Урок "Методы решения логарифмических уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Тема урока: «Методы решения логарифмических уравнений»

                               Учитель математики МБОУ«Общеобразовательная                                            

                               Хетовская средняя школа» Воробьева Л.М.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Цели урока:

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся о логарифме и его свойствах; умения решать логарифмические уравнения различными методами.

Развивающие: развивать творческую и  мыслительную деятельность учащихся, способствовать формированию навыков коллективной работы, развивать умение четко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные: формирование интереса к предмету.

:

1.Повторение определения и свойств логарифмов. Поставите в соответствие:

 Методы решения логарифмических уравнений

1. Уравнения, решаемые по определению.

logab=c,тогда ас=в,а>0, b>0,а.

Примеры

а)log24=Х        б) logx64=3

                                   х3=64

2х=25/2                                    х=4

х=5/2

       2. Метод потенцирования. Он основан на теореме: Если f(х)>0и g(х)>0,то логарифмическое уравнение logaf(х)=logag(х), (а>0,а) равносильно уравнению f(х)=g(х).

Решите уравнение:

lg(х+4)+lg(2х+3)=lg(1-2х).

Решение: Данное уравнение равносильно:

lg(х+4)(2х+3)=lg(1-2х),                    2х2+13х+11=0,

2х+3>0,              >х>-

1-2х>0,

Ответ: -1.

       3.Метод введения новой переменной.

Решите уравнение:         а)  4-lgх=3.

Решение: Воспользуемся методом замены. Пусть =t,тогда данное уравнение примет вид t2+3t-4=0,откуда t1=1,t2=-4(посторонний корень).

Следовательно, =1,lgx=1,х=10.

Ответ:10

б)    lg2x-3lgx+2=0, О.Д.З.х>0.  

Пусть lgx=t, tR,

t2-3t+2=0, t1=1,t2=2.

Если t1=1,то lgx=1,х=10., если t2=2,то lgx=2,х=100.

Ответ: х1=10, х2=100.

         4.Функционально-графический метод.

Решите уравнение: lgx=11-х.

Так как функция у=lgx возрастает, а функция у=11-х убывает , то заданное уравнение имеет только один корень, который легко можно найти. При х=10 данное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1.

Ответ:х=10.      

          5. Метод приведения к одному основанию. 

 logab=,а>0, в>0, с>0, а, с.

Решите уравнение: log2х+log44+log16х=7.

Решение. Перепишем уравнение в виде:

log2х=.

Ответ: 16.

         6.Метод логарифмирования.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y=f(x)g(x),при этом 2чаще всего подразумевается, что f(x)>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решите уравнение: хх+2=х5.

Решение: хх+2=х5 lgxx+2=lgx5(x+2)lgx=5lgx(x-3)lgx=0

Ответ:1;3 .

        7. Использование свойств монотонности функции.

Пример: log3(x+1)+log4(5x+6)=3/ О.Д.З. х>-1,2.

у=log3(х+1)-возрастающая функция, у=log4(5х+6)-возрастающая функция, 3-const. Сумма двух возрастающих функций равна возрастающей функции.

Используем утверждение: если возрастающая функция равна const или убывающей функции, тогда уравнение имеет один корень, который находится с помощью метода подбора.

Ответ:х=2.

        8. Использование свойств ограниченности функции.

Пример: log2(17-│sin0,5пх│)=2,

Рассмотрим левую часть: так как 0≤│sin0,5пх│≤1,то log2(17-│sin0,5пх│)≥log216=4,то есть л.ч.≥4 при х=1 достигается равенство.

Рассмотрим правую часть 2=2 ≤=4, 2≤4,при х=1 достигается равенство.

Ответ:х=1.

        9.Однородные уравнения 2 степени.

ах2+вху+су2=0 │:у2≠0, а(х ∕у)2+в(х ∕ у)+с=0, аt2+вt+c=0 .

Пример: 3log22(х+1)-4log2(2x+1)log2(x+1)+log22(2x+1)=0, О.Д.З.х>-0,5, делим на log22(2x+1) и log2(x+1) ∕log2(2х+1)=t, получаем уравнение вида: 3t2-4t+1=0, t1=1, t2=.

log2(x+1) ∕ log2(2x+1)=1, log2(x+1)=log2(2x+1), х+1=2х+1, х=0.

 log2(x+1)/ log2(2x+1)=, 3log2(x+1)=log2(2x+1), (х+1)3=2х+1,

х3+3х2+3х+1=2х+1 , х(х2+3х+1)=0 х1=0, х2=, х3=О.Д.З.

Ответ: х=0,  х =.

        10 Использование формулы: аlogcb=blogca, в>0, а.>0, с>0, в≠1,а≠1,с≠1.

Пример: 3хlog52+2log5x=64, О.Д.З. х>0,

3∙2log5x+2log5x=64, 2log5x=16 , log5х=4 , х=625.

Ответ: х=625.

         Подведение итогов.

         Домашнее задание.  Решите уравнения:

1).log2+log2(х2-25)=0. Ответ:х=6.

2) 3х+1=5х-1. Ответ: log5∕315.

3)log2x+1(5+8x-4x2)+log5-2x(1+4x+4x2)=4.Ответ: 0,5; 1.

4)2+6log8x=log2(6х+18).

5)log3x+log9x+log27x=.

          Литература

1.А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа» -учебник, задачник 10-11 классы.

2. «Тренировочные задания ЕГЭ повышенной сложности». Г.И.Ковалева и др. «Учитель» Волгоград

3. П.В.Чулков «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики», лекции 5-8.

4. «Математика ЕГЭ. Эффективная подготовка» Л.Д.Лаппо, М.А.Попов «Экзамен» Москва.