Оглавление

Введение        3

1. Исторические сведения о замечательных точках треугольника        5

2.  Медианы треугольника        6

3. Биссектрисы треугольника        7

4. Высоты в треугольнике        8

5. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника        9

6. Точка Торричелли        10

Заключение        11

Библиографический список        12

Приложение        13

Введение

Школьная геометрия начинается с треугольника. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом, атомом геометрии.

Треугольник для познания неисчерпаем – постоянно открываются его новые свойства.

В своей работе я рассмотрю свойства точек пересечения биссектрис, медиан и высот треугольника, расскажу о замечательных их свойствах и линиях треугольника.

Цель работы:

выяснить какие точки в треугольнике являются «Замечательными»;

изучить и обобщить научные сведения по теме «Замечательные» точки в треугольнике.

Задачи:
1. Рассмотреть основные теоремы, связанные с замечательными точками в треугольнике;
2. Рассмотреть пересечение линий в треугольнике
3. Обобщить изученный материал для оформления буклета-справочника.

Объект исследования - раздел математики - геометрия

Предмет исследования - треугольник

Актуальность: расширить свои знания о треугольнике, свойствах его замечательных точек.

Гипотеза: умение находить замечательные точки в любом треугольнике, позволяет решать геометрические задачи на построение.

Слово геометрия греческого происхождения, оно переводится на русский язык. Гея – богиня земли в древнегреческой мифологии, метр - единица измерения длины, поэтому геометрия - это землемерие. Из перевода следует, что геометрия возникла непосредственно из практической потребности, где задача измерения земельных участков была исключительно важной. Ее возникновение уходит вглубь тысячелетий и связано, прежде всего, с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира.

Треугольник по праву считается простейшей из фигур. Если соединить три точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники.

        Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и других древних документах. В древней Греции учение о треугольнике развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до нашей эры Фалесом, в школе Пифагора и других, оно было, затем полностью изложено в первой книге "Начал" Евклида.

1. Исторические сведения о замечательных точках треугольника

В четвертой книге "Начал" Евклид решает задачу: "Вписать круг в данный треугольник". Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры, восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В "Началах" не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово "ортос" означает "прямой", "правильный"). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу.

Четвертой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан. Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, и начиная с XVIII века они были названы "замечательными" или "особенными" точками треугольника. [5]

Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – "геометрии треугольника" или "новой геометрии треугольника", одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже "прямой Эйлера". [6]

2.  Медианы треугольника

        Медина треугольника ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (Приложение рисунок 1). Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы. [1]

Построим середины сторон треугольника и проведем отрезки, соединяющую каждую из вершин с серединой противолежащей стороны. Такие отрезки называются медианой. И вновь мы наблюдаем, что и эти отрезки пересекаются в одной точке. Если мы измерим длины получившихся отрезков медиан, то можно проверить еще одно свойство: точка пересечения медиан делит все медианы в отношении 2:1, считая от вершин. И еще, треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести (барицентр). Центр равных масс иногда называют центроидом. Поэтому свойства медиан треугольника можно сформулировать так: медианы треугольника пересекаются в центре тяжести и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. [2]

3. Биссектрисы треугольника

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла, проведенный от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. У треугольника существуют три биссектрисы, соответствующие трём его вершинам (Приложение рисунок 2). [7]

В произвольном треугольнике ABC проведем биссектрисы его углов. И вновь при точном построении все три биссектрисы пересекутся в одной точке D. Точка D – тоже необычная: она равноудалена от всех трех сторон треугольника. В этом можно убедиться, если опустить перпендикуляры DA 1, DB 1 и DC1 на стороны треугольника. Все они равны между собой: DA1=DB1=DC1. [5]

Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DA 1, то она будет касаться всех трех сторон треугольника (то есть будет иметь с каждым из них только одну общую точку). Такая окружность называется вписанной в треугольник. Итак, биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

4. Высоты в треугольнике

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или прямую, совпадающую с противоположной стороной. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника (Приложение рисунок 3). [7]

Если в треугольнике построить три высоты, то все они пересекутся в одной точке H. Эта точка называется ортоцентром (Приложение рисунок 4). [6]

С помощью построений можно проверить, что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по – разному:

у остроугольного треугольника – внутри;

 у прямоугольного – на гипотенузе;

 у тупоугольного – снаружи.

Таким образом, мы познакомились еще с одной замечательной точкой треугольника и можем сказать, что: высоты треугольника пересекаются в ортоцентре. [4]

5. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

Начертим произвольный треугольник ABC и проведем серединные перпендикуляры к его сторонам. Если построение выполнено точно, то все перпендикуляры пересекутся в одной точке – точке О. Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника. Другими словами, если провести окружность с центром в точке О, проходящую через одну из вершин треугольника, то она пройдет и через две другие его вершины. Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около него. Поэтому установленное свойство треугольника можно сформулировать так: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности (Приложение рисунок 5). Этот вывод верен для любого треугольника, однако расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника: у остроугольного он находится внутри, у прямоугольного – в середине гипотенузы, а у тупоугольного – вне треугольника. [3]

6. Точка Торричелли

Путь дан треугольник ABC. Точкой Торричелли этого треугольника называется такая точка O, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120°, т.е. углы AOB, AOC и BOC равны 120° (Приложение рисунок 6).

Докажем, что в случае, если все углы треугольника меньше 120°, то точка Торричелли существует.

На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC' (Приложение рисунок 6, а), и опишем около него окружность. Отрезок AB стягивает дугу этой окружности величиной 120°. Следовательно, точки этой дуги, отличные от A и B, обладают тем свойством, что отрезок AB виден из них под углом 120°. Аналогичным образом, на стороне AC треугольника ABC построим равносторонний треугольник ACB' (Приложение рисунок 6, а), и опишем около него окружность. Точки соответствующей дуги, отличные A и C, обладают тем свойством, что отрезок AC виден из них под углом 120°. В случае, когда углы треугольника меньше 120°, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O. В этом случае ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Следовательно, и ∟BOC = 120°. Поэтому точка O является искомой.

В случае, когда один из углов треугольника, например, ABC, равен 120°, точкой пересечения дуг окружностей будет точка B (Приложение рисунок 6, б). В этом случае точки Торричелли не существует, так как нельзя говорить об углах, под которыми видны из этой точки стороны AB и BC.

В случае, когда один из углов треугольника, например, ABC, больше 120° (Приложение рисунок 6, в), соответствующие дуги окружностей не пересекаются, и точки Торричелли также не существует. [3]

Заключение

         В данной работе была поставлена цель: выяснить, какие точки в треугольнике называются замечательными. С поставленной целью были и определены и задачи. Поставленная цель и задачи в работе выполнены.

 Гипотеза, что умение находить замечательные точки треугольника, помогает в решении задач на построение подтвердилась.

        В работе последовательно излагаются приемы построения замечательных точек треугольника, показаны конкретные приемы построения этих точек с использованием бумаги, приведены исторические сведения о геометрических построениях.

Считаю, что применение замечательных точек и линий треугольника в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. Предложенный материал можно использовать как на уроках математики, так и во внеклассных занятиях учащимися 5-9-х классов.

Библиографический список

1.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. - М.:Просвещение, 2000г.

2.Киселев А.П. Элементарная геометрия. - М.:Просвещение, 1980г.

3.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. М.:Просвещение, 1991г.

4. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П.Савин. Педагогика, 1989.

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

6. https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия

7. http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157

Приложение

Рисунок 1. Медианы треугольника                          Рисунок 2. Биссектриса треугольника

Рисунок 3. Высоты в треугольниках

Рисунок 4.  Ортоцентр треугольника

Рисунок 5. Треугольник вписанный в окружность

Рисунок 6. Точка Торричелли