Электронный образовательный ресурс для обучающихся 11 класс "Комплексные числа"
электронный образовательный ресурс по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Комплексные числа Алгебра и начала анализа. А.Г. Мордкович, профильный уровень 10 класс

Слайд 2

Содержание Комплексные числа и операции над ними Комплексные числа и координатная плоскость Тригонометрическая форма записи комплексного числа Комплексные числа и квадратные уравнения Возведение комплексного числа в степенью Извлечение кубического корня из комплексного числа

Слайд 3

Комплексные числа и операции над ними

Слайд 4

Числовые множества N – множество натуральных чисел 0 -нуль Множество чисел, противоположных натуральным Z Множество целых чисел Дробные числа Множество рациональных чисел Q R

Слайд 5

Перед нами числовые множества, свойства которых мы изучали в курсе средней школы. Мы знаем, что с элементами этих числовых множеств можно совершать следующие алгебраические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел.

Слайд 6

N – множество натуральных чисел 0 -нуль Множество чисел, противоположных натуральным Z Множество целых чисел Дробные числа Множество рациональных чисел Q R = -1 C

Слайд 7

Таким образом, схема расположения основных числовых множеств имеет вид: N Z Q R C. Появилось новое число, которое называют мнимая единица: = -1 . Произведение мнимой единицы и действительного числа называют чисто мнимым числом . Например, -4 i , 0,3 i, 15 i, i .

Слайд 8

Определение комплексного числа Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимой части. Z = a + bi C a R, b R, i – мнимая единица. Приведите примеры комплексных чисел.

Слайд 9

Два комплексных числа называются равными , если равны их действительные и мнимые части. a + bi = c + di a=c, b=d Арифметические операции над комплексными числами выполняются по известным Вам алгебраическим правилам: z 1 + z 2 = a + bi + c + di = ( a+c ) + ( b+d ) i . z 1 - z 2 = ( a + bi) – (c + di ) = (a-c) + (b-d) i . z 1 • z 2 = ( a + bi) • (c + di ) = (ac- bd ) + ( bc+ad ) i . Для частного 2 комплексных чисел тоже можно вывести формулу, но лучше запомнить правило: при делении 2 комплексных чисел нужно умножить числитель и знаменатель полученной дроби на число, сопряжённое знаменателю.

Слайд 10

Комплексные числа и координатная плоскость

Слайд 11

Геометрической моделью множества С является координатная плоскость . Каждому комплексному числу Z = a + bi можно поставить в соответствие точку координатной плоскости ( a ; b ). Причём, по оси абсцисс откладывается действительная часть числа, а по оси ординат – мнимая. Построим число z 1 = 3+2i. 2 3 Y X 0 z 1

Слайд 12

Любую точку на координатной плоскости можно воспринимать двояко: алгебраически, как упорядоченную пару ( a ; b )действительных чисел, и как вектор с началом в точке (0 ; 0 ) и концом в точке ( a ; b ). При векторном подходе получают смысл операции сложения, вычитания и умножения. 3 Y X 0 z 1 2

Слайд 13

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Слайд 14

Определение модуля комплексного числа. Модулем комплексного числа z = a + bi называют число . Обозначение: І z І . Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только тогда, когда соответствующая ему точка координатной плоскости лежит на числовой окружности.

Слайд 15

Если комплексное число z = a + bi лежит на числовой окружности, то z = cos α + i sin α для некоторого действительного числа α ; если z = cos α + i sin α , то z лежит на числовой окружности. Y X 0 1 z s in α cos α -1

Слайд 16

Тригонометрической формой записи о тличного от нуля комплексного числа z называют его запись в виде z = ρ( cos α + i sin α ) , где ρ – положительное действительное число. Теорема . Всякое отличное от нуля комплексное число z , может быть записано в виде z = І z І ( cos α + i sin α ) , где α – некоторое действительное число. Если z = ρ( cos β + i sin β ) - другая тригонометрическая запись числа z , то ρ = І z І и β – α = 2 π k, k Z.

Слайд 17

Задание: Записать в тригонометрической форме число 2 – 2 i . Решение . z = І z І ( cos α + i sin α ) Найдём модуль числа z = 2 – 2 i . Получим І z І = =4. Значит, z = 4( ). Осталось вычислить аргумент α , исходя из следующих соображений: cos α = , sin α = - , - π < α < π . Этим условиям удовлетворяет число α = - . Получили, 2 – 2 i = 4 ( cos (- ) + i sin (- ) ).

Слайд 18

Комплексные числа и квадратные уравнения

Слайд 19

Квадратным корнем из комплексного числа z называют комплексное число, квадрат которого равен z . Множество всех квадратных корней из комплексного числа z обозначают . Значит, теперь мы можем найти корни квадратных уравнений, имеющих отрицательный дискриминант: если d < 0, то = ± ∙ i . Пример. Решите уравнение z 2 – 2z + 2 =0 . D1 = ; z 1,2 = 1± = 1± i . Ответ: 1 ± i .

Слайд 20

Квадратный корень из комплексного числа. Если b ≠0 , то Эта теорема позволяет извлекать корни из комплексных чисел с ненулевой мнимой частью.

Слайд 21

Вычислите Решение . = ± ( + i ∙ ∙ )=±(4+ i ). Самостоятельно выполните №35.13 (в). Ответ: ± . Теперь можно извлечь корень из любого комплексного дискриминанта.

Слайд 22

Возведение комплексного числа в степень. Извлечение кубического корня из комплексного числа.

Слайд 23

Формула Муавра. ( ρ ( cos α + i sin α )) n = ρ n ( cos n α + i sin n α )), n N . Задание. Вычислить: (2 ( cos 15° + i sin 15°) 6 . Решение. ( 2( cos 15° + i sin 15°) 6 = 2 6 ( cos (15°∙6) + i sin (15°∙6))= =64( cos 90° + i sin 90°)=64i.

Слайд 24

Извлечение кубического корня из комплексного числа. Теорема. Задание классу: §§ 32-36, выписать примеры с решениями. Выполнить домашнюю контрольную работу