Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Опубликовано 05.11.2020 - 13:46 - Кобзева Ирина Алексеевна

Материал для практической работы на тему: "Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений"

Скачать:

Вложение	Размер
pr2.doc	79.5 КБ

Предварительный просмотр:

Практическая работа №2

«Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений»

Пусть а является приближенным значением величины х, вычисленным с погрешностью h, т.е. пусть . Отношение погрешности к приближенному значению, т.е. число , называют относительной погрешностью вычисления. Так, если среднее расстояние от Земли до Солнца вычислено приближенно как 1,496*108 км с погрешностью < 105 км, то относительная погрешность такого вычисления будет меньше 0,0007, потому что < 0,0007. Часто относительную погрешность (а точнее, оценку для нее) указывают в процентах.

«Плюс-минус». Часто говорят так: «Температура равна 16 плюс-минус один градус» и записывают: t = (16 ± 1)°С. Это означает, что истинное значение температуры (в градусах Цельсия) отличается от 16 не более чем на единицу. Эту же информацию можно записать в виде неравенства

16-1

Здесь 16 — приближенное значение температуры, 1 — оценка погрешности. Относительная погрешность равна = 0,0625, т.е. 6,25%.

«С точностью до...». Если вы скажете, что площадь комнаты равна 22,6 м2 с точностью до двух десятых квадратного метра, то всем будет ясно, что площадь S лежит в промежутке 22,4 < S < 22,8 м2, или иначе, что расстояние истинного значения площади до числа 22,6 меньше 0,2, т.е.

< 0,2 м2.

Видим, что этот способ фактически совпадает с первым, и можно с таким же успехом записать: S = 22,6 + 0,2 м2 и сказать, что площадь вычислена с оценкой погрешности в 0,2 м2, что дает относительную погрешность, равную 0,088, т. е. 9 %.

«Лежит между». Фраза «скорость автомобиля лежит между 50 и 60 километрами в час» сразу определяет промежуток, где находится значение скорости . Можно, конечно, взять середину этого промежутка и перейти к обсуждавшимся ранее способам записи:

= 55 ± 5 (км/ч),

| - 55| < 5 км/ч.

Величина 5 км/ч, равная разности (60 - 5) = 5 км/ч, дает оценку погрешности приближенного вычисления скорости, а число , т. е. отношение погрешности к приближенному значению, — оценку относительной погрешности.

Приближенные значения величины часто указывают в так называемой стандартной записи. Положительные числа в стандартной записи представляют в виде: а * 10k, где число а выбирают так, чтобы оно лежало в промежутке [1; 10), т.е. удовлетворяло неравенствам 1 а < 10, и записывалось десятичной дробью с несколькими знаками после запятой. Число а в стандартной записи x называют мантиссой числа х, а показатель k — его порядком.

Погрешность суммы. Если и , то .

Действительно, запишем (х + у) - (а + b) как (х - а) + (у - b) и применим неравенство для модуля суммы.

Полученное неравенство означает, что при сложении приближенных значений складываются оценки погрешностей, и оценка погрешности суммы тем самым увеличивается.

Погрешность произведения. Если а и b — приближенные значения величин x и y и нам известны оценки погрешностей и , то оценка погрешности для произведения не будет выражаться только через оценки h1 и h2 как это имеет место при сложении. Выполним преобразования:

ху - ab = ху - bх + bх - аb = = х(у - b) + b(х - а).

Практические задания

В следующих заданиях принято: «точное» значение числа =3,14159; ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли g=9,81 м/с2; постоянная Авогадро NA=6,02·1023 моль-1.