введен единый эталон: платиновая линейка, на которой начертан метр. Платину выбрали потому, что она меньше других укорачивается и удлиняется от холода и жары. Этот платиновый метр долго считался примером точности. И вдруг выявилось, что на самом деле он вовсе не безупречен. Наука шагнула вперёд, люди измерили мир – Землю более тщательно. И тогда старый образец метра уступил место новому, более правильному и из более надёжного материала: сплава двух металлов – платины и иридия. По этой же мерке сделали 30 одинаковых метров и по жребию раздали их разным государствам. Один из 30 братьев-метров хранится у нас в Палате мер и весов. Парижская Академия наук с самого начала работ по разработке новой системы мер установила, что отношение соседних  единиц должно равняться 10. Для каждой величины (длина, масса, площадь, объем) от основной единицы этой величины образуются другие, большие и меньшие меры одинаковым образом (за исключением, названий «микрон», «центнер», «тонна»).Для образования названий мер, больших основной единицы, к названию последней спереди прибавляются греческие слова: «дека» - «десять», «гекто» - «сто», «кило» - «тысяча», «мирна» - «десять тысяч»; для образования названий мер, меньших основной единицы, к названию основной единицы прибавляются, также спереди, частицы: «деци» - «десять»,  «санти» - «сто»,  «милли» - «тысяча».  Таким образом, например: 1 мириаметр = 10 километрам = 100 гектометрам = 1000 декаметрам = 10 000 метрам; 1 метр=10 дециметрам = 100 сантиметрам = 1000 миллиметрам.

   К 1972 году метрическую конвенцию подписало уже 41 государство. Правы были творцы этой уникальной системы мер, написав на эталоне метра: «На все времена всем народам!». Прошло много лет. Но учёные разных стран не прекращали искать способ определить метр через неизменные природные величины. Так, например, в 1960 г. метр определили через строго постоянную величину, остающуюся неизменной в любых условиях, - длину световых волн. Введенных более двести лет тому назад единиц измерения в настоящее время оказалось недостаточно для науки. Современные физики имеют дело со столь малыми величинами, а астрономы - со столь большими, что, кроме введенных в то время приставок, пришлось ввести новые. Теперь миллион единиц обозначают приставкой «мега», миллиард - приставкой «гига» (сравните со словом «гигант»), а триллион - приставкой «тера».

Для  обозначения  миллионной  доли  единицы   ввели  приставку «микро». Поэтому микрон переименовали и называют теперь «микрометр». Миллиардную долю единицы обозначают приставкой «нано». Но физики используют еще меньшие величины, которые мы со временем изучим. Из этих единиц строятся другие единицы в физике и в астрономии. Например, для измерения межзвездных расстояний пользуются световым годом -  расстоянием, которое свет проходит за один год. Так как скорость света равна 300 000 км в секунду, то световой год равен 9,46·1012 км. Единицей длины, которой пользуются в астрономии, является и парсек, который равен 3,26 светового года.

1.3. Единицы измерений длины Древней Руси

         На Руси существовали свои измерения. Древнейшими мерами длины  являются локоть и сажень. Точная первоначальная длина той и другой меры неизвестна. Локтем являлась длина от локтя до переднего сустава  среднего пальца и равнялась половине английского ярда. Название сажень происходит от славянского слова сяг - шаг. Сначала оно означало расстояние, на которое можно шагнуть. Затем стали различать сажени - маховую, косую, казенную, мерную, большую, греческую, церковную, царскую, морскую, трубную. Маховая или мерная сажень - расстояние между вытянутыми пальцами раскинутых рук (176 см). Сажень простая (152 см или 4 локтя) - расстояние между размахом вытянутых рук человека от большого пальца одной руки до большого пальца другой. Сажень косая (248 см) - расстояние между подошвой левой ноги и концом среднего пальца вытянутой вверх правой руки. Трубная сажень применялась только для измерения длин труб на соляных промыслах.   Небольшие расстояния на Руси измерялись вершками, четвертями, пядями и аршинами. Вершок - мера длины, равная ширине двух пальцев (указательного и среднего). Четверть - расстояние между раздвинутыми большим и указательным пальцами. Пядь - расстояние от конца большого пальца до конца мизинца при наибольшем возможном их раздвижении. К наиболее мелким старинным русским мерам длины относится точка, равная 0,1 линии. Возможно, отсюда появилось слово точность.                    

Для измерения больших расстояний в древности была введена мера, называемая поприще, а затем взамен ее появляется верста. Название верста происходит от слова вертеть, которое означало расстояние от одного до другого поворота плуга при пахоте. Длина версты в разное время была различной - от 500 до 750 саженей. Да и верст-то было не одна, а две: путевая - ею измеряли расстояние пути и межевая - ею меряли земельные участки.

В XVII  в. в результате развития торговли с восточными народами вошла в употребление мера аршин (от персидского «арш» - локоть). Он  равен 71 см 12 мм. Пришёл он на Русь вместе с купцами из далёких стран. Купцы привозили невиданные ткани: тончайшие китайские шелка, сделанные из настоящих золотых и серебряных нитей, тяжёлую индийскую парчу, бархат и др. Ими купцы торговали и их приходилось отмерять. Обходились восточные купцы  без всяких метров: ткань они натягивали на собственную руку, до плеча. Это и называлось мерить аршинами. Мера была хоть и очень удобной – руки всегда при себе, но был у неё существенный недостаток: руки, к сожалению, у всех разные. У одних они были длинные, у других короткие. Хитрые купцы быстро соображали, что нужно искать приказчиков с руками покороче: тот же кусок, а аршинов больше. Но однажды этому пришёл конец. Продавать «на свой аршин» властями было строжайше запрещено. Употреблять разрешалось только казённый аршин.

Казённый аршин – линейку, длиной в чью-то руку, - изготовили в Москве, потом с него сделали копии и разослали во все концы России. Чтобы деревянный аршин нельзя было укоротить, концы его оковали железом и пометили печатью.

Злоупотребление мерами имело место не только в торговле. С возникновением и ростом общегосударственной торговли и с установлением для казны сборов со всего населения объединенной страны встает вопрос о единой системе мер для всего государства. В XVIII веке Петр I указом установил равенство трехаршинной сажени семи английским футам. Прежняя русская система мер длины, дополненная новыми мерами, получила окончательный вид: миля = 7 верстам (≈7,47 километра); верста = 500 саженям (≈1,07 километра); сажень = 3 аршинам = 7 футам (≈2,13 метра); аршин =16 вершкам = 28 дюймам (≈ 71,12 сантиметра); фут = 12 дюймам (≈ 30,48 сантиметра); дюйм = 10 линиям (≈2,54 сантиметра); линия = 10 точкам (≈2,54 миллиметра).

В России ученые с начала XIX века поняли значение единой метрической системы и пытались ее широко внедрить в практику. В годы от 1860 до 1870 после энергичных выступлений Д. И. Менделеева компанию  в пользу метрической системы ведут академик Б.С.Якоби, профессор математики А.Ю.Давидов, автор очень распространенных в свое время школьных учебников математики, и академик А.В.Гадолин. К ученым присоединились и русские фабриканты и заводчики. Русское техническое общество поручило специальной комиссии разработать этот вопрос. В эту комиссию поступило много предложений от ученых и технических организаций, единогласно поддерживающих предложение о переходе на метрическую систему. Большое внимание уделено метрологической деятельности Дмитрия Ивановича Менделеева, который с 1892 года до конца жизни возглавлял Главную палату мер и весов. Особое место занимают первые эталоны России 1835 года и эталоны, созданные к началу минувшего века под руководством Менделеева.

В 1894-98 гг.Д.И. Менделеевым был изготовлен платиново-иридиевый эталон фунта. Положением о мерах и весах 1899 года новый прототип фунта был узаконен и выражен в метрических мерах 1 фунт =0,4095124 кг.

«Окончательное решение вопрос о метрической системе в России получил уже после Великой Октябрьской социалистической революции. В 1918 году было издано постановление, в котором предлагалось: «Положить в основание всех измерений международную метрическую систему мер и весов с десятичными подразделениями и производными. Принять за основу единицы длины — метр, а за основу единицы веса (массы) — килограмм. За образцы основных единиц метрической системы принять копию международного метра, носящую знак № 28, и копию международного килограмма, носящую знак № 12, изготовленные из иридистой платины, переданные России Первой международной конференцией мер и весов в Париже в 1889 году и хранимые ныне в Главной палате мер и весов в Петрограде».

С 1 января 1927 года метрическая система стала единственно допускаемой в СССР системой мер и весов. Для популяризации новых мер поэт В.В.Маяковский написал стихотворные тексты, посвященные новым мерам.

О метрической мере длины.

Принято в торговом народе

Аршин отмерять в этом роде:

Расстояние от пальца до плеча

Привыкли аршином величать.

 Так и метр отмерить вам можно:

Приблизительно

От пальцев до плеча противоположного.

 Не хитрая машина –

ладонью отмерять четверть аршина.

Растопырь большой и указательный  пальцы:

Приблизительно четверть аршина отвалится.

 Сантиметр тож

Легко измерить с помощью ладош.

Чтоб 10 сантиметров отмерить мог,

Отложи ладонь не вдоль, а поперек.

Запомни также (трудности нет):

10 сантиметров — один дециметр.

 Запомни, расчет очень важен:

Два метра — приблизительно сажень.

 Рисуем, чтоб каждый запомнить мог:

четыре сантиметра — один вершок.

 Запомни, эта работа не тяжка:

Один сантиметр — четверть вершка.

 Заруби на носу, торговый люд: Три дециметра — один фут.

 Узнаем, не тратя догадок уйму: 2½ сантиметра равняются дюйму

Глава 2

Практическая часть 

2.1. Занимательные задачи

В моей работе собраны задачи, в которых встречаются различные меры длины. Для их решения составлены  в приложении таблица перевода часто встречающихся единиц длины на Руси и краткий словарь истории толкования старинных мер длины. Эти задачи могут использоваться на уроках математики, на занятиях математических кружков и сделать изучение математики более интересным и ценным в познавательном плане.

 1. Выразите в сантиметрах:

а) высоту терема, равную трём косым саженям;

б) длину отрезка полотна, равную 15 локтям;

в) ширину горницы, равную двум маховым саженям и трём локтям.

Ответ: а) 248 · 3 = 744 (см);  б) 15 · 45 = 675 (см)  в) 176 ·  2 + 3 ·  45 = 352 + 135 = 478 (см).

2. Некто купил три четверти аршина сукна и заплатил за них 3 алтына.              Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна? (1алтын = 3 коп.)

Решение. Поскольку аршина стоят 3 алтына, то 3 аршина стоят 12 алтын и 1 аршин – 4 алтына. Следовательно, 100 аршин стоят 400 алтын, что составляет 1200 к. или 12 р.

3. Идёт один человек в город и проходит в день по 40 вёрст, а другой человек идёт навстречу ему из другого города и в день проходит 30 вёрст. Расстояние между городами 700 вёрст. Через сколько дней путники встретятся?

Решение. За один день путники сближаются на 70 вёрст. Поскольку расстояние между городами равно 700 вёрст, то встретятся они через  700 :  70 = 10 (дней).

4. Сколько километров составляет расстояние между городами в задаче 3? Ответ: около 770 км.
5. Кольцо баскетбольной корзины расположено на высоте 10 футов. Найдите эту высоту в метрах, сантиметрах, миллиметрах.
6. Выразите в дюймах и сантиметрах 1 вершок, 1 пядь, 1 аршин, 1 сажень.
7. Горшок имеет высоту 2 пяди. Найдите рост в сантиметрах того, кто «от горшка три вершка» (имеется ввиду – на три вершка выше).
8. Пик Коммунизма  имеет высоту 7495 метров. Выразите в футах.
9. Морская миля равна 1852 метра. Выразите в косых саженях.
10. Диаметр Луны считается равным 3476 км. Выразите в аршинах.
11. Диаметр Земли равен 12 731 726 метров. Выразите в вёрстах.

12       Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегал в 2 минуты 500 сажень, а собака в 5 минут 1300 сажень. Спрашивается, догонит ли собака зайца?

13.  Собака погналась за зайцем, когда между ними было 150 футов. Собака делает в один прыжок 9 футов, а заяц – только 7. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать зайца? (Фут – в переводе с английского – это «стопа», равная 0,3048 м.)  Ответ: 75 прыжков.
14. Толя покрасил в субботу 4 вершка забора. В воскресенье три его друга пришли ему помочь. Вместе с Толей они разделили незакрашенную часть поровну. Какую часть забора покрасил каждый из них в воскресенье, если весь забор равен одному аршину?
15. Два курьера выехали в одно время, один из Тулы, другой из Харькова, друг другу навстречу; первый проезжает в час 15 вёрст, второй – 18 вёрст; расстояние между упомянутыми городами 528 вёрст. Через сколько часов курьеры встретятся?
16. 8 аршин сукна стоят 30 рублей. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?
17. Как бы вы назвали известный роман Ж.Верна «20000 льё под водой» в существующих ныне единицах длины?  Ответ: 111100 километров под водой.

2.2. Пословицы и поговорки, в которых упоминаются различные меры длины

Многие единицы длины, которыми пользовались наши предки, представляют собой измерения различных частей человеческого тела. Человек как бы всегда носит их с собой и может пользоваться ими в любых условиях. Я решил рассмотреть наиболее распространенные старые меры, упоминания о которых часто встречаются в народной речи и в наше время. 

• Один, как перст - человек, не имеющий ни родных, ни близких, ни друзей.
• Не указывай на людей перстом! Не указали бы на тебя шестом! – если будешь кого-то обвинять (показывать на него пальцем), то тебя могут обвинить в чем-то значительно худшем или сделать это в ещё более грубой манере.
• От горшка два вершка, а уже указчик – молодой человек, не имеющий жизненного опыта, но самонадеянно поучающий всех.
• У неё суббота через пятницу на два вершка вылезла – о неаккуратной женщине, у которой нижняя рубашка длинней юбки.
• Не уступить ни пяди – не отдать даже самой малости.
• Семь пядей во лбу – об очень умном человеке.
• Сам с ноготок, а борода с локоток – о человеке незавидной внешности, но пользующемся авторитетом благодаря своему уму, социальному положению или жизненному опыту. До Петра Первого борода считалась почётной принадлежностью мужчины. Длинная, холеная борода служила признаком богатства, знатности
• Сидит, ходит, словно аршин проглотил – о неестественно прямом человеке.
• На аршин борода, да ума на пядь – о взрослом, но глупом человеке.
• Косая сажень в плечах –  широкоплечий, высокого роста человек.
• На три аршина в землю видит – о внимательном, прозорливом человеке, от которого ничего невозможно утаить.
• Полено к полену – сажень – о накоплении запасов, богатства путём экономии.
• Коломенская верста – шутливое прозвище для высокого человека. Это выражение появилось во времена царя Алексея Михайловича (правил в 1645-1676 гг.) Он повелел расставить вдоль дороги от Москвы (точнее, от её Калужской заставы) до своего летнего дворца в селе Коломенском столбы на расстоянии 700 саженей друг от друга. Высокие, около двух саженей, т.е. примерно в 4 м, с орлами наверху, эти столбы оказали настолько большое впечатление на простых людей, что навсегда остались в народной речи.
• Москва верстой далека, а сердцу рядом – так русские люди характеризовали своё отношение к столице.
• Любовь не верстами меряется. Сто верст молодцу не крюк – расстояние не может быть препятствием для любви.
• От слова до дела – целая верста.
• Верстой ближе -  пятаком дешевле.
• На версту отстанешь - на десять догоняешь – даже небольшое отставание очень трудно преодолевать.
• Семимильные шаги – быстрый рост, хорошее развитие чего-либо.
• Пять верст до небес, и все лесом.
• Семь футов воды под килем

Заключение

    История зарождения и становления мер веса в России очень многообразна и длинна. Многие знаменитые люди внесли свой вклад в развитие этой системы, благодаря чему сегодня все измерения идеально точны и не требуют перепроверки и сверки, как это делали в прошлые века.                                                                                                                                                   Я считаю, что моя работа будет иметь познавательный интерес  среди учащихся.            Сведения из истории мер длины, в том числе исконно русских, убедительно раскрывают связь математики с жизнью. Они показывают, что единицы измерения люди не придумали, а принимали вначале в качестве мер части своего тела, которые постепенно превращались в общепринятые образцы. Это подтверждают и собранные пословицы и поговорки, которые я собрал в своей работе и которые до сих пор встречаются в истории, литературе и народной речи.

Список использованной литературы

1.         Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. -  М., Владос. 2003.

2.       Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся. 5-6 классы средней школы, - М.: Просвещение,2009.

3.     Жюль Верн. Таинственный остров.

4.       Кардюкова С.А. Единицы, нужные всем, - М.,1972

5.  Маяковский В.В. Собрание сочинений в 12 томах. -  М.: Правда, 1978 – Том 8.

6.   «Математика в школе».  Методические журналы и газета.

7.    Шабалин С.А. «Измерения для всех», -  М., 1991.

Информационные технологии:

1.    http://mer. kakras.ru/

3.    http://www.po4emu.ru/drugoe/history/index/tehnika/stat_tehnika/61. htm

5.    http://www.metrologie.ru/metrology-theory-2-2. htm

Приложение.

Краткий словарь истории толкования старинных мер длины.         

АРАШ – по - персидски – локоть, перешло в татарскую меру аршин, а мы позаимствовали его у татар.

АРШИН – мера длины в ряде стран. В России известна с XVI века, равная 16 вершкам ≈ 71 см. Название происходит от персидского слова «арш» - локоть. Это длина всей вытянутой руки от плечевого  сустава  до концевой  фаланги среднего пальца.

ВЕРСТА –  от   слова   «вертеть»  - русская мера длины, равная 500  саженям (1,0668 км).  Первоначально – расстояние от одного поворота плуга до другого во время пахоты, равное 1067 м. До XVIII в. на Руси существовала и «межевая верста» в 1000 саженей, или 2,13 км, для определения расстояния между населёнными пунктами и для межевания (межа – граница земельных владений в виде узкой  полосы).

При Петре Первом была введена верста длиной в 50 саженей. На таком расстоянии друг от друга вдоль наиболее важных дорог ставили столбы, окрашенные три цвета. Отсюда название «столбовая дорога» для хорошо известного наезженного пути. В начале XIX в. вдоль основных дорог государства Российского появились чёрно-белые полосатые столбы, на которых отмечались расстояния в вёрстах. Пример из литературы у А.С.Пушкина: «Только вёрсты полосаты попадаются одне».

ВЕРШОК - русская мера длины, равная 1314 дюйма (4,45 см). Первоначально вершок равнялся длине фаланги указательного пальца, затем стали считать вершок равным ширине двух пальцев руки, указательного и среднего. 4 вершка = 1 пяди.

ДАКТИЛОС – библейская мера длины – палец, название произошло от стихотворного размера дактиль, подобный пальцу с одним длинным суставом и двумя короткими.

ДИГИТУС – римская мера длины, означает «большой палец».

ДЮЙМ – английская мера длины – длина большого пальца. В 1324 году английский король Эдуард II установил «законный  дюйм», равный длине  трёх сухих ячменных зёрен, взятых  из средней части колоса,  выложенных в ряд. Дюйм – голландское название большого пальца руки. В Россию дюйм  пришёл  в царствование  Петра I. Он  равен  2,54 см. Эта мера использовалась для измерения небольших предметов. В настоящее время используется для измерения внутреннего диаметра труб автомобильных шин, толщины досок и т.д.

ЛАДОНЬ – библейская мера длины, соответствует длине четырёх  пальцев.  Ладонями английские крестьяне измеряли высоту лошадей. 

ЛОКОТЬ – библейская мера длины, соответствует длине - полторы ступни. Этой древнейшей мерой длины пользовались многие народы мира. Локоть – расстояние от концов пальцев (вытянутого среднего пальца или сжатого кулака) до локтя согнутой руки. В одном локте насчитывается не более семи ладоней. Расстояние колебалось от 38 до 46 см. На Руси использовали длину в 45 см. Как мера длины на Руси встречается с XI века.  В уставе  Всеволода о церковных судах и о людях и о мерилах  торговых до 1136 года упоминается «локоть Еванский».

МИЛЛЕ – римская мера длины, в переводе с латыни означает «тысяча пассум», равняется нашим измерениям, т.е. 1478,7 метра.

МИЛЯ – в древнем Риме она равнялась тысяче шагов. Сейчас в Англии пользуются так называемой «английской сухопутной милей», которая равна 1760-ти ярдам, что примерно составляет 1 км 609 м.

В России: 1 миля = 7 вёрст  ≈ 7 км 469 м

ПАССИС –  римская мера длины, в переводе на русский язык означает «двойной шаг».

ПЕРСТ –  старинное название пальца, причём сначала так называли именно указательный палец, его ширина около 2 см. Отсюда происходит анатомический термин «двенадцатиперстная кишка». Длина этого органа 24 - 25 см.

ПЕС –  римская мера длины, в переводе – «ступня».

ПЛЕТР –  библейская мера длины, соответствует длине 100 ступней.

ПОПРИЩЕ –  русская мера длины – около полутора километров, в старокнижном языке означает путь.

ПЯДЬ, ПЯДЕНЬ (или четверть) – одна из самых старинных русских мер длины: расстояние между растопыренным мизинцем и большим пальцем руки. Название происходит от древнерусского слова «пясть», т.е. кулак или кисть руки. Различают пядь малую –  расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев, что составляет около 18 см, и пядь великую – расстояние от конца вытянутого мизинца до конца большого пальца, 22 - 23 см.

САЖЕНЬ – русская дореволюционная мера длины. Встречается с XI века. Название от слова «сягать», т.е. доставать до чего-либо. Отсюда слово «недосягаемый» - о месте, куда невозможно добраться, о человеке, достоинства которого невозможно повторить. 1 сажень = 3 аршинам =           = 7 фунтам = 2,1336 м. Известны маховая сажень (1,76 м) и косая сажень (2,48 м). Косая сажень – расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки. Маховая сажень – расстояние между концами пальцев расставленных в сторону рук.

СТАДИЙ – библейская мера длины, соответствует длине 6 плетров.

СТАДИЯ –  греческая мера расстояния.

СТУПНЯ –  библейская мера длины, соответствует длине 16 пальцев.

ТУАЗ –  французская мера длины, равная 1 м 95 см. Этой мерой измеряли длину парижского меридиана

ТЬМА – десять тысяч, в настоящее время истолковывается как «очень много». 

ФУТ – английская мера длины – ступня. Фут – древняя величина, до сих пор используется в Англии и США. Один фут равен 12-ти дюймам, что примерно составляет 30 см 5 мм.

ШАГ - средняя длина человеческого шага, 71 см. Одна из древнейших мер  длины. Сохранились сведения об использовании шага для определения расстояния между городами в Древней Греции, Древнем Риме, Египте, Персии. Шаг как мера длины используется и в настоящее время. Существует даже специальный прибор шагомер, похожий на карманные часы, который автоматически отсчитывает число пройденных человеком шагов. Шагами отмерялось расстояние, на которое должны были сходиться противники во время дуэли.

ЯРД –  одна из наиболее старых мер. Этой мере более 900 лет. Она была равна расстоянию от конца носа короля Генриха I до конца пальцев его вытянутой руки. Один ярд равен трём футам, что примерно составляет 91 см 4 мм. [5]     

Таблица перевода часто встречающихся единиц длины на Руси

Большая таблица мер веса, использовавшихся в XVIII веке.

В-6-2014 ( все  56 прототипов из банка ЕГЭ)

Уметь строить и исследовать простейшие математические модели (теория вероятностей)

1.В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение: Количество исходов, при которых в результате броска игральных костей выпадет 8 очков, равно 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Каждый из кубиков может выпасть шестью вариантами, поэтому общее число исходов равно 6·6 = 36. Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна 5: 36=0,138…=0,14

2.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решeние: Равновозможны 4 исхода эксперимента: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел выпадает ровно один раз в двух случаях: орел-решка и решка-орел. Поэтому вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз, равна 2 : 4= 0,5.

3.В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решeние: В чемпионате принимает участие спортсменок из Китая. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5 : 20 = 0,25

4.В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решeние: В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 1000 − 5 = 995 не подтекают. Значит, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 995 : 1000 =0,995

5.Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решeние: По условию на каждые 100 + 8 = 108 сумок приходится 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100: 108 =0,925925…= 0,93

6.В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.  Решeние: Всего в соревнованиях принимает участие 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9 : 25 =0,36

7.Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?  Решeние: За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12 : 75 =0,16

8.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?  Решeние: На третий день запланировано выступлений. Значит, вероятность того, что выступление представителя из России окажется запланированным на третий день конкурса, равна 18 : 80 =0,225

9.На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Решeние: Всего в семинаре принимает участие 3 + 3 + 4 = 10 ученых, значит, вероятность того, что ученый, который выступает восьмым, окажется из России, равна 3:10 = 0,3.

10.Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решeние: В первом туре Руслан Орлов может сыграть с 26 − 1 = 25 бадминтонистами, из которых 10 − 1 = 9 из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9 : 25 = 0,36

11.В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Решение: 11 : 55 = 0,2

12.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

13.Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая  — 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.

Решение.  Переводим %% в дроби.

Событие А - "Куплены стекла первой фабрики". Р(А)=0,3

Событие В - "Куплены стекла второй фабрики". Р(В)=0,7

Событие Х - " Стекла бракованные".

Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009  

Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028 По формуле полной вероятности:Р = 0.009+0.028 = 0.037

14.Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.  Решение: 0,52 * 0,3 = 0,156. 

15.Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.

Решение: Случайный эксперимент — бросание жребия.
В этом эксперименте элементарным событием является участник, который выиграл жребий.
Перечислим возможные элементарные события:
(Вася), (Петя), (Коля), (Лёша).
Их будет будет 4, т.е. N=4. Жребий подразумевает, что все элементарные события равновозможны.
Событию A= {жребий выиграл Петя} благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1.
Тогда P(A)=0,25 Ответ: 0,25.

16.В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение: Всего исходов -16.Из них благоприятных, т.е. с номером 2, будет 4. Значит, 4 : 16=0,25

17.На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

= {вопрос на тему «Вписанная окружность»},
= {вопрос на тему «Параллелограмм»}.
События и несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.
Событие = {вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением: .
Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий:
.

18.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Определим события
= {кофе закончится в первом автомате},
= {кофе закончится во втором автомате}.
По условию задачи и .
По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события
и = {кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}:

.
Следовательно, вероятность противоположного события {кофе останется в обоих автоматах} равна
.

19.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

В этой задаче предполагается, что результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна . Значит, вероятность каждого промаха равна . Воспользуемся формулой умножения вероятностей независимых событий. Получаем, что последовательность
= {попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность
=
=. Ответ: .

20.В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

     В этой задаче также предполагается независимость работы автоматов.
Найдем вероятность противоположного события
= {оба автомата неисправны}.
Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий:
.
Значит, вероятность события = {хотя бы один автомат исправен} равна .Ответ: .

21.Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение: Обе перегорят (события независимые и пользуемся формулой произведения вероятностей) с вероятностью  p1=0,3⋅0,3=0,09
Противоположное событие (НЕ обе перегорят = ОДНА хотя бы не перегорит)
произойдет с вероятностью p=1-p1=1-0,09=0,91
ОТВЕТ: 0,91

22.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года

Решение.

Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», тогда A + B = «чайник прослужит больше года».

События A и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

откуда, используя данные из условия, получаем 0,97 = P(A) + 0,89.

Тем самым, для искомой вероятности имеем: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23.Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Решение: Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает яиц, в том числе, яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — яиц, в том числе яиц высшей категории. Тем самым, всего агроформа закупает яиц, в том числе яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда: 

Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна =0,75

24.На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

25.Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

26.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Решение: Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.

27.В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин? Решение:  Всего туристов пять, случайным образом из них выбирают двоих. Вероятность быть выбранным равна 2 : 5 = 0,4.  Ответ: 0,4.

28.Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Решeние:  Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 23 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:  

29.Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?     Решeние: Сумма очков может быть равна 5 в четырех случаях: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1». Ответ: 4.

30.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй — решка). Решение: Всего возможных исходов — четыре: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Благоприятным является один: орел-решка. Следовательно, искомая вероятность равна 1 : 4 = 0,25. Ответ: 0,25.

31.На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых. Решение: Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д — Дания, Ш — Швеция, Н — Норвегия):

.Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш...Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна Ответ: 0,33.

32.При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?   Решение: Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов:Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24. Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096. Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536. Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.

33.Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.    Решение: Команда может получить не меньше 4 очков в двух играх тремя способами: 3+1, 1+3, 3+3. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Каждое из этих событий представляет собой произведение двух независимых событий — результата в первой и во второй игре. Отсюда имеем:    

34.В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных. Решение: 5000 – 2512 = 2488;  2488 : 5000 = 0,4976 ≈0,498

35.На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.   Решение:   В самолете 12 + 18 = 30 мест удобны пассажиру В., а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30 : 300 = 0,1.Ответ: 0,1.

36.На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории. Решение: Всего в запасную аудиторию направили 250 − 120 − 120 = 10 человек. Поэтому вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории, равна 10 : 250 = 0,04. Ответ: 0,04.

37.В классе 26 человек, среди них два близнеца  — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе. Решение: Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.

38.В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные  — жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями. Решение: 23:50=0,46

39.В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:6:30=0,2

40.Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На  сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?   Решeние: Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна 51 : 1000  = 0,051. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,006.

41.При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм. Решение. По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035.

42.Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.  Решение: Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).  Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.Ответ: 0,07.

43.Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.  Решeние: Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, З. нужно сдать и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Пусть A, B, C и D — это события, в которых З. сдает соответственно математику, русский, иностранный и обществознание не менее, чем на 70 баллов. Тогда поскольку

    для вероятности поступления имеем:

44.На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых. Решение: Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: тарелок. Поскольку качественных из них , вероятность купить качественную тарелку равна 0,9п :0,92п=0,978  Ответ: 0,978.

45.В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). Решение: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна

46.По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.  Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02

47.Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Решeние: Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Ответ: 0,38.

48.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры. Решение. Требуется найти вероятность произведения трех событий: «Статор» начинает первую игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, откуда находим: 0,5·0,5·0,5 = 0,125.  Ответ: 0,125.

49.В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода. Решение.  Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х — хорошая, О — отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды:  P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;   P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;   P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;     P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128.    Указанные события несовместные, вероятность их сумы равна сумме вероятностей этих событий:     P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50.Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным. Решение. Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: р(А)=0,9 0,05=0,045; р(В)=0,01 0,95=0,0095; р(А+В)=Р(А)+р(В)=0,045+0,0095=0,0545.

51.В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а так же ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

52.Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час. Решение: 3 : 12=0,25

53.Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными. Решeние: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.Ответ: 0,8836.

54.Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A = батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В = батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем:

55.На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

Решение.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.

Инструкция по проведению ОГЭ.

ОГЭ по математике 2018

ОГЭ по математике – один из обязательных экзаменов в 9-м классе. Математику необходимо сдавать для перевода в 10-й класс и получения аттестата об основном среднем образовании. Если вы собираетесь продолжать обучение в физматклассе, то потребуется сдать математику на высокий балл. О дате проведения экзамена и возможных пересдачах можете узнать тут.

Ознакомившись с общей информацией об экзамене, сразу приступайте к подготовке. Экзамен в этом году содержательно не отличается от прошлых лет, поэтому можно готовиться по материалам 2016 и 2017 года. Изменилась лишь структура теста: убрали модуль «Реальная математика», а задания из него распределили по модулям «Алгебра» и «Геометрия».

Структура ОГЭ

Работа состоит из двух частей, в каждой из которых последовательно идут два модуля – «Алгебра» и «Геометрия». В части 1 представлены задания базового уровня сложности, за которые дают по 1 баллу. Это либо задания на выбор правильного ответа или задания, требующие написать краткий ответ в виде цифры, числа или последовательности цифр.

Часть 2 – задания повышенного и высокого уровней сложности, за каждое из которых можно получить 2 балла. В этих заданиях важно не просто дать конечный ответ, но и показать ход решения. Здесь тоже сначала идут задания из модуля «Алгебра», а затем – задания из модуля «Геометрия». Дальше станет яснее:

Часть 1:

• Модуль «Алгебра» состоит из 14 заданий (№ 1-14) – базовый уровень сложности – 1 балл за каждое задание;
• Модуль «Геометрия» состоит из 6 заданий (№ 15-20) – базовый уровень сложности – 1 балл за каждое задание.

Часть 2:

• Модуль «Алгебра» состоит из 3 заданий (№ 21-23) – повышенный и высокий уровень сложности – 2 балла за каждое задание;
• Модуль «Геометрия» состоит из 3 заданий (№ 24-26) – повышенный и высокий уровень сложности – 2 балла за каждое задание.

Оценивание ОГЭ

В отличие от ЕГЭ у ОГЭ нет единого для всех регионов минимального балльного порога по тому или иному предмету. Этот порог определяют местные региональные власти после проведения досрочного этапа проведения экзаменов. Однако у регионов есть эталон, с которым они сверяются и как правило не отходят от него – это ежегодные рекомендации Федерального института педагогических измерений (ФИПИ).

Согласно этим рекомендациям, чтобы сдать ОГЭ по математике хотя бы на тройку, необходимо набрать не менее 8 первичных баллов. Это равносильно правильному выполнению 8 заданий из части 1. Для пятерки необходимо набрать 22-32 первичных балла. С таблицей перевода первичных баллов в оценки по пятибальной системе можно ознакомиться здесь.

Подготовка к ОГЭ

• На нашем сайте вы можете пройти тесты ОГЭ онлайн бесплатно без регистрации и СМС. На данный момент раздел обновляется, и со временем в нем будут появляться новые тесты за весь период проведения ОГЭ. Представленные тесты по своей сложности и структуре идентичны реальным экзаменам, проводившимся в соответствующие годы.

Расписание проведения ОГЭ 2019

Рособрнадзор подготовил проект расписания Основного государственного экзамена в 2019 году.

Ознакомьтесь с расписанием проведения ОГЭ-2019 в 9-м классе: датами проведения досрочного и основного этапов и пересдачи.

Таблица перевода баллов ОГЭ 2019

Узнать свою оценку по тестовым баллам стало гораздо проще. Благодаря этой таблице вы можете оценить уровень своих знаний и заполнить пробелы в темах, вызывающих у вас вопросы.

Математика.

 22–32   оценка 5

15–21 оценка 4

8–14   оценка 3

0–7     оценка 2

1. Максимальный балл для отбора обучающихся в профильные классы средней школы – 31 (не менее 80% от общей суммы первичных баллов).

2.  МАТЕМАТИКА Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей экзаменационной работы, – 32 балла. Из них – за модуль «Алгебра» – 20 баллов, за модуль «Геометрия» – 12 баллов.

Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении Федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение заданий обоих модулей, при условии, что из них не менее 2 баллов получено по модулю «Геометрия». 

** Математика

Максимальное количество баллов, которое может получить экзаменуемый за выполнение всей экзаменационной работы, – 32 балла. Из них – за модуль «Алгебра» – 20 баллов, за модуль «Геометрия» – 12 баллов.

Рекомендуемый минимальный результат выполнения экзаменационной работы, свидетельствующий об освоении федерального компонента образовательного стандарта в предметной области «Математика», – 8 баллов, набранные в сумме за выполнение обоих модулей, при условии, что из них не менее 2 баллов по модулю «Геометрия».

Инструкция по охране труда для учителя математики

СОГЛАСОВАНО:

Председатель профкома

_________/_______________

«___»_____________20__г.

УТВЕРЖДЕНО:

Директор МБОУ  «Удинская СОШ»

__________ / И.К.Иванова

Приказ №__от «____»________г.

Инструкция
по охране труда для учителя математики

Данная инструкция по охране труда учителя математики школы предназначена для преподавателей математики общеобразовательного учреждения, работающих в кабинете математики.

1. Общие требования безопасности для учителя математики
1.1. К работе преподавателя математики допускаются лица обоего пола, достигшие 18 лет, имеющие педагогическое образование, прошедшие медицинский осмотр.
1.2. Учитель математики должен знать свои должностные обязанности, инструкцию по охране труда для учителя математики, а также:

• инструкцию по охране труда в учебном кабинете школы;
• инструкцию по пожарной безопасности;
• пройти вводный инструктаж и инструктаж на рабочем месте;
• руководствоваться в работе правилами внутреннего распорядка;
• режим его труда и отдыха определяется графиком работы учителя математики.

1.3. Травмоопасность на уроках математики:

• при нарушении правил личной безопасности;
• при включении электроприборов: проекторов  и других ТСО (технических средств обучения) поражение электротоком.

1.4. О случаях травматизма в обязательном порядке сообщать администрации школы.
1.5. Соблюдать технику безопасности труда, должностную инструкцию учителя математики.
1.6. Относится к не электротехническому персоналу и должен иметь 1-ю квалификационную группу допуска по электробезопасности.
1.7. Не заниматься самостоятельно ремонтом электроприборов, розеток и т.п..
1.8. Хранить аппаратуру ТСО, мультимедийный проектор в лаборантской (при наличии).
1.9. Нести ответственность (административную, материальную, уголовную) за нарушение требований инструкций по охране труда, пожарной безопасности.

2. Требования безопасности перед началом работы в кабинете математики
2.1. Проверить готовность учебного кабинета математики к занятиям.
2.2. Проверить исправность электроосвещения.
2.3. Проветрить кабинет математики.
2.4. Следить за чистотой и порядком в кабинете.

3. Требования безопасности во время работы учителя математики
3.1. Соблюдать личную безопасность труда.
3.2. Следить за соблюдением дисциплины учащимися.
3.3. Не допускать учащихся к переноске аппаратуры ТСО.
3.4. Не допускать учащихся к самостоятельному включению электроприборов.

4. Требования безопасности в кабинете математики в аварийных ситуациях
4.1. В случае возникновения аварийных ситуаций принять меры к эвакуации учащихся.
4.2. Сообщить о происшедшем администрации школы, при пожаре известить службу 101.
4.3. Оказать первую помощь учащимся, пострадавшим в случае травматизма.
4.4. При внезапном заболевании учащихся вызвать медицинского работника, сообщить родителям.

5. Требования безопасности по окончании работы учителя математики
5.1. Отключить от электросети аппаратуру ТСО.
5.2. Убрать аппаратуру в лаборантскую, закрыть на ключ.
5.3. Проверить чистоту в кабинете и порядок на рабочих местах.
5.4. Проветрить кабинет математики.
5.5. Выключить электроосвещение, закрыть кабинет на ключ.
5.6. Обо всех недостатках, обнаруженных во время занятий, сообщить администрации школы.

С инструкцией ознакомлена:

 
«___»_____20___г. __________ /Н.С.Самбуева

Конспект урока по алгебре для учащихся  8 класса по теме «Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени»

Цель урока:

Образовательная: закрепить изученный материал, простейшие системы, содержащие уравнения второй степени, применение теоремы, обратной теореме Виета.

Развивающая: развивать логическое мышление, память, внимание, формировать умения анализировать, сопоставлять данные, выводить логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы.

Воспитательная: воспитывать сознательное отношение к учебному труду,  самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Тип урока:  комбинированный.

Методы обучения: индуктивно-эвристический, дедуктивно-репродуктивный.

Литература:

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра 8. – М.: Просвещение, 2000.
2. Гин А.А. Приемы педагогической техники: Свобода выбора. Открытость. Деятельность. Обратная связь. Идеальность: Пособие для учителя. – М.: Вита-Пресс, 1999.

План урока:

1. Организационный момент (3 минуты)

2. Проверка домашнего задания (7 минут)

3. Изучение и закрепление  нового материала (10 минут)

4. Решение задач на закрепление изученной темы (18 минут)

5. Подведение итогов (5 минут)

6. Домашнее задание (2 минуты)

Ход урока

Организационный момент

Включает в себя приветствие учителем класса, проверку готовности кабинета к проведению урока, проверку отсутствующих.

Проверка домашнего задания

Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим решение систем уравнений. Мы научимся решать простейшие системы, содержащие уравнение второй степени, используя другой способ решения, обобщим методы  решения простейших систем.

Учитель: Начнем урок с проверки домашнего задания.

Проводится фронтальный опрос домашнего задания, учащиеся по очереди отвечают, а тем временем один ученик выходит к доске и пишет решение системы уравнений № 492  под номером 2) 

Учитель: Итак, № 492 (2, 4) какой ответ получился?

Ученик: решением системы является пара чисел: 2) (4;1), 4) (0,5; 3).

Учитель:  Верно. Каким способом решали данную систему уравнений?

Ученик: Способом подстановки.

Учитель: № 493 (2, 4) какой ответ?

Ученик: решением системы являются две пары чисел 2) (-4;6), (7;-5); 4) (7;23), (-1; -1).

Учитель: Следующий номер № 494 (2,4)?

Ученик: 2) (4; -3), (17; 10); 4) (4; 1),  (-1; -4).

Учитель: Каким способом решали данную систему уравнений?

Ученик: Способом подстановки.

Учитель: Все правильно. Теперь разбираем подробно №492 2) .

1. Какой способ использовали при решении системы уравнений? (способ подстановки)
2. Что необходимо сделать в этом случае? (выбрать то уравнение, из которого легче выразить х или у, в нашем случае, из первого х).
3. После того, как выразили х, куда мы подставляем полученное выражение? (мы подставляем выражение во второе уравнение).
4. Что делали потом? (упростили  и получили приведенное квадратное уравнение). Напишите вид приведенного квадратного уравнения. (х2+px+q=0)
5.  Как можно решить приведенное квадратное уравнение? (по общей формуле, по теореме, обратной теореме Виета.)
6. Напиши на доске (в сторонке) теорему, обратную теореме Виета.  
7. Какие получили корни уравнения? (получили один корень: у=1).
8. Как нашли второй корень уравнения? (подставили значение у в полученную формулу, тем самым нашли второй корень уравнения).
9. Какой получился ответ? (решением системы является пара чисел (4;1)).

Изучение нового материала

        Учитель: Итак, мы с вами вспомнили алгоритм решения системы уравнений способом подстановки.

А теперь откройте свои тетради и запишите число, классную работу и тему урока «Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени». 

Запись на доске и в тетрадях:

Число

Классная работа.

Тема урока: «Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени».

        Учитель: Ребята, но не все примеры решаются способом подстановки. Сегодня мы рассмотрим другой способ решения. Способ решения системы с применением теоремы, обратной теореме Виета.

  Рассмотрим систему уравнений , запишите данную систему в тетради.

Учитель: 1)  Ребята,  что мы видим в этой системе?

Ученик: сумму двух чисел, и их произведение.

Учитель:  Правильно, как и в теореме, обратной теореме Виета, она у нас написана на доске.

        Учитель:  2) Что мы можем сделать, если известна сумма и произведение чисел?

        Ученик: Составить приведенное квадратное уравнение, используя теорему, обратную теореме Виета.

        Учитель: 3) Что необходимо найти сначала, чтобы можно было записать приведенное квадратное уравнение?

        Ученик: p и q.

        Учитель: 4) Чему они равны?

        Ученик: p= –3, q= – 10.

Учитель:  Верно. Запишите приведенное квадратное уравнение в тетради .

Решая  данное уравнение, получаем  , подставляя эти значения в формулу  x=3–y , находим : у1= -2, у2=5. Следовательно, решениями системы являются  пары чисел x1=5, y1=-2,  х2=-2, y2=5

 Запишите ответ. (Ответ: (5;-2), (-2;5).)

Запись на доске и в тетрадях:

х=3-у

                                ,     

  Ответ: (5;-2), (-2;5)

Закрепление изученного материала

Учитель: А теперь перейдем к выполнению заданий.

Учащиеся выходят по очереди к доске, решают примеры, комментируют решение, остальные – решают на месте, делая записи в тетради.

Учитель: Для  тех, кто решает вперед, на доске записаны номера из учебника, которые вы можете решать вперед нас.

Запись на доске: № 495(нечет); №496 (нечет); № 497(нечет).

Запись на доске и  в тетрадях: № 495(1)

Решить систему уравнений.

Учитель: Первый номер № 495.

Какой способ используем при решении данного примера?

        Ученик: Способ решения системы с применением теоремы, обратной теореме Виета.

Учитель: С чего начнём решение?

Ученик: Выразим из первого уравнения х. Составим приведенное квадратное уравнение, используя теорему, обратную теореме Виета.

Учитель: Следующий шаг?

Ученик: решим данное уравнение и подставим эти значения в формулу  x=5–y.

Учитель: Что мы сделали этим?

Ученик: нашли значения у1 и у2.

Учитель: Следовательно, какие пары являются решением системы?         Ученик: ответ:(2;3), (3;2).

Запись на доске и  в тетрадях: № 495(1)

  x=5–y    

Ответ: (2;3), (3;2).

Запись на доске и  в тетрадях: № 495(3)

  х=12–у

p= –12, q= 11

z2-12y+11=0,

z1=11, z2=1

x1=1, x2=11.

Ответ: (11;1), (1;11).

Решение задач на закрепление изученной темы

Учитель: Далее решим задачи, используя все способы, изученные нами ранее для решения систем, содержащих уравнение второй степени.

Решим номер №496 (1)

Запись на доске и в тетради: № 496 (1) 

 (Ученик читает задание, все остальные слушают его).

Решить систему уравнений.

Учитель: Записываем систему уравнений на доске.

(Учитель спрашивает одного из учеников)

Учитель: Какая есть формула для х2-у2?

Ученик: формула сокращенного умножения (х–у)(х+у)= х2-у2 .

Учитель: Верно. С помощью нее будет легче решить пример. Запишем второе уравнение системы так: (х–у)(х+у)=14. Далее, что необходимо сделать?  

Ученик: подставив сюда х–у=7, получим х+у=2.

Итак,

Учитель: Каким способом решим эту систему?

Ученик: способом сложения.

Учитель: Находим х=4,5, у=-2,5.

Запись на доске и  в тетрадях: № 496 (1)

(х–у)(х+у)=14.

7(х+у)=14

(х+у)=2

2х=9, х=4,5.

у=-2,5.

Ответ: (4,5;-2,5).

Запись на доске и  в тетрадях: № 496 (3)

(х–у)(х+у)=24.

(х–у)=6

2х=10, х=5

у=-1.

Ответ: (5;-1)

Учитель: Следующий номер № 497 (1)

,

Учитель: Что нужно сделать, чтобы решить данный пример?

Ученик: нам необходимо прибавить второе уравнение системы к первому, умноженное на 2.

Учитель: Правильно. Что мы получаем? 

Ученик: х2+2ху+у2=25

 Учитель: Мы получили формулу. А что дальше можно сделать? Обратите  внимание на левую часть. 

Ученик: (х+у)2=25, то х+у=5

Учитель: У нас получилось два корня, следовательно, нам нужно решить две системы. Какие две системы?

        Ученик:      

Учитель: Каким способом решим системы уравнений?

Ученик: Способом решения системы с применением теоремы, обратной теореме Виета.

Запись на доске и  в тетрадях:№ 497(1)

, ,

х2+2ху+у2=25

(х+у)2=25, то х+у=5

у=5–х,                    у= –5–х                

х2–5х+4=0,             х2+5х+4=0,

х1=3, х2=2               х3=-2, х4=-3                

у1=2, у2=3              у3=-3, у4=-2

Ответ: (3;2), (2;3), (-2;-3), (-3;-2).

Запись на доске и  в тетрадях:№ 497(3)

х2+2ху+у2=16

(х+у)2=16, то х+у=

у=4–х,            у= –4–х,

х2–4х+3=0,     х2+4х+3=0  

х1=3, х2=1              х3=-1, х4=-3                

у1=1, у2=3              у3=-3, у4=-1.

Ответ: (3;1), (1;3), (-1;-3), (-3;-1).

Учитель: Все верно. Ребята, которые выполняли задания вперед, подойдите после урока на проверку решения задач. Я поставлю Вам дополнительные оценки.

Подведение итогов

Учитель: Ребята, давайте вспомним, какую цель мы сегодня поставили перед собой?

Ученик: обобщить методы  решения простейших систем, содержащих уравнение второй степени.

Учитель: От чего зависит выбор метода решения системы?

Ученик: от вида заданной системы.

Учитель: в каком случае применяется алгоритм решения, основанный на применении теоремы, обратной теореме Виета?

Ученик: Если одно из уравнений системы содержит сумму неизвестных, а второе – их произведение.

Учитель: Кто сможет сам сформулировать алгоритм решения данным способом?

Ученик:

1. Найти р и q.
2. Записать приведенное квадратное уравнение .
3. Решить приведенное квадратное уравнение.
4. Записать две пары решения системы уравнений.
5. Записать ответ.

 (В конце урока учитель выставляет оценки учащимся).

Домашнее задание

Учитель: Открываем свои дневники и записываем домашнее задание.  

Запись в дневниках: №495(чет), №496(чет).