Внеклассное мероприятие "Метод математической индукции"
план-конспект занятия по алгебре (8, 9 класс)

Цель деятельности учителя

Создать условия для объяснения метода математической индукции, демонстрации применения при решении задач

Основное содержание темы, термины и  понятия

Индукция, база индукции, предположение

Планируемые результаты

Предметные результаты

Универсальные учебные действия

Умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач.

Познавательные: умение создавать, применять и преобразовывать  знако - символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач.

Регулятивные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение, выводы.

Коммуникативные: умение организовать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем.

Личностные: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Организация образовательного пространства

Формы работы

Фронтальная, групповая

Образовательные ресурсы

Задания для самостоятельной работы

1 этап. Актуализация опорных знаний

Цель: проверить уровень сформированности знаний учащихся по изучаемой теме

1. Проверка понятия делимости

Доказать, что 36:9

Ответы учеников ( 36=9*4,36=9+9+9+9)

2. Постановка проблемы

              Доказать, что , при n2.

Можно ли рассуждать также? Видимо существует способ, который мы еще не знаем.

Постановка цели занятия.

Метод математической индукции.

Прежде дадим ответ на следующий вопрос.

Что такое индукция?

Слайд

Согласно определению , индукция  это - переход от частных утверждений к общим утверждениям (от латинского слова inductio – наведение).

При изучении явлений в любой области знаний – будь, то математика или история, физика или медицина, астрономия или экономика всюду и всегда основным этапом является установление определенных закономерностей,  связывающих отдельные элементы изучаемого явления. Мы подмечаем определенную связь между элементами изучаемого явления справедливого для многих частных случаев, затем распространяем на все случаи  вообще, устанавливая тем самым общий закон, раскрывающий сущность данного явления.

Все утверждения можно разделить на общие и частные. Например, утверждение “Во всяком параллелограмме диагонали делятся  точкой пересечения пополам”, является общим, так как относится ко всему множеству параллелограммов. В то же время утверждение “В параллелограмме ABCD диагонали делятся  точкой  пересечения пополам”, является частным, так как относится к конкретному параллелограмму ABCD.

На основе частных утверждений делают некоторые предположения (гипотезы) о справедливости какого либо общего утверждения. Иногда эти предположения оказываются верными, иногда ошибочными. Например, квадрат, прямоугольник  - четырехугольники с прямыми углами. Значит, все четырехугольники с прямыми углами. Такое утверждение неверно.

Многие свойства чисел сначала были открыты путем наблюдений, задолго до того как истинность их была строго доказана.

2 этап. Учебно-познавательная деятельность

Цель: познакомить учащихся с методом математической индукции

Переход от частных утверждений к общим называют индукцией (от латинского слова inductio – наведение).

Слайд

Например, знаменитый математик XVII в. П.Ферма, проверив, что числа

, , , ,  простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида , простые.

Слайд

Однако это предположение оказалось неверным, так как в XVIII веке Л. Эйлер нашел, что  — составное число.

Как видим, индукция не является методом доказательства, а лишь помогает сформулировать неизвестный результат в виде некоторой гипотезы, справедливость которой надо потом доказать.

В случае,  когда утверждение касается конечного числа объектов, его можно доказать, проверяя для каждого объекта.

В чем же заключается суть исследования, которое позволяет доказать или опровергнуть математическое утверждение? Ответ мы найдем при разборе следующей задачи.

Задача

Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.

1,3,5,7,9,11,13…

Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

Решение

Составим суммы одного, двух, трех, и т.д. первых членов данной последовательности:

S1=1;
S2=1+3=4;
S3=1+3+5=9;
S4=1+3+5+7=16;
S5=1+3+5+7+9=25;

Заметим, что

S1=12;
S2=4=22;
S3=9=32;
S4=16=42;
S5=25=52;

На основе этих наблюдений мы можем высказать предположение, что

Sn=1+3+5+7+…+(2n-1)=n2 (1)

Верно ли это предположение при любом целом положительном n?

Приняв наше предположение за закон, не уподобимся ли мы тем зоологам, которые до открытия Австралии утверждали, что все лебеди на земле белые?

Лучше пойдем по иному пути в поисках общего доказательства высказанного нами утверждения.

Предположим, что формула (1) верна для n=k, где kN, то есть

1+3+5+7+…+(2k-1)=k2 (2)

Докажем ее справедливость и для числа, непосредственно следующего за k, для числа n=k+1.

Sk+1=1+3+5+7+…+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (3)

Заменим на основе равенства (2) Sk=1+3+5+7+…+(2k-1) на k2.

Sk+1= Sk +(2k+1)= k2 +(2k+1)= (k+1)2 (3)

Мы пришли к очень важному выводу:

Если наше предположение верно для некоторого натурального k, то оно непременно остается верным для следующего целого числа k+1.

Мы уверены, что предположение верно, для n=1,2,3,4,5. Будучи верным, для 5 оно на основе полученного вывода оно должно быть верным и для следующего целого числа 6, будучи верным, для 6 оно должно быть верным и для 7 и так далее. Предположение верно для всех натуральных чисел.

Данное решение может быть укорочено. При переходе, от какого либо произвольного натурального числа k к следующему за ним натуральному числу k+1 нужно ли проверять наше предположение для n=5,4,3,2. Достаточно быть уверенным в том, что оно справедливо для n=1. И тогда мы скажем: если предположение верно для n=1, то оно, на основании доказанного,  верно и для n=2, если оно верно при n=2, то оно верно и для n=3 и так далее.

Решая эту задачу, мы познакомились с очень важным методом доказательства. Такой метод можно было бы назвать “переходом от k к k+1”, но обычно его называют методом математической или полной индукции.

В основе этого метода лежит принцип математической индукции, который заключается в следующем.

Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если:

1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел,  при котором закономерность имеет смысл.
2. Из справедливости утверждения для какого либо произвольного натурально n=k, следует его справедливость для n=k+1.

Само доказательство методом математической индукции состоит из следующих частей.

1. Проверяют справедливость гипотезы для наименьшего из натуральных чисел при котором гипотеза имеет смысл (базис).
2. Сделав предположение, что гипотеза верна для некоторого значения k, стремятся доказать справедливость ее для k+1.
3. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n.

3 этап. Решение задач

Цель: сформировать умение применять полученные знания при решении задач по заданной теме

1.Фронтальная работа по проблеме

       1.       Доказать, что , при n2.

Решение

• База индукции.

Гипотеза имеет смысл при n2. Проверим верность утверждения при n=2

, 57=19* 3

• Предположение.

Предположим, что при n=k>2, .

Докажем, что .

• Гипотеза оказалось справедливой и при n=k+1. На основе принципа математической индукции можно утверждать, что высказанная гипотеза справедлива для любого натурального числа n2.

2. Решение задач в группе

2. Доказать, что делится на 11. 

Итоги занятия. Рефлексия

1. С каким методом познакомились?

Когда можно его применять?

2. - Закончите предложения:

• Я все понял и могу объяснить товарищу …
• Я усвоил тему, но не смогу объяснить…
• Эта тема для меня трудная…

1.Слайд по применению метода

Слайд  со словами Колмогорова

2.Домашнее задание из заданий контрольной работы ЗМШ - 9