Построение графика квадратичной функции, содержащей модуль
статья по алгебре (9 класс)

График квадратичной функции, содержащей модуль.

Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры   а, в и с – любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной. 
График функции у=ах²+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы  является прямая .  При а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз. 
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Определение: абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

Свойства:   1 .|a| ≥0,                      3  .|a∙b|=|a|∙|b|,  

                     2.  |a|²= a²,                  4.  |a/b|=|a|/|b|, b≠0

2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
На примере функции у= x ^2– 6х +5  рассмотрены  всевозможные случаи расположения модуля.

 у = |x  2 – 6х +5|

у = | х | 2 – 6х +5

у = х² – 6|х| +5

у = |х|² - 6|х|+5

у = |х² – 6х| +5

у = |х² – 6|х| +5|

у = x  2 -|6х + 5|

|y|= x  2 – 6х +5
 Пример 1:Построим график функции у = |x  2 – 6х +5|. 
Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

1) x 2– 6х +5≥ 0, тогда у= x 2– 6х +5.

Построим данную параболу. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.

2) x 2– 6х +5<0, тогда у= -(x 2– 6х +5) или -x 2+ 6х -5>0, y= -x 2+ 6х -5.

Построим график данной функции, и выделим  все точки параболы с положительной ординатой.    Все выделенные в обоих случаях точки образуют график функции у = |x  2 – 6х +5|. 

 .

Итак ,можно сделать вывод: чтобы получить график функции у = |x  2 -6х + 5|, нужно часть параболы, расположенной ниже оси Ох, зеркально отобразить относительно оси Ох .
Пример 2:Рассмотрим график функции у = |х|²– 6х +5. 
Т. к. |х|²= х²,   то  график функции   у =|х|² - 6х +5 совпадет с графиком функции у = х² - 6х +5, не содержащей знак абсолютной величины.


 .
Пример 3: Рассмотрим график функции у = х² – 6|х| +5. 
Воспользуемся определением модуля числа.

Пусть x≥0, тогда y= х² - 6х +5.

 Построим параболу  у = х² - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям  х , т.е. часть, расположенную правее оси Оу.

2)Пусть x<0, тогда  y= x² + 6х +5.

В той же координатной плоскости построим параболу   у = х² +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции                     у = х² - 6|х| +5

         Итак, можно сделать вывод: для построения графика функции                     у = х² – 6|х| +5. надо сохранить ту часть графика , точки которой находятся на оси Oy или справа от нее, и симметрично отобразить ее относительно оси Оy.

Пример 4: Рассмотрим график функции у = |х|² - 6|х|+5. 
Т.к. |х|²= х²,     то график функции у = |х|² – 6|х| +5 совпадает с графиком функции у = х² – 6|х| +5, рассмотренном в примере 3.
 Пример 5. Построим график функции у = |х² – 6х| +5. 
Для этого построим сначала график функции у = х² - 6х. Чтобы получить из него график функции у = |х² - 6х|, нужно часть параболы, расположенную ниже оси х, заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам 

Нужно построить график функции у = |х² - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х² - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх.

  Пример 6: Построим график функции у = |х² – 6|х| +5|. 
Для этого сначала построим график функции у =х²- 6|х| +5. (см. пример 3).

 Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции 

у = |х² – 6|х| +5|, нужно  часть параболы, расположенную ниже оси Ох, заменить линией ей симметричной относительно оси Ох.

 Пример 7:Построим график функции у = x  2 -|6х + 5|.

Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:

6х+5≥0,  т.е.  х ≥ -5∕6, , тогда функция  примет вид у=x² - 6х -5.

 Построим параболу и обведем ту часть , где x≥-5∕6,

6х+5<0, т.е.  х < -5∕6, тогда функция принимает вид у=x² + 6х +5.

 Построим эту параболу и обведем ту её часть, которая расположена левее  точки с абсциссой  х =-5∕6,

Обведенные в обоих случаях части парабол являются графиком данной функции.

Пример 8.    |y|= x  2 – 6х +5

 Равенство |y|= x  2 – 6х +5 не задает функции, т. к. при 

 x  2 – 6х +5 >0 имеем 2 значения y, соответствующих 

данному значению  x, а при x  2 – 6х +5 <0, ни одного такого 

значения. График данного уравнения строится так:

Отбрасываем ту часть графика , которая лежит ниже оси

Ох, а оставшуюся часть симметрично отображаем

относительно оси Ох.

 1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции   y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох.

2) Для построения графика  y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу.

3) Чтобы построить график функции |y|= x  2 – 6х +5 нужно:

Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси

Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить

относительно оси Ох

Используемая литература:
1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева. 2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.