алгебраические методы решения показательных уравнений
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

Методы решения показательных уравнений

1. Алгебраические методы решения

1. Метод уравнивания оснований

Теорема: Показательное уравнение  , а , равносильно уравнению f(x) = g(x).

Пример 1. .

Т.к.  то данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Пример 2.  27  

33; ; 4х -6 = 2х +2; х = 4

Ответ: 4

Пример 3. ; ; х = 4х – 15; х = 5

Ответ: 5

Пример 4. ;

Ответ:

Пример 5.

Ответ:

2. Сведение показательного уравнения к виду

Теорема: Показательное уравнение

.

Пример 6.

; а +с = в, х1 = -1; х2 = 7.

Ответ: -1; 7.

3. Деление обеих частей уравнения на одно и тоже выражение.

Пример 7.  .

. х = 0.

Ответ: 0.

Пример 8.

Ответ: 0.

4. Разложение на множители.

Пример 9.

Х = 2; х=3

Ответ: 2;3

Пример 10.

Ответ: 0.

5. Введение новой переменной.

Пример 11.  5

Пусть

5t2 +23t -10 =0. D = 529 +200 = 729; t1 = -5 не подходит, t2 = 0,4.

0,4х = о,4; х = 1.

Ответ: 1

Пример 12.  Разделим обе части на

Пусть ; z2 – 8z – 9 = 0; z1= -1 не подходит; z2 = 9.  = 9; х= 2

Ответ : 2

6. Уравнение вида Аакх +Вакх вmx  + С вкх = 0. Надо обе части разделить  на

акх или вкх.

Пример 13.  2  Разделим обе части на 2х 3х, получим:

 t = 1; t  ;  ; x = -1.

 Ответ: -1; 0.

7. Пример 14.   = 4

Видим,  = 1. ;

 Пусть .  Получаем уравнение:

t + .

. Х =1.  

 Ответ: -1,1

8. Использование свойства монотонности.

Пример 15. 5х + 7х =1.

Видим, что при х =1 получаем тождество. Следовательно, 1 – корень

При х  .

При х

Следовательно, других корней нет.

Ответ: 1