КРУГИ ЭЙЛЕРА
презентация к уроку по алгебре (6 класс)

Государственное бюджетное образовательное учреждение

гимназия №293 Красносельского района

города Санкт-Петербурга

Исследовательская работа по математике

Тема: КРУГИ   ЭЙЛЕРА

Пачковской Ольги, ученицы 6 «А» класса

Руководитель:

Андреева Алина Ивановна,

учитель математики

Санкт-Петербург

2018 год

Содержание:

1.Введение.                                                                                            2

2. Основное содержание работы                                                         

   2.1.  Общие сведения о множествах. И их отношения.                  3

   2.2 . Круги Эйлера и их типы.                                                            4

   2.3. Практика: решение задач.                                                           7

3. Заключение                                                                                         11

4. Список используемой литературы.                                                  12

1.Введение

Леонард Эйлер – выдающийся математик и физик. Эйлер родился 15 апреля 1707г. в г. Базель, в Швейцарии. Самое точное определение, которым можно охарактеризовать труды, созданные Эйлером, - гениальные материалы, ставшие достоянием всего человечества.   Основным направлением Эйлера была математика.

Наука математика безгранична и интересна, меня заинтересовали работы Леонардо Эйлера по математике, конкретно круги Эйлера. Они вроде и очень понятны, и непонятны одновременно.

В жизни часто приходится решать задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. Поэтому очень важно уметь рассуждать логически. Решение логических задач – одно из важнейших средств развития мыслительных способностей.
Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. 

В  наше  время  вокруг  нас  собрано  огромное  количества  информации, разобраться в ней бывает непросто. Поэтому многие не знают, что за названием «круги Эйлера» скрывается практичный и удобный метод решения различных задач. Все слышали о них, но немногие могут объяснить, что это такое. Однако я считаю, что круги Эйлера полезны как в повседневной жизни, так и в науке, поэтому ими стоит уметь пользоваться каждому. В этой работе я собрала всю необходимую информацию для понимания, что такое круги  Эйлера и где их удобно применять. Актуальность состоит в том, что данный способ часто имеет практический характер, что немаловажно в современной жизни.

Цель работы  изучение кругов Эйлера.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

1. изучить литературу по данной теме;

2. систематизировать и обобщить теоретический материал, таким образом, чтобы он был понятен учащимся 6 класса;

3. применить теоретические знания при решении задач .

2. Основное содержание работы

2.1. Общие сведения о множествах. И их отношения.

Цель данной работы – придать  задачам алгебры множеств наглядность и простоту.

Понятие «множество» - одно из основных понятий математики. Современный человек воспринимает множества очень легко, так как он привык к ним с детства. Уже на страницах школьного учебника по математике для первого класса мы видели изображение различных множеств: зверей, мячей, книг и других объектов. Мы их считали, сравнивали: в одном множестве больше объектов, в другом меньше, и что такое множество, нам стало ясно без всякого определения. А теперь определение:

-Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества бывают конечные, бесконечные, универсальные. Конечные множества такие, в которых можно перечислить все элементы: фамилии учеников  класса; цифры и так далее. Бесконечные множества такие, в которых нельзя перечислить все элементы: натуральные числа; дробные числа; звёзды на небе и так далее. Универсальные множества (универсум) такие обширные множества, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами (частями). Такое множество выбирается для определённого раздела науки и явно не определяется. А просто подразумевается: числа; точки плоскости и так далее. Среди конечных множеств выделяется одно особое множество, а именно – множество, не содержащее никаких элементов, такое множество называется пустым.  Но как же работать с этими множествами. Можно очень сложными формулами и так легко запутаться. Эйлер решил эту задачу. Он предложил использовать наглядный метод, геометрический для определения множеств и их отношения.

2.2. Круги Эйлера и их типы.

Откуда взялись круги. Автор метода - ученый Леонард Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Круги Эйлера – это геометрическая схема, которая помогает находить и делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.  Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Каждый круг обозначает объём какого-либо понятия, а каждая точка круга - отдельный элемент этого объёма.

Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).

С помощью кругов все сразу становится наглядно понятным.

А с помощью их пересечения решаются многие задачи.

Теория хорошо, но давайте обратимся к практике применения кругов Эйлера в решении задач.

2.3. Практика: решение задач.

-1.   Задача. Фруктовые деревья

 Садоводы собирают на своих деревьях  фрукты. Шестеро из них собирают сливы, а пятеро — яблоки. И только у двоих есть и сливы и яблоки. Определите, сколько всего садоводов?

Решение. Обратимся к  кругам   Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида фруктов. В одном будем отображать собирателя слив, в другом — яблок. Поскольку у некоторых садоводов есть и те, и другие фрукты, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как сливы и яблоки у двоих. В оставшейся части «сливового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «яблочного» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего садоводов 4 + 2 + 3 = 9 .

Ответ. 9 садоводов.

-2. Задача про школьные предметы

Семиклассников опросили об их любимых предметах. Оказалось, что большинству из них нравятся «История», «Математика» и «Литература». В классе 38 учеников. «История» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Литература», шестерым - «Математика», а один ученик одинаково любит все три предмета.  «Литература» нравится 13 ученикам, пятеро из которых назвали  два предмета. Надо определить, скольким же семиклассникам нравится «Математика».

Решение.

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди любителей  «Литературы» пятеро учеников выбрали два предмета сразу:

Выходит, что:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 –учеников выбрали только «Историю».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – учеников предпочитают только «Литературу».

Осталось только разобраться, сколько семиклассников двум другим предметам предпочитает «Математику». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кому нравится два других предмета или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – учеников любят только «Математику».

Теперь  надо сложить все полученные цифры и получается, что:

предмет «Математика» нравится 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

Ответ. 17 учеников.

-3. Задача. Про спортсменов.

Каждый из 35 спортсменов занимается по крайней мере, одним из двух видов спорта: фигурным катанием  и гимнастикой. Из них 25 человек ходят на каток, 20 – на гимнастику. Сколько спортсменов:

1.Занимаются обоими видами спорта;

2. Не занимаются гимнастикой;

3. Не занимаются фигурным катанием;

4. Занимаются только гимнастикой;

5. Занимаются только фигурным катанием?

Решение.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – занимаются обоими видами спорта. На схеме это общая часть кругов. Мы нашли неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему,  даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не занимаются гимнастикой. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не занимаются фигурным катанием. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – занимаются только гимнастикой. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – занимаются только фигурным катанием. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают.

-4. Задача . Определение профессии.

Если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

3. Заключение.

Круги Эйлера представляют собой особую геометрическую схему, необходимую для поиска и более наглядного отображения логических связей между понятиями и явлениями, а также для изображения отношений между определенным множеством и его частью. Благодаря наглядности они значительно упрощают любые рассуждения и помогают быстрее находить ответы на вопросы.

Круги Эйлера имеют прикладное значение, ведь с их помощью можно решать множество практических задач на пересечение или объединение множеств в логике, математике, менеджменте, информатике, статистике и т.д. Полезны они и в жизни, т.к., работая с ними, можно получать ответы на многие важные вопросы, находить массу логических взаимосвязей.

Таким образом, существует целый класс задач, которые решаются с помощью кругов Эйлера. Алгоритм решения состоит из следующих этапов:

• Записываем краткое условие задачи.

• Выполняем рисунок.

• Записываем данные в круги Эйлера.

• Выбираем условие, которое содержит больше свойств.

• Анализируем, рассуждаем, не забывая записывать результаты в части круга.

• Записываем ответ.

Полагаю, мне удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьных уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

Мне очень интересно было работать над этой темой. Я планирую продолжать изучать интересные факты математики. Они позволят мне расширить кругозор, развить интерес к предмету и тщательнее  подготовится к выпускным экзаменам.

А мои выступления перед другими ребятами позволят и им разобраться в данных вопросах, помогут им научится решать сложные задачи.

4. Список используемой литературы.

1. Академия наук социальных технологий и местного самоуправления Закамское отделение КРУГИ ЭЙЛЕРА: ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ Составитель А.И.Синюк

2. Александров, П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П.С. Александров. 2011

3. Занимательная  математика.  5—11  классы.  Как  сделать  уроки  нескучными  /  Авт.  сост.  Т.Д.  Гаврилова.  Волгоград:  Учитель,  2005.

4. Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

5. Словарь по логике. — М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС. , . 1997

6. Энциклопедия  для  детей.  Т.  11.  Математика  Глав.ред.  М.Д.  Аксёнова.  М.:  Аванта  +,  2001

7. Интернет блог  tutoronline.

8. Интерактивный учебник фоксфорд  Круги Эйлера Математика (Множества)

9. Интернет. Википендия Диаграмма Эйлера.