методическая разработка. Открытый урок по теме "Равносильные уравнения"
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Время

Этап

Деятельность учителя

Деятельность ученика

2 минуты

Организационный момент

Учитель приветствует учащихся. Отмечает отсутствующих.

Сообщает тему урока «Равносильные уравнения»

Приветствуют учителя. Садятся на места.

Записывают в тетрадь Слайд 1

5 минут

Актуализация знаний

1)Что называется уравнением?

2)Что такое корень уравнение?

3) Что значит решить уравнение?

4)Что называют ОДЗ уравнения?

1)Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции р

2)Корень уравнения – это число, при подстановке которого  в уравнение получается верное числовое равенство. равны значениям другой функции

3) Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет

4) Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения

Слайд 2

10 минут

Повторение изученного материала и постановка цели урока

Найдите ОДЗ следующих уравнений.

        1) ,

        2) ,

        3) ,

        4) ,

        5)

        6) .

На доске записано решение уравнения

Что представляет собой процесс решения уравнения?

Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения  к  уравнению  и т.д. к . Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения . Проверьте, являются ли числа  они и числа  и  корнями исходного уравнения .

Можно сделать вывод: Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней  и приобретению постороннего корня .

Как можно избавиться от посторонних корней?

Допустима ли потеря корней? Почему?

Как же избежать потери корней?

чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

1)

2)

3)

4)

5) x>-5

6)

Слайд 3

Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным

Слайд 4

Числа ,  и  являются корнями исходного уравнения, а  - нет

Сделать проверку

Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни

Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней

знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери  или приобретения корней не было

Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни,  приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери  или приобретения корней не было

Слайд 5

20 минут

Изучение нового материала

Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний.

Назовите  уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

Запишем определение.

Определение 1. Уравнения  и  называются равносильными, если множества их корней совпадают.

что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Слайд 6

Запишем операции, которые сохраняют равносильность.

 Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную

Слайд 7

Какое еще свойство уравнения вы знаете?

Сравните множество корней уравнений  и

при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение  называют следствием уравнения .

Запишем определение.

Определение 2. Уравнение  называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения   является корнем уравнения .

Слайд 8

В результате какого преобразования получили уравнение  из уравнения ?

это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие.

Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а)    

б) 

Слайд 9

Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?

В результате какого преобразования из  получили ?

Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?

Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения?

В результате какого преобразования из  получили ?

Что произошло с ОДЗ уравнения?

Запишем теорему подтверждающую наши выводы.

Слайд 10

Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение  заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Слайд 11

Какие из предложенных уравнений равносильны?

Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения  перейти к уравнению , ?

Сравните область определения функции  в уравнении  с ОДЗ уравнения .

Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения  функции ?

Что произошло с ОДЗ уравнения  по сравнению с ОДЗ уравнения ?

Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение  равносильно уравнению  или  - уравнение-следствие для уравнения ?

Можно сделать вывод.

Слайд 12

Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение  заменено вторым уравнением, третьим уравнением.

Слайд 13

Какие из уравнений в задании 3 равносильны?

В результате какого преобразования из уравнения  получены уравнения , ?

Какому же условию должна удовлетворять функция , чтобы умножив обе части уравнения  на , было бы получено уравнение равносильное ?

Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование?

Значит, условие, налагаемое на функцию   необходимо дополнить.

Запишем теорему 3.

Слайд 14

Уравнения , ,, и ,

Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными

Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля

Корень уравнения  является корнем уравнения

Возведение в квадрат обеих частей уравнения

Да,  и   равносильны

Использовали тождество

Нет

Нет, уравнение  - следствие уравнения

Заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением

ОДЗ расширилась

Только уравнения  и ).

К обеим частям уравнения  в первом случае прибавили , во втором случае прибавили

Функция  определена на ОДЗ уравнения

Получим уравнение равносильное

Она сузилась из-за функции  

Нет, не то и ни другое

Уравнения  и

Обе части уравнения  умножили на  и получили уравнение . Чтобы получить уравнение , обе части уравнения  умножили на  ).

Функция  должна быть определена на всей ОДЗ уравнения

Выполняли, обе части уравнения умножали на число, отличное от нуля

Функция  не должна обращаться в ноль ни при одном  из ОДЗ уравнения

5 минут

Закрепление

Решить уравнения

,

Слайд 15

2 минуты

Домашнее задание

1. знать определения равносильных уравнений, уравнения-следствия;
2. знать формулировки теорем 1-4;
3. провести по аналогии с доказательством теоремы 3 доказательство теорем 1 и 2;

          4) №№ 139(4,6), 141(2) – выяснить, являются ли уравнения равносильными;

Слайд 16

Записывают в дневник

1 минута

Рефлексия

Подводит итоги, оценивает учащихся.

Слайд 17