Логико-математический анализ темы «Комбинаторика». Сравнительный анализ содержания и логики изложения материала в учебниках А. Г. Мордковича и Ю. Н. Макарычева
статья по алгебре

Логико-математический анализ темы «Комбинаторика»

Сравнительный анализ содержания и логики изложения материала в действующих учебниках

Выберем для рассмотрения учебники, в которых тема, связанная с разделом комбинаторики, рассматривается в 9-ых классах, а именно: учебник Ю. Н. Макарычева (1) и А. Г. Мордковича (2). В учебнике Мордковича данная тема получила название «Комбинаторные задачи», а в учебнике Макарычева - «Элементы комбинаторики». Осуществим сравнительный анализ выделенных ранее тем, которые рассматриваются в данных учебниках. Для удобства реализации сравнения составим таблицы. Укажем также основание, выбранное для сравнения, в заголовке каждой из таблиц. Рассмотрим далее теоретическую базу, которые имеют учащиеся 9-ых классов на момент ознакомления с данной темой (таблица 1).

Таблица 1

Теоретическая база

В учебниках Мордковича с 6 по 8 класс отсутствуют темы, касающиеся раздела «комбинаторика». В учебнике второго автора также нет тем из раздела математики «комбинаторика».  

Далее рассмотрим вводимые понятия в рамках изучения тем «Комбинаторные задачи» и «Элементы комбинаторики» (таблица 2).

Таблица 2

Вводимые понятия

Необходимо обратить внимание на то, что введение понятия перестановок в учебнике Мордковича вводится индуктивно, а в учебнике Макарычева – дедуктивно. Понятие факториала в обоих учебниках вводится индуктивно. Также весьма значимым для реализации анализа является то, что в учебнике Мордковича не вводится рад комбинаторных понятий, которые рассматриваются в учебнике Макарычева, а именно: понятие сочетания и понятие размещения. К тому же очень любопытным является тот факт, что в учебнике Мордковича не дается определение понятию перестановки, а в учебнике Макарычева оно есть.

Перечислим вводимые правила в таблице 3 и представим результат сравнительного анализа ниже.

Таблица 3

Вводимые правила

Необходимо отметить, что в данных учебниках одни и те же правила авторами называются по-разному. Например, правило произведения в учебнике Мордковича именуется как «правило умножения», а в учебнике Макарычева как «комбинаторное правило умножения». Анализируя данные различия в наименованиях правил, необходимо указать на то, что более точным наименованием будет являться именно то, которое дано в учебнике Макарычева. К тому же будет важным сделать следующее далее замечание. В учебнике Макарычева отсутствует правило организованного перебора вариантов с помощью фиксирования одного элемента в связи с тем, что объем изучаемых понятий по разделу «комбинаторика» в данном учебнике намного больше, чем у Мордковича.

Перечислим теоремы, которые присутствуют в учебниках Ю. Н. Макарычева и А. Г. Мордковича, в таблице 4.

Таблица 4

Вводимые теоремы, в том числе теоремы-формулы

Теорема о числе перестановок вводится в явном виде как теорема-формула только в учебнике Мордковича. В учебнике Макарычева все вводимые теоремы-формулы не отмечаются авторами учебников, как теоремы. Также обратим внимание на то, что в связи с отсутствием понятий «сочетание» и «размещение» в учебнике Мордковича в нем также отсутствуют связанные с этими понятиями теоремы.

Перечислим далее теоретические задачи, которые содержатся в первом и во втором учебнике (таблица 5).

Таблица 5

Теоретические задачи

Следует отметить, что задачи, посредством которых вводятся некоторые теоретические факты, присутствуют в обоих учениках. Это такие факты как: правило перебора через составление дерева возможных вариантов, правило умножения, понятие перестановки. Также можно отметить то, что почти все теоретические факты сопровождаются какой-либо теоретической задачей, за исключением понятия факториала в учебнике Макарычева и теоремы-формулы:  в учебнике Мордковича.

Также можно заметить, что в учебнике Мордковича большую часть занимают задачи с интересной фабулой.

Далее, рассмотрим логическую схему построения темы посредством таблицы 6 и рисунков 1 и 2.

Таблица 6

 Логическая схема построения темы

Рисунок 1

Логическая схема построения темы по Мордковичу

Рисунок 2

Логическая схема построения темы по Макарычеву

Мы можем заметить, что, несмотря на первый пункт порядка изложения материала по Мордковичу, половина материала в обоих учебниках является одинаковой с точки зрения логики изложения, за исключением того, что Макарычев более полно подошел к изложению этой темы в своем учебнике и после теоремы-формулы о числе перестановок рассмотрел размещение и сочетание с прилегающими к ним основными теоремами-формулами.

Типология задач

Составим типологию задач по двум функциям, распределив номера задач из учебников по выделенным типам (таблица 7, таблица 8). Для реализации сравнительного анализа выделим в каждой из типологий преобладающий тип задач, а также наиболее редко встречающийся тип задач в данной типологии. В контексте осуществления сравнительного анализа весьма важным будет отметить изначально то, что объем задачного материала в учебнике Макарычева намного больше, чем в учебнике Мордковича в связи с большим количеством вводимых понятий и связанных с ними правил, а также теорем.

Таблица 7

По особенностям требования

Определим далее общие характеристики данных учебников. В обоих учебниках преобладают задачи на вычисление, отсутствуют задачи на доказательство, и примерно в равном объеме содержатся задачи на определение. В качестве единственного различия, выявленного при составлении данной типологии, выделим отсутствие задач на упрощение выражений в учебнике Макарычева.

Таблица 8

По дидактическим целям

Нетрудно заметить, что задач на актуализацию знаний в обоих учебниках не наблюдается, что обусловливается тем, что у обоих авторов данная тема в предыдущих классах (и в данном классе) не встречалась до изучения учащимися по данной линейке учебников рассматриваемого раздела. Также сразу можно обратить внимание на то, что у Макарычева набор заданий намного больше, чем у Мордковича, это наблюдается по всем типам задач. Но не стоит забывать о том, что логика изложения материала у авторов разная, и это может быть причиной того, что количество задач у второго автора превосходит объем задач у первого.

Библиографический список

1. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб, для общеобразоват. организаций [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского. - 21-е изд. - 2014. - 271 с.

2. Мордкович А. Г. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для обучающихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 12-е изд., - М.: Мнемозина. – 210. – 224 с.