Искусство отгадывать числа - исследовательская работа
методическая разработка по алгебре

МБОУ «Баянгольская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская тема:

Искусство отгадывать числа

Выполнила Цыдыпова В. М.

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место.  Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики. Подавляющее большинство задач сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Так же умения решать уравнения понадобятся в дальнейшем при решении задач по физике, химии. Составление и решение уравнений способствуют развитию мышления, находчивости, сообразительности, инициативности.

Целью данной работы является исследовать, что же лежит в основе задачи «Искусство отгадывать числа».

Гипотезой исследования стало предположение, что в основе задачи «Искусство отгадывать числа» лежит уравнение.

Для достижения поставленной цели необходимо решить  следующие  задачи:

1)  изучить литературу по данному вопросу;

2)  найти все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике          Н. Я.  Виленкина «Математика 6»;

3) исследовать задачу «Искусство отгадывать числа»;

4) разработать памятку «Решаем уравнения на 5».

Методы:

- поисковый метод с использованием научной  и учебной  литературы;

-исследовательский метод при определении видов уравнений, изучаемые в школьном учебнике Н. Я.  Виленкина «Математика 5»;

- практический метод при разработки памятки «Решаем уравнения на 5».

Структура данной работы следующая:

- в первом разделе представлены исторические сведения о развитии уравнений;

- во втором разделе представлены все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике   Н. Я.  Виленкина «Математика 5»;

- в третьем разделе приведено исследование задачи «Искусство отгадывать числа»;

- в заключение работы изложены основные выводы и результаты выполненного исследования;

- список литературы содержит 6 наименований;

-  в приложении представлена памятка «Решаем уравнения на 5».

1 Из истории уравнений

                                                          «Мне приходится делить свое время

                                                             между политикой  и   уравнениями.

                                                             Однако    уравнение,    по  –  моему,

                                                             гораздо    важнее,    потому     что

                                                             политика     существует    только

                                                             для данного момента, а уравнения

                                                             будут существовать вечно».

А. Эйнштейн.

  Искусство решать уравнения возникло давно, а занимается вопросом решения уравнений алгебра. Алгебра – это часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.

   Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений.        Уравнение первой и второй степени умели решать в древности также китайские и индийские учёные.

   Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаютcя во многих текстах глубокой древности. B Московском папирусе, представляющем свиток, изготовленный из растений, на котором сделаны записи около 1850г. до н. э., и в папирусе Axмeca, например, содержатся задачи, в которых неизвестное имеет особый символ и название: «хау» или «аха». Оно означает «количество», «куча». Так называемое «исчесление кучи», или «вычисление хау», приблизительно соответствует нашему решению задач с помощью уравнений.

Рис.1 Математический папирус Ринда; 1550 г. до н. э., Британский музей. Содержит решения 84 задач, вычисления площадей и объемов

Рис.2 Древнеегипетская запись уравнения.

Вот пример задачи и её решение из папируса Ахмеса:

Задача. «Количество и его четвёртая часть дают вместе 15». В настоящие время для решения задачи составляется уравнение  

Решая его, находим : х = 12.

В папирусе Ахмеса решение начинается так: «Считай с 4; от них ты должен взять четверть, а именно 1; вместе 5». Затем 15 делится на 5, частное умножается на 4 и получается неизвестное 12.

 Египетский метод решения является по существу методом предложения. Начинают с того, что в качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 4, так как  четверть его, 1, просто вычисляется. Далее 4 + 1 = 5. Однако по условию задачи результат должен быть не 5, а 15, следовательно, во сколько раз 15 больше 5, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 4. Этот метод широко применялся в Азии и Европе в средние века и получил название «метода ложного положения».

К первым, самым древним задачам на составление уравнений, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском  Московском папирусе.

  Вот одна из задач Московского папируса.

« Число и его половина составляет 9». Найти  число.

В современной записи уравнения к решению этой задачи будет иметь вид:

 В качестве неизвестного берут произвольное число, в данном случае 2, так как вторая часть его один, просто вычисляется. Далее 2 + 1 = 3.Однако, по условию задачи результат должен быть не 3, а 9, следовательно, Во сколько раз 9 больше 3, во столько раз неизвестное должно быть больше произвольно взятого числа 2. А значит 2 · 3 = 6.

Ответ: неизвестное число 6^[1].

В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед ал – Хорезми написал трактат « Китаб аль – джебр Валь – мука – бала», где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль – джебр» (восстановление), от которого новая наука алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнений из одной его  части в   другую с изменением знака.

Рис.3 Ал-ХОРЕЗМИ Мухаммед бен-Муса (783-850).

 В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Его «Книга абака» (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений.

Рис.4 Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (1170 — 1250).

Рис.5 Страница из Книги абака.

   Отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшие развитие алгебры: самые сложные формы приходилось излагать в словесной форме. В конце XVI  в. французский математик Ф.Виет ввёл буквенные обозначения.  

Рис.6  Виет Франсуа (1540 —1603).

2 Исследовательская часть

2. 1 Основные понятия уравнения

Уравнение – равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Выражение слева от знака равенства называется левой частью уравнения, а справа от знака равенства – правой частью уравнения.

Это значение неизвестного, называется корнем уравнения или решением уравнения.                      

Корнем уравнения называется число, подстановка которого вместо буквы превращает уравнение в верное равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).

В уравнениях пишут одну из строчных букв латинского алфавита.

Чаще употребляют х(икс), у(игрек), z(зет), а(а), b(бэ), с(цэ).

Например: х + 12 = 30,      54 : у = 9,      b ·  6 = 48 ,      75 – с = 38.

   2. 2 Простые уравнения.

     Уравнения называются простыми тогда, когда нужно выполнить только одно арифметическое действие, чтобы найти неизвестное число.

Компоненты сложения, вычитания, умножения, деления.

1. Сложение    a + b = c

a – первое слагаемое

b – второе слагаемое

с – сумма

2. Вычитание     a – b = c

а - уменьшаемое

b – вычитаемое

с – разность

3. Умножение      a ∙ b = c

а – первый         множитель

b – второй множитель

с – произведение

4. Деление    a : b = c

а – делимое

b – делимое

с – частное

Пример 1. Решаем уравнение      х + 12=78;      

1.   х – неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитаем известное слагаемое:

 х = 78 – 12 ,

х = 66.

2.   Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение, вместо буквы х найденное число 66 и выполняем сложение.

  проверка: 66 + 12 = 78;

                            78 = 78.

3.   Сравниваем значения левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 45.

Пример 2. х – 8 = 11;

1. х – неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить известное вычитаемое.

х – 8 = 11;

х = 11 + 8;

х = 19.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найденное число 19.

Проверка: 19 – 8 = 11;

                        11 = 11;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 19.

Пример 3. 15 – х = 9.

1. х – неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

х = 15 – 9,

х = 6.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 6.

Проверка: 15 – 6 = 9;

                           9 = 9;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 6.

Пример 4.  4 · х = 144;

1. х – неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делим на известный множитель.

4 · х = 144;

х = 144: 4;

х = 36.

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 36 и выполним умножение.

Проверка: 4 · 36 = 144;

                       36 = 36;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 36.

Пример 5.  42: х = 6;

1. х – неизвестный делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое  разделить на частное.

42 : х = 6;

х = 42: 6;

х = 7;

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 7 и выполним деление.

Проверка:  42: 7 = 6;

                         6 = 6;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 6.  

Пример 6.  х : 8= 13;

1. х – неизвестный делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

х : 8 = 13;

х = 13 · 8;

х = 104;

2. Сделаем проверку: подставим в заданное уравнение вместо буквы х найдено число 104 и выполним деление.

Проверка:  104 : 8 = 13;

                          13 = 13;

3. Сравниваем значение левой и правой частей уравнения.

Ответ: х = 13.

2. 3 Все виды уравнений, изучаемые в  школьном учебнике                   Н. Я.  Виленкина «Математика 6»

Где a, b, c, d, f – натуральные числа, обыкновенные или десятичные дроби. x – корень уравнения.

2. 4 Искусство отгадывать числа

Каждый из вас, возможно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел. Фокусник обычно предлагает выполнить действия следующего характера: задумайте натуральное число, прибавьте 2, умножьте на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число, умножьте на 2, отнимите 1. Затем фокусник спрашивает, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщает задуманное вами число.

Итак, что же лежит в основе фокуса? «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на язык алгебраический», - писал великий Ньютон в своем учебнике алгебры, озаглавленном «Всеобщая арифметика»^[2].

Переведем данную задачу на язык алгебры.

               Таблица 1.

Чтобы ответить на выше поставленный вопрос, достаточно обратиться к правой колонке таблицы, где указания фокусника переведены на язык алгебры. Из этой колонки видно, что если вы задумали какое – то число x, то после всех действий у вас должно получиться 4x + 1. Зная это, нетрудно «отгадать» задуманное число.

Пусть, например, вы сообщили фокуснику, что получилось 9. Тогда фокусник быстро решает в уме уравнение  4x + 1 = 9, 4x = 8 и x = 2.

Таким образом, подтверждается гипотеза, о том, что в основе задачи «Искусство отгадывать числа» лежит уравнение.

Заключение

При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.

В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты.

1. На основе изученной литературы по данной теме, открыла  для себя много интересного и нового об  уравнениях, чего не могла прочитать в учебнике. Например, узнала о том, что ещё в древности люди пользовались ими, не зная, что это – уравнения. В наше время невозможно представить себе решение, как  простейших, так и сложных  задач не только в математике, но и в других  науках, без применения решения  уравнений.

2. Выполненный обзор школьного учебника Н. Я.  Виленкина «Математика 6», показал, что в учебнике встречаются 90 видов уравнений.

3. Исследовав задачу «Искусство отгадывать числа», выяснила, что в основе задачи лежит уравнение.

4. Подготовлена и разработана памятка «Решаем уравнения на 5».

Список  литературы

1. Виленкин, Н. Я.  Математика   /  Н. Я.  Виленкин,  В. И. Жохов,            А. С. Чесноков,  С. И.  Шварцбурд  //  Математика:  учебник  для  5 кл. /            ред. Г. С. Уманский. – М.: Мнемозина, 2009. – 280 с.

2. Глейзер, Г. И.  История  математики  в  школе  ⁄  Г. И. Глейзер ⁄⁄  История  математики  в  школе:  пособие  для  учителей  ⁄  под редакцией             В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.

3. Ефимова, А. В. Решаем уравнения/А. В. Ефимова, М. Р. Гринштейн // Решаем уравнения: учебник для 2 – 5 кл. – СПб.: Издательский дом «Литера», 2008. – 62 с.

4. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра / Я. И. Перельман// Занимательная алгебра. – М.: АСТ: Астрель: ХРАНИТЕЛЬ, 2007. – 282 с.

5. www.istorya.ru

6. www.ref.by/refs/62/13346/1.html