ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА «ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ» (РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ)
план-конспект урока по математике

Тема

Применение производной для исследования функций

Цель урока

Организовать деятельность студентов, направленную на овладение системой математических знаний и умений по теме «Применение производной для исследования функций», необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования.

Задачи

Образовательные: создать условия для актуализации знаний об исследовании функции, о производной. Обеспечить в ходе урока создание и усвоение  алгоритма исследования функции с помощью производной.
Развивающие: создать условия для развития коммуникативных навыков, внимания, анализа, формирования самостоятельной познавательной деятельности.
Воспитательные: повышение уровня мотивации и интереса к математике.

УУД

• Личностные УУД:   мотивация на учебный процесс, самооценка.
• Регулятивные УУД: умение определять последовательность действий при исследовании функции с помощью производной, работать по алгоритму, оценивать правильность выполнения действий.
• Коммуникативные УУД: выражать свои мысли, точку зрения, следовать правилам,  умение взаимодействовать с другими учащимися, соблюдать правила поведения.
• Познавательные УУД: анализ текста задания, смысловое чтение; умение находить ответы на вопросы; умение проговаривать последовательность действий в соответствии с целью задания.

Планируемые результаты

Предметные:

Знание алгоритм исследования функции с помощью производной.

Умение исследовать функцию с помощью производной, читать график функции

Личностные: 

Формирование устойчивый и широкий интерес к способам решения познавательных задач, адекватно оценивать результаты своей учебной деятельности и других студентов, осознавать социальную роль студента, проявлять положительное отношение к урокам математики, давать оценку и самооценку результатам учебной деятельности.
Метапредметные: 

 Умение решать проблемы творческого и поискового характера.

Основные понятия

Функция, производная, исследование функции, график.

Межпредметные связи

 Геометрия, русский язык.

Ресурсы

Башмаков, М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия:  учебник  для  студентов  профессиональных  образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017.,  тетрадь, карточки, листы самооценки (Таблица «Знаю, сомневаюсь, умею»)

Формы урока

 Г – групповая, И – индивидуальная

Технология

 Исследовательская,  проблемная, информационно-коммуникационная, здоровьесберегающая.

Дидактическая
структура 
урока

Деятельность
студентов

Деятельность
учителя

Задания для студентов, выполнение которых приведёт к достижению запланированных результатов

Планируемые результаты

Предметные

УУД

личностные

познавательные

коммуникативные

регулятивные

Мотивация

Время: 3 мин.

Приветствуют учителя. Проверяют себя:  все ли у них готово к уроку. Включаются в учебную деятельность.

Слушают и отвечают на вопросы, осмысливают проблему.

Приветствует студентов. Заинтересовывает их вопросом: «Готовы ли вы сегодня решить одну из задач ЕГЭ с использованием производной?» Проверяет готовность студентов к уроку.

Задает вопросы, организует работу по осмыслению проблемы, мотивирует студентов, побуждая к деятельности по ее решению.

Задание №1

(Задание ЕГЭ по математике). По графику функции  ответьте на вопросы:

1. Сколько точек максимума имеет эта функция?

2. Назовите точки минимума функции.

3. Сколько промежутков возрастания у этой функции?

4. Найдите длину промежутка убывания

Знать и уметь применять алгоритм исследования функции при чтении графика.

Мотивация на учебный процесс. Действие смыслообразования

Анализируют предложенное задание.

Строят речевое высказывание.

Высказывают свою точку зрения, слушают собеседника, учителя.

Волевая саморегуляция.

Соотносят свои знания о поведении функции с ее графиком, встают перед проблемой недостаточности своих знаний для ответа на группу вопросов задания №1

Актуализация субъективного опыта

Время: 3 мин.

Отвечают, слушают ответы других

Вспоминают алгоритм исследования, отвечают на вопросы.

Формулируют алгоритм. Осуществляют взаимопроверку.  

Формулируют тему урока.

 «Итак, ребята! Мы с вами встали перед проблемой, которая возникает на экзамене перед человеком, который не знает о связи поведения функции в зависимости от производной. Поднимите руки: кто умеет читать графики функций?»

 «Молодцы! Давайте проверим ваши умения».

«Кто может рассказать полный алгоритм исследования функции?»

 «Ребята, кто может сформулировать тему урока?»   Обсуждает варианты названия темы со студентами  и озвучивает тему урока «Исследование функции с помощью производной».

 Задание №2.

По графику функции ответьте на вопросы:

1. Сколько точек максимума имеет эта функция?

2. Назовите точки минимума функции.

3. Сколько промежутков возрастания у этой функции?

4. Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции.

Знать и уметь проводить исследование функции по ее графику.

 Слушают учителя, строят понятные для собеседника высказывания

Извлекают

необходимую информацию

Выдвигают предположения

Анализируют, сравнивают, обобщают материал

Учитывают

разные мнения

Развивают навыки сотрудничества и управления эмоциями.

Принимают и сохраняют  учебную цель и задачу

Восприятие и осмысление учащимися нового материала

Время: 10 мин.

По данным графикам функции и ее производной обсуждают и исследуют в парах поведение функции и ее производной, письменно отвечая на вопросы учителя, предложенные в карточках.

Исследовательская работа в парах

1. Рассмотрите интервалы, на которых функция   возрастает или убывает и поведение графика функции  на этих интервалах. Сделайте вывод.
2. Заполните пропуски:

Если  в каждой точке некоторого интервала, то функция  __________ на этом интервале.

Если  в каждой точке некоторого интервала, то функция  __________ на этом интервале.

3. Рассмотрите точку максимума функции и соответствующие им точки на графике производной. Какие значения принимает производная: левее точки максимума, правее, в самой точке максимума?
4. Рассмотрите точку минимума функции и соответствующие им точки на графике производной. Какие значения принимает производная: левее точки максимума, правее, в самой точке максимума?
5. Как можно объединить эти выводы? Запишите:

Если  – точка экстремума функции , то производная в этой точке _____.

Если функция  непрерывна в точке  и производная в этой точке меняет знак ________________, то  – точка максимума.

Если функция  непрерывна в точке  и производная в этой точке меняет знак ________________, то  – точка минимума.

Применять исследовательские навыки при решении задач.

Мотивация на учебный процесс.

Извлекают необходимую информацию, анализируют текст. Осуществляют знаково-символическое моделирование.

выбирают наиболее эффективных способов решение задачи в зависимости от конкретных условий.

Участвуют в обсуждении,

Первичная проверка понимания
 Время: 4 минуты

 Представители групп представляют результаты своей исследовательской деятельности.

 В ходе обсуждения составляют алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы, записывают его в тетрадь.

Учителю в ходе обсуждения выводов студентов, необходимо отметить: для того, чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, необязательно строить график производной, достаточно определить знаки производной на промежутках, на которые стационарные и критические точки разбивают область определения функции. Фактически

Алгоритм исследования функции с помощью производной.

1. Найти производную функции .
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Сделать выводы о монотонности функции и точках экстремума.

 Уметь проговаривать алгоритм исследования функции с помощью производной и применять его при решении задач.

Строят речевое высказывание.

Анализируют, сравнивают, делают выводы, строят доказательство.

Выражают свои мысли в соответствии с задачами

Определяют последовательность действий при исследовании функции.

Первичное закрепление

Время: 6 минут

Студенты в парах обсуждают задание и выполняют его.

После выполнения задания обсуждают полученные результаты.

Учитель дает задание на карточке.

«Молодцы, ребята! А теперь ответьте на вопросы в карточках, применяя полученный алгоритм».

Организует самостоятельное выполнение пробного учебного действия.

Заслушивает ответы студентов, задает уточняющие вопросы.

Организует фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении студентами пробного учебного действия или в его обосновании.

№1. Непрерывная функция  задана на промежутке .

На рисунке изображён график её производной. Укажите количество промежутков возрастания функции. Укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

№2. На рисунке изображен график функции  и отмечены девять точек на оси абсцисс.

Найдите число отмеченных точек, в которых производная отрицательна (положительна).

№3. На рисунке изображен график производной непрерывной функции , непрерывной на промежутке .

Назовите промежутки убывания функции. Назовите промежутки возрастания и выберите из них наибольший. Укажите число точек экстремума.

 Решать задания на применение алгоритма с помощью графика.

Умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание и применять алгоритм.

Управление поведением партнера; умение выражать свои мысли.

Производят коррекцию способов действия, оценивают результаты действий

Включение в систему знаний

Время: 9 минут

Самостоятельное выполняют пробное учебное действие. Задают уточняющие вопросы. Записываю в тетрадь решение по образцу.

Организует выявление типов заданий, где используется применение нового способа действия.

По результатам выполнения самостоятельной работы организует рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

Задания из учебника для самостоятельной работы

Знать алгоритм решения задач на исследование функции с помощью производной и уметь применять его при решении задач.

Анализируют текст. Осуществляют знаково-символическое моделирование,

выбирают наиболее эффективный способ решения задачи в зависимости от конкретных условий.

Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном, коррекция; оценивание качества и уровня усвоения.

Анализ

Время: 3 минуты

Сравнивают ответы, размышляют. Делают вывод о разрешении проблемы. Отвечают на вопросы задачи.

Учитель заслушивает ответы студентов и возвращает их к проблеме, поставленной в начале урока: «Можете ли вы теперь ответить на вопрос первой задачи?

Какой вывод можно сделать?»

№1. (Задание ЕГЭ по математике). По графику функции  ответьте на вопросы:

1. Сколько точек максимума имеет эта функция?

2. Назовите точки минимума функции.

3. Сколько промежутков возрастания у этой функции?

4. Найдите длину промежутка убывания.

Анализируют, сравнивают, делают выводы, строят доказательство

Высказывают свою точку зрения

Волевая саморегуляция.

Рефлексия

Время: 2 минуты

Отвечают на вопросы, осуществляют самооценку.

«Каждый из вас  сегодня на уроке занимался исследовательской деятельностью. Что вы получили  в результате исследования? Где может пригодиться полученное вами знание?».

Далее учитель предлагает заполнить таблицу: «Знаю, сомневаюсь, умею».

Таблица «Знаю, сомневаюсь, умею»

Адекватно понимать причины успеха (неуспеха) в учебной деятельности.

Учатся структурировать знания, оценивать процесс и результаты деятельности.

Выражают свою точку зрения.

Оценка, выделение и осознание студентами того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня подготовки