Быстрый счёт
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Самый недооценённый навык, который часто отсутствует у старшеклассников – это умение считать в уме, или устный счёт. Обычно он формируется в начальной школе, а потом при хорошо поставленной учёбе постепенно развивается и крепнет. Но это в идеальной ситуации. В реальности устный счёт либо вообще не преподаётся, либо преподаётся, но потом быстро вытесняется формальными вычислениями в столбик. Или вообще просто заменяется бездумным набором цифр на калькуляторе.

Однако, наряду с умением решать текстовые задачи, навык устного счёта является базовым. Его потеря сильно снижает эффективность подготовки к экзаменам. Казалось бы, как таковых арифметических задач у старшеклассников почти нет, однако за каждой алгебраической задачей часто всё же стоит необходимость что-то быстро посчитать. Неумение быстро справляться с такими мелкими задачами заставляет нервничать учеников, что приводит к ошибкам и в сложных задачах.

Для подготовки к экзаменам нас интересует не сам навык счёта в уме, а его особая прикладная разновидность – быстрый счёт. Согласно общепринятому представлению, устный счёт должен проводится без дополнительных инструментов, в том числе без бумаги, ручки или карандаша. Для бытовых жизненных ситуаций это корректное ограничение, которое позволяет развить полезный навык. Например, такой устный счёт помогает быстро посчитать, хватает ли вам денег на покупку в магазине, или же найти ошибки в вычислениях продавца, что бывает сплошь и рядом. Но многие ученики на занятиях, когда их просят посчитать что-то в уме, понимают эту задачу буквально и делают очень серьёзную ошибку, представляя в уме образ вычислений столбиком. О том, почему это вредно и к каким опасным и не очевидным последствиям для мышления это ведёт, мы ещё поговорим отдельно. Сейчас наша задача состоит в том, чтобы разобраться с техниками быстрого счёта, которые могут пригодится при решении задач на занятиях.

Для удобства быстрым счётом мы будем называть арифметические вычисления без дополнительных специальных приспособлений. При этом:

а) разрешено делать промежуточные записи (то есть в отличие от устного счёта можно использовать ручку и бумагу);

б) сами вычисления будем стараться проводить максимально эффективным и понятным способом;

в) сама задача на вычисление уже есть перед глазами.

Третий пункт надо пояснить. Важно, что вы изначально видите само задание. То есть голова у вас не отвлекается на запоминание условия и занята именно вычислениями. Сравните две задачи: вам вслух говорят: “сколько будет двадцать шесть плюс семьдесят семь?”, или же на доске или в учебнике написано: “вычислите: 26 + 77 = ”. Во втором случае вычисления будут проходить гораздо быстрее.

Прежде чем показывать продвинутые тактики вычислений, давайте для начала обсудим те навыки быстрого счёта, которые должны были остаться после начальной школы. Нет смысла двигаться дальше пока вы не усвоили эти простейшие навыки. Все рассмотренные ниже вычисления нужно уметь делать без промежуточных записей и практически не задумываясь.

Итак, что вам нужно хорошо освоить:

✅ Вычисления в пределах таблицы умножения однозначных чисел.

Сюда входят: прямое умножение, целочисленное деление и деление с остатком. Т.е. деление 56 на 6 с остатком не должно вызывать трудности.

✅ Умножение двузначного числа на однозначное.

Схема умножения: представляете двузначное число как сумму круглых десятков и единиц, умножаете их на однозначное, а потом складываете.

Пример: 34 · 7 = (30 + 4) · 7 = 30 · 7 + 4 · 7 = 210 + 28 = 238

✅ Сложение/вычитание двузначных чисел.

Схема для сложения: складываете отдельно сначала круглые десятки, потом единицы. Результаты складываете.

Пример: 34 + 47 = (30 + 40) + (4 + 7) =70 + 11=81

Схема для вычитания: вычитаете из первого числа сначала круглые десятки второго, потом единицы.

Пример: 84 — 57 = 84 — (50 + 7) = 84 — 50 — 7 = 34 — 7 = 27

✅ Нетабличное деление нацело двузначного числа на однозначное. Расширяется до деления двузначного на двузначное. Например, деление 42 на 3 и 51 на 17 нужно уметь выполнять в уме.

✅ Перевод десятичных единиц измерения. Сколько метров в 20 километрах, сколько килограммов в 5 центнерах и пр.

✅ Умножение/деление многозначных чисел на однозначные числа без перехода через десяток.

Примеры: 1243 · 2 = 2486; 693 : 3 = 231

✅ Сложение многозначных чисел без перехода через десяток.

Пример: 1347 + 2351 = 3698

✅ Деление трехзначного числа на однозначное (если первая цифра трехзначного числа меньше, чем однозначное число; то есть если в результате получается двузначное число).

Пример: 332 : 4 = (320 + 12) : 4 = 320 : 4 + 12 : 4 = 80 + 3 = 83

✅ Указанные ранее действия с круглыми числами. То есть вы должны, к примеру, не только легко посчитать 43 + 58 и 72 · 4, но и 430 + 580 и 720 · 400.

Для эффективного счёта вы должны не только уметь быстро считать, но и понимать, когда лучше использовать быстрый счёт, а когда лучше использовать формальные вычисления столбиком. Столбиком мы советуем считать в следующих общих случаях:

• умножение двузначных чисел и выше,
• сложение/вычитание четырехзначных чисел и выше
• деление четырехзначного числа и выше
• вычитание трехзначных чисел с переходом через десяток или сотню.

Сложение трехзначных чисел можно выполнять или столбиком, или через промежуточные вычисления: 384 + 483 = (300 + 400) + (80 + 80) + (4 + 3) = 700 + 160 + 7 = 867

Очень важно, что мы говорим о вычислениях в общем случае. Довольно часто для некоторых примеров можно найти какую-то интересную особенность и вычислить их с применением более продвинутых техник.

О них мы поговорим в следующей статье.

P.S.: Частое возражение против быстрого счёта такое: “Разве это быстрые вычисления? Сложив так два трёхзначных числа, мы сделали записей больше, чем при их сложении столбиком!”

Здесь загвоздка в следующем. Конечно, чтобы объяснить алгоритм такого эффективного сложения, мы должны описать каждый шаг, однако в реальности не все промежуточные шаги приходится записывать. Поначалу, пока у вас не сформировался навык, вам придётся прописывать все действия. Но потом часть шагов вы будете делать в уме, что в разы ускорит вычисления.

https://vk.com/@partizanxyz-bystryi-schet-obyazatelnye-navyki