Доклад "Исследование строения нового выпуклого многогранника Скутоида"
творческая работа учащихся по алгебре (9 класс)

Идентификационный код МАТ024

Название проекта: «Исследование строения и свойств нового

выпуклого многогранника – скутоида».

Куличкин Тимур Фёдорович, Говоров Виталий Григориевич

Многогранники это один из видов простейших пространственных форм, используе-мых с древнейших времен и до наших дней при проектировании технически сложных конструкций. Они нашли исключительно широкое применение в архитектуре и технике.

Многогранные формы часто применяются в конструкциях современных зданий и раз-личных инженерных сооружений.

Актуальность:

Наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, призматоиды. В нашем исследовании мы изучим классификацию выпуклых многогранников, их свойства и особенности строения. Главное внимание будем уделять новой фигуре – скутоиду.

Гипотеза:

Новую фигуру можно классифицировать к выпуклым многогранникам.

Цель:

Исследование строения и свойств нового выпуклого многогранника – скутоида

Задачи:

• Классифицировать многогранники;
• Исследовать свойства скутоида;
• Изучить технологию построения многогранников.

Используемые методы:

• Научный (изучение литературы);
• Исследовательский;
• Сравнение и сопоставление.

Клетки, называемые эпителиальными клетками, покрывают большинство поверхностей тела, включая кожу, внутренние органы и кровеносные сосуды. Эти клетки обычно описываются в книгах по биологии как столбчатые или имеющие форму призмы — две параллельные грани и определённое количество параллелограммных сторон. Иногда их в геометрии называют «усечками» бутылкообразной формы призмы.

Используя компьютерное моделирование, группа учёных обнаружила, что эпителиальные клетки, которые формируют изгибающие части органов, приобретают некую новую форму, ранее не признанную математикой. Геометры назвали эту форму «scutoid». Сам scutoid выглядит как изогнутая призма с пятью слегка наклонными сторонами и одним отрезанным углом.

Международная команда ученых из Севильского (Испания) и Лихайского (США) университетов в процессе исследования клеток обнаружила, что в ходе развития эмбриона ткани формируют необычную геометрическую структуру(рис. 4). Эта фигура не встречалась ранее и не была описана, не имела математического названия. Исследователи назвали её «скутоидом» (англ. Scutoid) — по названию щитка жуков Heteroptera — скутеллума (scutellum). Результаты исследования были опубликованы в изданиях Nature Communications и Philosophical Magazine Letters[1][2].

Рис.4

Ученые из Севильского университета пришли в восторг, когда компьютерная модель полностью совпала с тем, что они увидели в строении клеток мух и рыбок данио. Это принципиально новая устойчивая геометрическая структура, которую назвали «скутоид». И если расчеты верны, в теле людей их бессчетное множество.

Почти все клетки в организме высших существ имеют очень разную форму. Нейроны похожи на лучистые звезды, эритроциты – плавающие в крови диски, кости похожи на неправильные пористые соты. А как выглядит эпителий? Самая распространенная ткань выполняет одновременно функцию барьера и соединительного элемента между прочими частями тела. И у нее должна быть очень плотная, устойчивая к нагрузкам структура.

Севильские ученые провели компьютерное моделирование в поисках оптимальной формы для «клеток-кирпичиков» в такой стене из эпителия. И получили его – скутоид. Объемный многогранник, который имеет плоское основание и вершину, соединенных между собой шестью гранями с одной стороны и только пятью с противоположной. Для этого у скутоида есть характерный треугольный выступ.(рис.5)

Рис.5.

Скутоиды лучше всех известных нам объемных форм складываются в плотные структуры. И то, что показал на мониторе компьютер, ученые затем увидели в микроскопы при изучении настоящих тканей животных. С большой вероятностью они есть и в теле человека. Это сразу двойное открытие – в области математики и биологии. А, может, и прогресс в иных областях, например, если мы научимся строить из кирпичей-скутоидов самые прочные на свете стены.

Свойства многогранников.

Призма – это многогранник, две грани которой равные многоугольники(основания призмы )  с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани - параллелограммы, плоскости которых параллельны прямой, содержащей боковые ребра фигуры. Параллелограммы называются боковыми гранями; рёбра называются боковыми рёбрами.

Высота призмы – это любой перпендикуляр, опущенный из любой точки основания на плоскость другого основания.

В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, призма может быть соответственно: треугольной, четырёхугольной, пятиугольной, шестиугольной и т. д.(рис.6).

   Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскости основания, то такая призма называется прямой; в противном случае – это наклонная призма. На рисунке показаны прямая и наклонная призмы

Рис.6

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма также называется правильной.

Свойства призмы:

1. Основания призмы являются равными многоугольниками.
2.  Боковые грани призмы являются параллелограммами.
3. Боковые ребра призмы равны.

Параллелепипед - это призма, основания которой параллелограммы. Таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы. Противоположные грани попарно равны и параллельны. У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам(рис.7).

                   Рис.7

Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники, то он называется прямым. Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники, называется прямоугольным. Диагональ прямоугольного параллелепипеда  d  и его рёбра  a, b, c  связаны соотношением: 

            Рис.8.                                d 2 = a2+ b2+ c2

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого квадраты, называется кубом(рис.8). Все рёбра куба равны.

Свойства параллелепипеда:

1. У параллелепипеда 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.
2. Каждая грань параллелепипеда — параллелограмм.
3. Противолежащие грани параллелепипеда равны.
4. Параллельные ребра параллелепипеда равны.

Пирамида – это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды ) – это произвольный многоугольник  ( ABCDE, рис.9 ), а остальные грани ( боковые грани ) – треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пирамиды.

Перпендикуляр SO, опущенный из вершины пирамиды на её основание, называется высотой пирамиды. В зависимости от формы многоугольника, лежащего в основании, пирамида может быть соответственно: треугольной,  четырёхугольной,  пятиугольной,  шестиугольной и т. д. Треугольная  пирамида является  тетраэдром(четырёхгранником ), четырёхугольная – пятигранником и т. д.

Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны; все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота боковой грани (SF) называется апофемой правильной пирамиды.

Рис.9                                          Рис.10

Если провести сечение abcde, параллельное основанию ABCDE пирамиды, то тело, заключённое между этими плоскостями и боковой поверхностью, называется усеченной пирамидой. Параллельные грани ABCDE  и  abcde называются основаниями; расстояние Oo между ними – высотой. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена – правильная. Все боковые грани правильной усечённой пирамиды – равные равнобочные трапеции. Высота  Ff  боковой грани(рис.10) называется апофемой правильной усечённой пирамиды.

Свойства правильной пирамиды:

1. Основание правильной пирамиды — правильный многоугольник. 
2. Боковые грани правильной пирамиды — равнобедренные треугольники. 
3. Боковые ребра правильной пирамиды равны.
4. Высота правильной пирамиды опускается на ортоцентр основания.
5. Количество углов основания равно количеству боковых граней пирамиды.

Скутоид - геометрическое тело, представляет собой тело между двумя параллельными поверхностями. Граница каждой из поверхностей (и всех других параллельных поверхностей между ними) является многоугольником, а вершины двух конечных многоугольников соединяются либо кривой, либо Y-образной связью(рис.11).

Свойства скутоида:

1. Основания скутоида лежат на параллельных плоскостях.
2. Одно боковое ребро имеет Y-образную форму.
3. В каждой вершине сходятся по 3 грани.

Рис.11.

1.6. Формула Эйлера

Если сумма числа вершин и числа граней на 2 больше числа рёбер 

N − L + F = 2,

N — число вершин, L — число ребер, F — число граней выпуклого многогранника, то многогранник является выпуклым.

Таблица 1. Показатели по формуле Эйлера для различных многогранников

1.7  Характеристика выпуклых многогранников

Таблица 2. Характеристика выпуклых многоугольников

Глава 2. Практическая часть: изготовление многогранников.

2.1  Построение разверток поверхностей геометрических тел

Разверткой называется фигура, полученная в результате совмещения поверхности данного тела с плоскостью. Для одних тел развертки могут быть точными, для других — приближенными. Точные развертки имеют все многогранники (призмы, пирамиды и др.), цилиндрические и конические поверхности и некоторые другие. При построении разверток многогранников придется находить действительную величину ребер и граней этих многогранников с помощью вращения или перемены плоскостей проекций.

Рис.12. Развертки правильных многогранников.                                                   Рис. 13. Развертка скутоида. https://drive.google.com/file/d/1Z1_EvrPF0c4U-BCNPfsekD-xAkL3VFi1/view?usp=drivesdk 

2.2. Способы изготовления скутоида  в естественных условиях (экспериментальная часть).

2.2.1 Способ заморозки с шариками: https://drive.google.com/drive/folders/1zuZlfn21EjaWaSkdELOucrPlUoYsZSba 

Для эксперимента с заморозкой шаров с водой, необходимы следующие материалы: дистиллированная вода, воздушные шарики (резиновые) – 7 шт, растительное масло, гуашевая краска.

Этапы эксперимента:

1. Надо налить равное количество воды в шарики, образующие боковые грани, наименьшее количество в шар образующий треугольник, и наибольшее количество в шар образующий верхнее основание - шестиугольник;
2. Покрасить шар для скутоида с помощью гуашевой краски;
3. Обмазать шарики растительным маслом, положить их в ведро, затем вынести на улицу и подождать 12 часов;
4. Убрать резину с ледяных шаров и разъединить.

2.2.2. Способ с пузырями и дымом. https://drive.google.com/drive/folders/1zuZlfn21EjaWaSkdELOucrPlUoYsZSba 

Чтобы способ с пузырями и дымом был задействован нужны: большой шприц с иглой, бумага, спички, дистиллированная вода, моющие средства, сахар, глицерин, мерная ложка, стеклянная банка.

Для того, чтобы провести этот опыт, вы должны:

1. Подготовить раствор для пузырей;
2. Надуть пузыри в банке: 6 внизу, потом 1 в центре, а затем поместить дым в центральный пузырь, по бокам надуть ещё 5 и напоследок 7 наверху;
3. Сжечь бумагу внутри шприца, ввести дым в пузырь, имеющий форму скутоида;
4. Сделать снимок.

Заключение

Подводя итоги нашей работы, мы можем сделать вывод, что существует пять правильных выпуклых многогранников, которые мы называем Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника – тела Кеплера – Пуансо, 13 полуправильных многогранников – тела Архимеда. В работе описаны их свойства, даны развёртки для их изготовления.

Мы сделали исследования строения и свойства скутоида и пришли к выводу:

• относится к классу выпуклых многогранников, так как по формуле Эйлера его коэффициент равен 2;
• относится к группе развертывающихся поверхностей, т.к. имеет развертку;
• относится к неоднородным многогранникам, т.к. состоит из различных многоугольников;
• объем скутоида равняется сумме объемов десяти пирамид;
• основания скутоида лежат на параллельных плоскостях;
• одно боковое ребро имеет Y-образную форму;
• в каждой вершине сходятся по 3 грани;
• фигуру скутоида можно изготовить в естественных условиях.

Выполняя работу, мы научились делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы. В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников, сделано описание технологии их построения. Изученная нами фигура - скутоид лучше всех известных нам объемных форм складываются в плотные структуры и возрастает возможность  строить из кирпичей-скутоидов самые прочные на свете стены, дороги и т.д. В перспективе мы хотим вывести формулу объема скутоида через данные ребра фигуры.

Использованная литература:

1. Александров А.Д. , Вернер  А.Л. , Рыжин В.И. Начало стереометрии. – М.: Просвещение, 1981.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2001.
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрия. Учебник для 7 – 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992.
4. Веннинджер М. Модели многогранников.  – М.: Мир, 1974.
5. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука,1972.
6. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
7. Клопский В. М., Скопец З. А., Ягодовский М. И. Геометрия 9 – 10 класс. – М.: Просвещение, 1983.
8. Мерзляк А.Г. Геометрия. Учебник для 7- 11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2017 г.
9. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия. Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
10. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. 5 – 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1999.
11. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.
12.  https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1
13. Title: Solid Geometry with Problems and Applications (Revised edition)  Author: H. E. Slaught, N. J. Lennes, Release Date: August 26, 2009 [EBook #29807], Language: English, Character set encoding: ISO-8859-1
14.  http://polynsky.com.kg/proecirovanie/153-postroenie-razvertok-poverkhnostejj.html
15. https://pandia.ru/text/78/465/28149.php