Модульные уроки по теме Геометрическая прогрессия
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Геометрическая прогрессия   Модуль 7

[

Геометрическая прогрессия

Модуль 2.

Геометрическая прогрессия

Модуль 3

Модульная программа по блоку «Геометрическая прогрессия» § 16, пп.1-5 (6часов)

Понятийное поле:

А1 - определение геометрической прогрессии (ГП), рекуррентная формула n-го члена, формула n-го члена.

А2 – определение ГП, рекуррентная формула n-го члена, формула n-го члена.

А3 – сумма  n членов ГП.

А4 - сумма  n членов ГП.

А5 – характеристическое свойство членов ГП.

А6 - определение ГП, рекуррентная формула n-го члена, формула n-го члена, сумма  n членов ГП, характеристическое свойство членов ГП.

Внеаудиторная самостоятельная деятельность обучающихся (В1)

Урок  в 9 классе

по теме «Применение векторов в решении задач»

Цели и задачи:

• Синтезировать и обобщить полученные теоретические и практические знания на уроках геометрии и физики,
• Развивать умения  применять знания и умения в знакомой и в новых учебных ситуациях,
• Развивать логическое мышление, память, самостоятельность,
• Формировать коммуникативную и эмоциональную культуру,
• Продолжать показ тесной связи точных наук,
• Воспитывать устойчивый интерес к изучению физики и математики через реализацию межпредметных связей,
• Воспитывать чувство взаимопомощи и объективной оценке знаний.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор, компьютер
• Чертежные инструменты
• Карточки-задания
• Презентация

Литература:

• Геометрия. 7-9 класс. Атанасян В.Ф.
• Физика. 9 класс. Громов С.В., Родина Н.А.
• Глейзер Г.И. История математики в 8-10 кл.
• Гусев, Ю.М. Колягин и др. «Векторы в школьном курсе геометрии» М.Просвещение.,1976
• Энциклопедический словарь юного математика, Москва «Педагогика». 1985
• Математика в понятиях, определениях и терминах. Под ред. Л.В. Собинина ч.1 . Библиотека учителя математики. М. Просвещение.1978

План

1. Из истории возникновения и развития понятия вектора.
2. Сравнительный анализ понятий. Связанных с вектором, в математике и физике.
3. Векторный метод решения задач в математике.
4. Применение понятия вектора в задачах физики.
5. Самостоятельная работа
6. Подведение итогов

Ход урока

Практика рождается из тесного соединения физики и математики.
Френсис Бэкон.

I. Орг. момент

Объясняются основные моменты урока: на столах у каждого карточки-задания.

Задачи ученики решают на выданных карточках, ответы записывают в лист самооценки. Возможна дополнительная оценка, для тех, кто решает быстрее.

II.  Целеполагание и мотивация. Приветствие.

На прошлом уроке вы получили задания:

-Составить шараду на слово «вектор»     слайд

Мой первый слог – почтенный срок,

Коль прожит он недаром.

Модель второго –         

на столе,

Румяна, с пылу, с жару.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «несущий».

- Как вы думаете: где еще в жизни кроме математики мы можем  видеть решение многих жизненных задач?

- В литературных произведениях таких, как сказка или басня .

(слайды 3-5.)

Применение векторов – басня Крылова  «Лебедь, щука и рак.»

Когда в товарищах согласья нет,
На лад их дело не пойдет.
И выйдет из него не дело, только мука.
Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись,
И вместе трое все в него впряглись,
Из кожи лезут вон, а возу всё нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:
Да Лебедь рвётся в облака,
Рак пятится назад,
А Щука тянет в воду.
Кто виноват из них, кто прав - судить не нам.
Да только воз и ныне там.

Сказка «Репка» .

                            Вводное слово учителя

  Понятие вектора является одним из важнейших понятий математики. Многочисленные термины и понятия- яркий тому пример: векторное исчисление, векторное поле, векторная функция, вектор кривизны, векторное пространство, векторное расслоение, векторное произведение, векторные поля на сферах.

   Широко используется вектор также в физике: в её разделах – механика, электротехника.  С понятием вектора вы знакомитесь и на уроках математики, и на уроках физики. Но в каждом учебном предмете векторы рассматриваются так, как это удобно для данного предмета. Обратите внимание на высказывание на доске:

Практика рождается из тесного соединения физики и математики.

- На уроках математики, решая задачи, мы с вами составляем математические модели реальных ситуаций. Но в жизни достаточно ситуаций, зависящих от природных явлений, т.е. физических величин. Сегодня на примере решения физических задач с векторными величинами мы постараемся убедиться в истинности эпиграфа, за урок каждый из вас, надеюсь, придет к хорошему результату.

-Сегодня мы должны научиться решать задачи по физике  с помощью векторов, чтобы отвечать на множество возникающих вопросов в жизни.

(называется тема урока) слайд 1

 теме «Применение векторов в  решении задач» по математике и физик

-Давайте поставим цели урока –

Ученики называют. Ответы на слайде 6

1.Повторить понятие “вектор”, действия над векторами. Обобщить все, что вы узнали о векторах в математике и физике.

2.Рассмотреть применение векторов в задачах по математике и физике разного вида.

 А сначала нам надо взглянуть на историю развития понятия вектора.  

 -Итак, ученица расскажет  историю возникновения и развития понятия вектора

 История возникновения и развития понятия вектора.

       Векторы появились в математике лишь в 40-х годах хIх столетия в работе немецкого математика, физика и филолога Германа Гроссмана  «Учение о линейном протяжении» (1844г.). Г.Гроссман (1809-1877) был преподавателем гимназии в Штеттине. Известен как исключительно оригинальный математик и физик. В физике ему принадлежит учение об электрическом токе, учение о цветах и теория гласных звуков. Он еще не знает слова «вектор», но работает с отрезками, придумывает правила их сложения и умножения такие, что по сути дела вводит понятие вектора.

       Независимо от Г. Гроссмана к понятию вектора пришел ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон.  Векторное исчисление он систематически изложил в «Лекциях о  кватернионах» (1853г.). Гамильтон ввел и сами термины «скаляр» (от латинского слова «skala» - лестница, шкала) и «вектор» (от латинского слова «vector» - переноситель). Гамильтон рассматривал вектор как символ переносного движения. Гамильтон широко применял векторную алгебру для рассмотрения новых видов «чисел» - кватернионов и для изучения вопросов механики. Например, он впервые записал условие равновесия системы сил. Векторный анализ Гамильтона был применен к теории электромагнитного поля английским физиком Дж.К.Максвеллом (1831-1879) в его «Трактате об электричестве и магнетизме», в котором было предсказано существование электромагнитных волн, впоследствие  открытых Генрихом Герцем (1857-1894) и положенных в основу радиотехники.

         Трактат Максвелла привлек к векторному исчислению внимание физиков, и профессор Йельского университета (США) ДжозайяВиллард  Гиббс (1839-1903) в «Элементах векторного анализа» и английский инженер и физик Оливер Хевисайд (1850-1925) в «Электромагнитной теории» объединили векторные исчисления Гамильтона и Гроссмана  и придали векторной алгебре её современный вид.

        Конец хiх  ихх в. Ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. В настоящее время понятия вектора и векторного  пространства  используются в линейной алгебре, аналитической и дифференциальной геометрии, функциональном анализе, специальной и общей теории относительности, во многих разделах физики.

            Класс слушает, каждый может дополнить ответ учащегося.

-Когда отправляются в дорогу, что берут с собой?

-Багаж .

- Давайте соберем наш багаж знаний о векторах,  а потом отправимся в дорогу «решение задач.» слайды7-13

См презентацию

1. Определение вектора.
2. Равные векторы.
3. Координаты вектора.
4. Сложение векторов.
5. Вычитание векторов.
6. Умножение вектора на число.
7. Коллинеарные векторы.
8. Разложение вектора по ортам.
9. Скалярное произведение векторов.

Проверьте свои знания, ответьте на вопросы теста: презентация

   III. Актуализация.

Учитель: - Напомню, возникнув, понятие “вектор” сразу нашло применение в физике. И неслучайно, вектор в школьной программе изучается в математике и физике. Важность этого понятия никто уже не оспаривает. Я предлагаю нам с вами провести сравнительный анализ понятия “вектор” и действий над векторами при изучении вектора в математике и в физике.

Учащийся проводит сравнительный анализ понятий, связанных с вектором, в математике и физике. Ответ на этот вопрос можно разделить между 2-3 учащимися (см.презентацию).

Вывод: (появляется на доске) - слайд 16-17

• в математике вектор можно отложить от любой точки плоскости,
• в физике силы приложены к одной точке;
• в математике используют при сложении векторов правило треугольника и правило параллелограмма,
• в физике чаще пользуются правилом параллелограмма; 
• в математике длину вектора называют модулем ,
• в физике – длиной.

Сделаем вывод: в каждом учебном предмете вектор рассматривается так, как это удобно для изучаемого вопроса.

- Не входя в воду, нельзя научиться плавать. А мы хотим научиться решать задачи, значит, начинаем их решать.

Разминка (1 мин.)

 Решение задачи №1 и №2- решает каждый ученик   на движение катера по течению и против течения. слайды  19-20.

Ответы сравнивают с доской, результаты - в лист самооценки.

Решается на доске:

Задача        

Дано: АВСД – параллелограмм

Доказать: += 2+ 2

При обсуждении задачи ставятся следующие вопросы:

1. Можно ли эту задачу решать векторным методом?

Ответ: можно, т.к. в задаче речь идет об отыскании длин отрезков, т.е. это задача 4 типа.

2. Каков алгоритм решения такой задачи?

Ответ: 1) выбираем векторы

                     2).Выражаем интересующие нас  векторы через

                         3). Вычисляем

    Итак, +2+2.

Самостоятельная работа (8-10 мин):(на листочках)

1. Доказать, что диагонали квадрата равны.
2. Определите скорость катера относительно берега.  Собственная скорость лодки 5 м/с, скорость течения реки 1 м/с. Лодка плывет по течению реки.

Решения

1. Доказать, что диагонали квадрата равны.

  Решение.

1. Пусть ==- векторы. Тогда =+, =-  .

= + 2+=+

(  = 0 ,  т.к.    ).  Значит= .

Следующее задание будете выполнять по парам:

Решить одну любую задачу №3,4,5

Ответы сравнивают с доской, результаты - в лист самооценки.

При решении этих задач вы составляли физическую модель реальной ситуации.

V. Работа в группах (10-12 мин)  

Pабота в группах – решить любые  задачи №6,  7

Слайды  25-26.

При объяснении задач необходимо, чтобы ученики указали на подобие треугольников (зад.9), правила сложения сил вдоль одной прямой и теорему Пифагора (зад.79), а также на направление движения тела под действием равнодействующей силы (на данном этапе изучения темы нас пока не интересует как движется тело под действием равнодействующей силы, важно конечное направление движения).

VI. Итог урока.

-Вернемся к целям нашего урока. Достигли мы их или нет?

-Значит справедливы слова эпиграфа:

«Практика рождается из тесного соединения физики и математики».

Возможно решать физические задачи математическими  методами ?

-Сегодня вы решали и простые задачи, знакомыми методами, и сложные задачи, в которых при решении приходилось использовать давно известные формулы и теоремы в новых условиях. Научились решать  задачи на основе реальных ситуаций?

VII. Рефлексия.

-Итак, этот урок является своеобразным “мостиком” между уроками математики и физики. Что же вы взяли для себя с этого урока? Чему научились и какие трудности испытывали при решении задач?

Предлагаю  вам   составить в своих группах синквейн  по нашему уроку Вектор  

геометрический   физический

взаимосвязаны  помогают в решении реальных задач

(ответы читают с места)

 IX. Оценки за урок (по листу самооценки).

Тема «Теорема косинусов»

Структура урока  открытия новых знаний:

1. Мотивационный этап.
2. Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление первого пробного действия
3. Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия
4. Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.
5. Реализация выбранного плана по разрешению затруднения. Это главный этап урока, на котором и происходит "открытие" нового знания.
6. Первичное закрепление нового знания.
7. Самостоятельная работа и проверка по эталону.
8. Включение в систему знаний и умений.
9. Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.

                     Цели урока:

Деятельностная: научить детей новым способам доказательства, ввести новые понятия, термины.

Содержательная: сформировать систему новых понятий, расширить знания учеников за счет включения новой теоремы.

 Образовательные: 

достичь осознания учащимися содержания теоремы косинусов, а также способов её доказательства;

 формировать умения воспроизводить содержание и доказательство теоремы косинусов, решать задачи на прямое применение теоремы косинусов к вычислению неизвестных элементов треугольников;

Развивающие:

формировать  и совершенствовать  метапредметные умения обобщать путем  сравнения,   постановки и решения проблем, оперированием  уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждением  по аналогии;

развивать тригонометрический аппарат как средство решения геометрических задач;

развивать психические  свойства: память,  произвольное внимание, воображение.

Воспитывающие:  воспитывать интерес к приобретению новых знаний;

воспитывать потребность в доказательстве высказанной гипотезы;

воспитывать чувство коллективизма.

Планируемые результаты:

Личностные:

иметь мотивацию к познанию; оценивать ситуацию, объяснять смысл своих высказываний; осознать необходимость самообразования; осознавать свои возможности

Метапредметные:

- регулятивные УУД

определять и формулировать тему и цель урока; выдвигать гипотезы при решении учебных задач;

понимать смысл поставленной задачи, осуществлять действия по реализации плана; оценивать правильность выполненного задания; определять степень успешности своей работы, осуществлять оценку своей деятельности

- познавательные УУД

извлекать информацию из записи на доске, ориентироваться в своей системе знаний; фиксировать проблему, выстраивать логическую цепь рассуждений; работать с математическим текстом, извлекать необходимую информацию; выполнять операции по нахождению неизвестной величины и анализировать полученные данные; осознавать новые знания

- коммуникативные УУД

организовывать учебное взаимодействие с учителем и сверстниками, доносить свою позицию до других; планировать общие способы работы, отстаивать свою точку зрения, аргументируя ее; ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в письменной и устной форме

Тип урока:  

Урок  открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков

Оборудование урока: ноутбук, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Ход урока

   Орг. часть.

 1. Этап актуализации знаний по предложенной теме и осуществление   первого пробного действия

(Фронтальная работа с классом)

Чертежи на доске

                                                                   - Как вычислить площадь                треугольника? Слайд1  2

                                                                       -Вспомним теорему синусов.слайд 3-4

1. Рис.1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны длины катетов a и b.

Рис.1

2. Рис.1. Как найти катет a, если известны длина гипотенузы c и В.

3. Рис.1.Как найти катет b, если известны длина гипотенузы с и А.                                                      

4. Чему равен квадрат расстояния между                         точками А (х1; у1) и В (х2; у2).

Рис.2

5. Рис 2.Найти координаты точки A, если OA = a и угол между положительной полуосью OX и лучом OA    равен .

6.Рис.3. a | | b. Что вы можете сказать об      углах 1 и 2. Односторонние,1 +2 = 1800 .  Если 2 = , тогда 1 = 1800 -

6. Чему равны:     sin(1800 - ) = ?                                cos(1800 - ) = ?              

Рис.3

2.Выявление затруднения: в чем сложность нового материала, что именно создает проблему, поиск противоречия

-Как вы решили домашнее задание  №1025 е?

Группам учащихся  предлагается задача на готовом чертеже.    Выдвигают и обсуждают гипотезы…                     

Дано:ABC,                          

AC = b, AB = c, A.   Найти: BC = a  

 3.Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.

-Теорема синусов для решения этой задачи не подходит, поскольку из трех известных элементов треугольника не известны сторона и противолежащий угол. Вместе с учениками определяет цель урока, акцентирует внимание учащихся на значимость темы. Выдвигают и обсуждают гипотезы, в т.ч.:…..

В результате обсуждения приходят к выводу:

Нужна новая теорема.

4.Мотивация учебной деятельности:          

О теореме обобщённой Пифагора,

 о теореме косинусов будем говорить,
Она надёжной станет в вычислениях опорой,

любые треугольники сумеем мы решить.
Мы вычисляем сторону любую

по двум другим известным сторонам,
Когда встречаем ситуацию такую,

вдобавок угол между ними нужен нам.
Чтоб стороны длину узнать,

квадратный корень здесь придётся извлекать.

Ни одного нет треугольника такого,

чтоб теорема вдруг не подошла!
Она не только в треугольнике углы определит,

 но также безошибочно укажет его вид.

Вот теорема важная какая!

Сегодня мы о ней достаточно узнаем.

Учитель- кто, скажет тему нашего урока?

Ученик- Тема урока   Теорема косинусов

Учитель- А каковы цели урока? С помощью наводящих вопросов учителя-

• Ученик-      узнать содержание теоремы косинусов, способов её доказательства;

• решать задачи на  применение теоремы косинусов к вычислению неизвестных элементов треугольников
• применять теорему к решению практических задач 

Итак, тема нашего урока..

1. Историческая справка: 

     Впервые теорема косинусов была доказана учёным математиком Аль-Бируни (973-1048 г.г.). Теорему знали и древние греки:  ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида (IV век до н.э.), где излагается геометрическая алгебра, с помощью геометрических чертежей даются решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям.  Доказал теорему косинусов Евклид в 325 году  до  н. э. С помощью данной теоремы и теоремы синусов, можно будет полностью решить задачу: «Решить треугольник», т.е.  как зная одни из основных элементов треугольника (их 6: 3 угла и 3 стороны), найти другие.   

        5. Разработка проекта, плана по выходу их создавшегося затруднения, рассмотрения множества вариантов, поиск оптимального решения.

Вернемся к нашей задаче:№1025

6.Реализация выбранного плана по разрешению затруднения. Это главный этап урока, на котором и происходит "открытие" нового знания.

Один из  способ решения задачи.   Координатный метод.

1.    Введём прямоугольную систему координат с началом в точке А так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси  AX, а точка С имела положительную ординату.

Решение записывают все учащиеся.         

Рис.5

2. Запишем координаты точек:

     B(c; 0) ; C(bcosA; bsinA).        

3. Найдём квадрат стороны BC:

BC2 = a2 = (bcosA - c)2 + (bsinA)2 =

= b2cos2A – 2bccosA + c2 + b2sin2A =

= b2(cos2A + sin2A) + c2 – 2bccosA =

= b2 + c2 – 2bccosA.

Учитель - Как вы думаете, можно это равенство назвать теоремой косинусов?  

 Запишите теорему  косинусов для всех  стороны в треугольника АВС:

     a2 = b2 + c2 – 2bccosA    

     b2 = a2 + c2 – 2accosB        

А теперь откройте учебники на странице257и прочитайте выделенное темным шрифтом…

Самостоятельно знакомятся с теоремой косинусов по учебнику и проверяют

Вывод: Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Учитель-А что можно находить с помощью этой теоремы?

Ученик-По теореме косинусов можно найти любую сторону треугольника, зная длины двух других сторон и угол между ними.

Учитель-А если угол между сторонами треугольника 90⃰ ? Выполняется или нет теорема косинусов? Проверьте, посоветуйтесь.

-Если С = 900, то cosC = 0 и  2abcosC = 0, тогда c2 = a2 + b2.

  -Теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора. Почему? Объясните.

-Вывод: Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

-А если угол между сторонами – тупой?

Рассуждают и приходят к выводу:                                                

            Возможны 2 случая:  

а) A – острый, то cos A > 0,

б) A – тупой, то cos A < 0,.

В) A –прямой, то cos A = 0,.

Учитель-А можно ли определить  вид треугольника (остроугольный, тупоугольный, прямоугольный)?

Учитель-Сколько в треугольнике может быть тупых углов?

-один

 А прямых углов?

-один

В треугольнике против большей стороны лежит большая сторона.

-если в треугольнике известны все три стороны, то необходимо и достаточно найти косинус угла, лежащего против самой большой стороны, который и даст возможность определить самый большой угол в треугольнике.

 Этот угол может быть острым, и тогда треугольник – остроугольный, тупым, и тогда треугольник – тупоугольный, прямым, и тогда треугольник – прямоугольный.

7.  Первичное закрепление нового знания.

Задачи по готовым чертежам. По группам.  При решении задач учащиеся каждый раз проговаривают формулировку теоремы.

Задача 1

Ответ: .

Задача 2

Ответ: 4.

Задача 3

Ответ: 60°.

Физкультминутка. Вспомним игры детства. Любите хлопать? Стороны треугольника  3,   4,   5     Я называю слово меньший катет вы хлопаете столько раз, каков этот катет.

3                                      5

                 4

Шеей крутим осторожно -

Голова кружиться может.

Влево смотрим - раз, два, три.

Так. И вправо посмотри.

(Вращение головой вправо и влево.)

Вверх потянемся, пройдёмся, (Потягивания — руки вверх, ходьба на месте.)

И за парты вновь вернёмся.

(Дети садятся за парты.)

8. Расширение темы. Применение теоремы в новой ситуации        

Задача:

В треугольнике две стороны равны 20 см и 21 см, а синус угла между ними равен 0,6 . Найти третью сторону. Сколько решений имеет задача?

Рис.9

Дано:                    Решение:  

sin = 0,6 ,          sin = 0,6    может быть острым

AB = 20 см,         или  тупым.

AC = 21 см.                         

                             1 случай:  - острый

Найти: BC.          

                             BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos.

                         Так как  - острый, то cos>0.

                          Тогда  cos =  = =  = 0.8

                         BC =  =  = 13(см).

2 случай:  - тупой.

BC2 = AB2 + AC2 – 2ABACcos                                 

Так как  - тупой, то cos<0

cos √BC =  =  (см).

Ответ: 1) BC = 13 см.   2) BC =  см.

9.Включение в систему знаний и умений. Практическое приложение теоремы косинусов

Задача о футболисте. Рассмотрим решение по слайду

Футбольный мяч находится в некоторой точке А поля  на расстоянии 23 и 24 м от оснований В и С стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол α попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.

В практике нередко возникают задачи, решение которых опирается на метрические соотношения в четырехугольнике.

     Так, в геодезии приходится иметь дело с выяснением взаимного расположения четырех пунктов, в технике – с расчетами четырёхзвёздных шарнирных механизмов и т.п

Оказывается теорема косинусов доказана и для четырехугольников:

Запишите

Дом. задание  п. 98  №1025(б, в, г). разобраться в теории, найти способы решения задачи-следствия №1030. (для желающих Найти формулировку теоремы для нахождения стороны 4-х угольника по известным 3 сторонам и углам.)

Квадрат стороны выпуклого четырехугольника равен сумме квадратов трех других сторон без удвоенных произведений пар этих сторон и косинусов углов между ними.

 10.Самостоятельная работа и проверка по эталону.

Выполните тестовые задания по вариантам:

Проверять будем сразу как все сдадите. На выполнение дается 5 минут.

I  вариант. 
1. Закончи предложение. Квадрат любой стороны треугольника равен …

а) сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними;

б) сумме квадратов двух других его сторон;

в) сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике  KHT: .

а) KH; б) HT;в) TK. 
3. В треугольнике CDO известны стороны CD и CO. Величину, какого угла необходимо знать, чтобы найти длину стороны DO?

а) C; б) D; в) O.

4. Дан треугольник DEF. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике CKE найдите сторону CE, если CK = 6, KE = 8,а угол K = 60°.

а) 52; б) 4;в) .

II вариант. 
1. Выберите верное утверждение.

а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

в) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2. Заполни пропуски. В треугольнике ESR 

.

а) SE; б) SR;в) ER. 

3. В треугольнике АВС известны: длина стороны ВС и величина угла С. Чтобы вычислить сторону АВ, нужно знать:

а) АС; б) В;в) С.

4. Выберите верное равенство:

а) ;

б) ;

в) .

5. В треугольнике KHN найдите сторону KN, если KH = , HN = 5, H = 45°.

а) 53; б) 13;в) .

Проверим друг у друга: поменяйтесь тестами

Ответы: I вариант: в, в, а, б, в. II вариант: б, б, а, б, в. 

Нормы оценки: за каждый верный ответ-1 балл

10. Рефлексия, включающая в себя и рефлексию учебной деятельности, и самоанализ, и рефлексию чувств и эмоций.

Возможные вопросы для начала рефлексии:

-кто работал на уроке лучше всех?

-кому еще надо стараться?

-кто доволен своими действиями на уроке?

- с каким настроением вы уходите с урока?

Подведение итогов урока. Оцените значимость изученного материала Составьте синквейн по нашему уроку:

Теорема

Необходимая, важная,

Теорема косинусов помогает решать задачи.

Тип урока: Урок «открытия» нового знания.

Деятельностная цель: формирование способностей учащихся к новому способу действия, а именно, при рассмотрении проблемной ситуации учиться подтверждать или опровергать выдвигаемые гипотезы.

Образовательная цель: расширение понятийной базы учащихся за счет включения в нее новой теоремы.

Предметная цель: изучить теорему косинусов, познакомить учащихся с ее применением при определении вида треугольника.

Планируемые результаты: учащиеся познакомятся с применением теоремы косинусов при решении треугольников и определении вида треугольника, самостоятельно изучив пункт учебника; научатся рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог: излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей.

Задачи:

-образовательные (формирование познавательных УУД): научить в процессе реальной ситуации выдвигать гипотезы по решению поставленной проблемы и находить ответы на поставленные вопросы; осмысленно читать, извлекать нужную информацию из учебника; осознанно владеть общими приемами при решении на определение вида треугольника.

- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем; выбирать задачи из числа предложенных.

- развивающие (формирование регулятивных УУД): развивать умения анализировать, сравнивать, делать выводы; развивать внимание; выбирать способ решения в зависимости от конкретных условий; осуществлять контроль и оценку процесса и результатов деятельности.

Ход урока