План-конспект открытого урока по алгебре 10 класс по теме "Степенная функция"
план-конспект урока по алгебре (10 класс)

Открытый урок по Алгебре в 10 классе  на тему

 «Степенная функция, ее свойства и график» 

Составил: учитель математики Елисеев Алексей Дмитриевич

МБОУ Каринская средняя общеобразовательная школа

МО, Одинцовский городской округ,  село Каринское, сентябрь 2020 г.

Тема урока: степенная функция, ее свойства и график.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

• обобщить понятие степенной функции, ее свойств путем знакомства со свойствами и графиками различных (в зависимости от показателя степени) видов степенной функции;
• обозначить перспективу практического применения знаний о степенной функции.
• Образовательная цель: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний о степенной функции: виды, свойства и график.
• Воспитательная цель: создать условия для применения на уроке математики знаний, полученных в других предметных областях; развивать познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, а так же коммуникативные способности учащихся.
• Развивающая цель: продолжить развитие культуры умственной деятельности (анализ, синтез, классификация, планирование), математическая речь

Оборудование: компьютер, интернет ресурс DESMOS.COM, проектор с экраном, доска, учебник для ОО «Алгебра и начала математического анализа» Ш.А. Алимов.

План урока:

1. Организационный момент (приветствие, сообщение темы урока, постановка задач урока)
2. Актуализация знаний: повторение понятий функции, графика функции, свойства степени и корня, визуализация известных графиков функций:  y=x², y=x³,  y=1/x  ,y=√x или y=x½    с указанием области определения функции, множества значения функции, промежутков убывания/возрастания функции, наибольшее/наименьшее значение функции.
3. Изучение нового материала: определение степенной функции, свойства функции для всех показателей. Знакомство с графическим и математическим онлайн калькулятором DESMOS.COM.
4. Закрепление учебного материала: решение задач. Практическое применения степенных функций.
5. Домашнее задание.
6. Рефлексия: итог урока, оценивает деятельность класса и отдельных учащихся, выделяет удавшиеся моменты, выясняет, что вызвало наибольшую трудность.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте. Садитесь. Отложим все лишнее и настроимся на рабочий лад. Сегодня у нас урок по теме “ Степенная функция “.

Целью нашего урока является показать роль свойств степенной функции в процессе решения ряда математических, физических и экономических задач, а, следовательно, и роль этой функции и ее свойств в процессе сдачи ЕГЭ.  

2. Актуализация знаний учащихся

Для начала вспомним определение функции:

Вопрос 1: Что такое функция?   

Ответ: Функция (отображение, оператор, преобразование) — соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Вопрос 2: Какие функции Вы знаете?   

Ответ: 

• Прямая пропорциональность.
• Линейная функция.
• Обратная пропорциональность.
• Квадратичная функция.
• Степенная функция.
• Показательная функция.
• Логарифмическая функция.
• Тригонометрические функции.
• Обратные тригонометрические функции.

Все выше перечисленные функции относятся к элементарным функциям.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций. Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Вопрос 3: Что называется графиком функции?   

Ответ:

• Это геометрическое понятие в математике, дающее представление о геометрическом образе функции.
• В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y), которые связаны отображаемой функцией или проще множество точек координатной плоскости, абсциссы которых составляют область определения функции, а ординаты соответствующие значения функции.

• Изучение любой функции завершается построением графика этой функции.

Задание: Обратите внимание, на эскизе представлен некий пейзаж. Постарайтесь среди данных линий найти графики функций.

Вопрос 3: Так любое ли множество точек на координатной плоскости задает график функции?

Ответ:

Нет, только такое множество, где каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции

Посмотрите, насколько значимо изучение функции! Как мы видим на эскизе, графики функций встречаются не только в математике, но и в природе (горы, леса, деревья) – все, что нас окружает, состоит из графиков функций.

Вопрос: А какие из этих линий относятся к графикам степенных функций?

Теперь давайте вспомним следующие функции, их графики и свойства:

y=x², y=x³,  y=1/x  ,y=√x или y=x½  , y=x

На рисунке изображены графики ряда степенных функций, обозначенные цифрами от 1 до 5). Давайте вспомним:

• названия графиков и их соответствие  алгебраической записи функции;
• свойства изображенных функций (область определения, область значений, четность/нечетность).

Будем называть функцию, а вы же должны указать соответствующий ей график функции (или наоборот).

3. Степенная функция.

И так, мы вплотную приблизились к пониманию степенной функции.

3.1 Степенная функция — это функция вида y = xp , где p — заданное действительное число (показатель степени).

• К степенным функциям часто относят и функцию вида y=kxp , где k — некоторый (ненулевой) коэффициент.
• На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.
• Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля).
• Графики степенной функции при натуральном показателе p (=n, принадлежит множеству N – натуральных чисел) называются параболами порядка n.
• При p=1 получается y=kx, называемая прямой пропорциональной зависимостью.
• Графики функций вида y=xn  где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n.
• При p=-1 получается функция y=x-1  или y=1/x называемая обратной пропорциональной зависимостью.
• Если p=1/n ,то функция есть арифметический корень степени n.

С помощью интернет ресурса DESMOS.COM (известный графический и математический калькулятор) наглядно демонстрируем графическое отображения степенных функций, которые будем рассматривать ниже.

• Ссылка на графический калькулятор: https://www.desmos.com/calculator?lang=ru
• Ссылка на руководство пользователя редактором DESMOS на русском языке:

https://desmos.s3.amazonaws.com/Desmos_User_Guide_RU.pdf

3.2 Свойства степенной функции:

1. Если показатель p = 2n — четное натуральное число:

1. область определения — все действительные числа, т. е. множество R;
2. множество значений — неотрицательные числа, т. е. y ≥ 0;
3. функция четная;
4. функция является убывающей на промежутке x ≤ 0 и возрастающей на промежутке x ≥ 0.

1. Пример функции с показателем p = 2n: y = x4, y =x16 

2. Если показатель p = 2n - 1 — нечетное натуральное число:

1. область определения — множество R;
2. множество значений — множество R;
3. функция нечетная;
4. функция является возрастающей на всей действительной оси.

1. Пример функции с показателем p = 2n - 1: y = x5 и y=x17

3. Если показатель p = -2n, где n — натуральное число:

1. область определения — множество R, кроме x = 0;
2. множество значений — положительные числа y > 0;
3. функция четная;
4. функция является возрастающей на промежутке x < 0 и убывающей на промежутке x > 0.

1. Пример функции с показателем p = -2n: y = 1/x2 и y = 1/x16  

4. Если показатель p = -(2n - 1), где n — натуральное число:

1. область определения — множество R, кроме x = 0;
2. множество значений — множество R, кроме y = 0;
3. функция нечетная;
4. функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0.

1. Пример функции с показателем p = -(2n - 1): y = 1/x3 и y = 1/x17    

5. Если показатель p — положительное действительное нецелое число:

1. область определения зависит от четности знаменателя;
2. множество значений зависит от четности знаменателя;
3. функция является возрастающей/убывающей в зависимости от четности знаменателя;

1. Пример функции с показателем p, где p — положительное действительное нецелое число:  y =x1/3 и y= x4/3.

6. Если показатель p — отрицательное действительное нецелое число:

1. область определения — зависит от четности знаменателя и числителя, но x≠0;
2. множество значений — зависит от четности знаменателя и числителя, но y≠0;
3. функция является убывающей на промежутке x > 0.

1. Пример функции с показателем p, где p — отрицательное действительное нецелое число: y =x-4/3  и y= x -1/3.

4. Решение задач. Практика

4.1 Задача 1.

Рассмотрим задачу из физики (пример практического применения степенных функций):

На учебном полигоне произведён выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении. Требуется определить наибольшую высоту подъёма снаряда h, время подъёма t1 и время падения t2, если начальная скорость снаряда V0 = 400 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.  

Решение: (проводится совместно с учениками на доске).

4.2 Задача 2.

Рассмотрим задачу из экономики с использованием степенной функции:

Вкладчик поместил в банк 1000р. Банк ежегодно выплачивает вкладчику 3% от суммы вклада. Какую сумму денег s получит вкладчик через  2 года?

Решение: (проводится совместно с учениками на доске).

5. Домашнее задание

Подобрать задачи из жизни и других наук, в которых встречается степенная функция.

Глава II Степенная функция §6 №124 (четные номера), №176, 177

6. Рефлексия

Сегодня на уроке мы еще раз показали, насколько многогранно, изысканно и красиво используются свойства степенной функции в процессе решения математических задач, а также задач из разделов физики, экономики, в природе, в технике и т.д. Подводим итог урока, оцениваем деятельность класса и отдельных учащихся, просим учащихся  выделить удавшиеся моменты, выясняем, что вызвало наибольшую трудность.