Материалы для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (8 класс)

• ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

• СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ
• Для любых x, y и положительных a и b верны равенства:
• Свойства арифметических корней

Для любых натуральных n и k, больших 1, и любых неотрицательных a и b верны равенства: 

• МНОГОЧЛЕНЫ

Для любых a, b и c верны равенства:

Свойства числовых неравенств

1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.

2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.

3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.

4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.

5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a — d < b — c.

6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.

7) Если a < b, a > 0, b > 0, то 

8) Если , то 

• СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА

(здесь и в дальнейшем запись n є Z означает, что n – любое целое число) 

• Формулы сложения:
• Формулы двойного аргумента: 
• ФОРМУЛЫ ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА:

• Формулы половинного аргумента:

(для функций sin и cos – формулы понижения степени)

• Формулы третьей и четвертой степени: 
• Формулы преобразования суммы в произведение: 
• Формулы преобразования произведения в сумму: 
• Формула приведения для преобразования выражений вида а) перед приведенной функцией ставиться тот знак, который имеет исходная функция;б) функция меняется на «кофункцию», если n нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс.) Например:
• ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛА: 
• ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ

• ЕДИНИЧНАЯ ОКРУЖНОСТЬ: 

• ФОРМУЛЫ ПРОГРЕССИИ:

• Арифметическая прогрессия
• (a1 – первый член; d – разность; n – число членов; an – n-й член; Sn – сумма n первых членов):

• Геометрическая прогрессия
• (b1 – первый член; q – знаменатель; n – число членов; bn – n-й член; Sn – сумма n первых членов, S – сумма бесконечной геом. прогрессии):

• Производная

Степени и корни :

ap· ag = ap+g 

ap:ag=a p-g 

(ap)g=a pg 

ap /bp = (a/b)p

ap⋅ bp = abp 

a0=1; a1=a

a-p = 1/a

p√ a =b => bp=a

p√ ap√ b = p√ ab

√ a ; a = 0

Квадратное уравнение

ax² +bx+c=0; (a≠ 0)

x1,2= (-b± √ D)/2a; D=b² -4ac

D>0→ x1≠ x2 ;D=0→ x1=x2

D<0, корней нет.

Теорема Виета:

x1+x2 = -b/a

x1⋅ x2 = c/a

Приведенное кв. Уравнение:

x² + px+q =0

x1+x2 = -p

x1⋅ x2 = q

Если p=2k (p-четн.)

и x² +2kx+q=0, то x1,2 = -k± √ (k² -q)

Логарифмы:

loga x = b => ab = x; a>0,a≠ 0

a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0

loga x = b; x = ab

loga b = 1/(log b a)

logaxy = logax + loga y

loga x/y = loga x - loga y

loga xk =k loga x (x >0)

logak x =1/k loga x

loga x = (logc x)/( logca); c>0,c≠ 1

logbx = (logax)/(logab)

Тригонометрия.

sin x = a/c

cos x = b/c

tg x = a/b=sinx/cos x

ctg x = b/a = cos x/sin x

sin (π -α ) = sin α 

sin (π /2 -α ) = cos α 

cos (π /2 -α ) = sin α 

cos (α + 2π k) = cos α 

sin (α + 2π k) = sin α 

tg (α + π k) = tg α 

ctg (α + π k) = ctg α 

sin² α + cos² α =1

ctg α = cosα / sinα , α ≠ π n, n∈ Z

tgα ⋅ ctgα = 1, α ≠ (π n)/2, n∈ Z

1+tg² α = 1/cos² α , α ≠ π (2n+1)/2

1+ ctg² α =1/sin² α , α ≠ π n

Формулы сложения:

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y

cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y

cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y

tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )

x, y, x + y ≠ π /2 + π n

tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)

x, y, x - y ≠ π /2 + π n

Формулы двойного аргумента.

sin 2α = 2sin α cos α 

cos 2α = cos² α - sin² α = 2 cos² α - 1 =

= 1-2 sin² α 

tg 2α = (2 tgα )/ (1-tg² α )

1+ cos α = 2 cos² α /2

1-cosα = 2 sin² α /2

tgα = (2 tg (α /2))/(1-tg² (α /2))

Соотношение между функциями

sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)

cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)

sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)

sin² α = 1/(1+ctg² α ) = tg² α /(1+tg² α )

cos² α = 1/(1+tg² α ) = ctg² α / (1+ctg² α )

ctg2α = (ctg² α -1)/ 2ctgα 

sin3α = 3sinα -4sin³ α = 3cos² α sinα -sin³ α

cos3α = 4cos³ α -3 cosα= cos³ α -3cosα sin² α 

tg3α = (3tgα -tg³ α )/(1-3tg² α )

ctg3α = (ctg³ α -3ctgα )/(3ctg² α -1)

sin α /2 = ± √ ((1-cosα )/2)

cos α /2 = ± √ ((1+cosα )/2)

tgα /2 = ± √ ((1-cosα )/(1+cosα ))=

sinα /(1+cosα )=(1-cosα )/sinα 

ctgα /2 = ± √ ((1+cosα )/(1-cosα ))=

sinα /(1-cosα )= (1+cosα )/sinα 

sin(arcsin α ) = α 

cos( arccos α ) = α 

tg ( arctg α ) = α 

ctg ( arcctg α ) = α 

arcsin (sinα ) = α ; α ∈ [-π /2 ; π /2]

arccos(cos α ) = α ; α ∈ [0 ; π ]

arctg (tg α ) = α ; α ∈ [-π /2 ; π /2]

arcctg (ctg α ) = α ; α ∈ [ 0 ; π ]

arcsin(sinα )=

1)α - 2π k; α ∈ [-π /2 +2π k;π /2+2π k]

2) (2k+1)π - α ; α ∈ [π /2+2π k;3π /2+2π k]

arccos (cosα ) =

1) α -2π k ; α ∈ [2π k;(2k+1)π ]

2) 2π k-α ; α ∈ [(2k-1)π ; 2π k]

arctg(tgα )= α -π k

α ∈ (-π /2 +π k;π /2+π k)

arcctg(ctgα ) = α -π k

α ∈ (π k; (k+1)π )

arcsinα = -arcsin (-α )= π /2-arccosα =

= arctg α /√ (1-α ² )

arccosα = π -arccos(-α )=π /2-arcsin α =

= arc ctgα /√ (1-α ² )

arctgα =-arctg(-α ) = π /2 -arcctgα =

= arcsin α /√ (1+α ² )

arc ctg α = π -arc cctg(-α ) =

= arc cos α /√ (1-α ² )

arctg α = arc ctg1/α =

= arcsin α /√ (1+α ² )= arccos1/√ (1+α ² )

arcsin α + arccos = π /2

arcctg α + arctgα = π /2

Производная:

(xn)’ = n⋅ xn-1

(ax)’ = ax⋅ ln a

(lg ax )’= 1/(x⋅ ln a)

(sin x)’ = cos x

(cos x)’ = -sin x

(tg x)’ = 1/cos² x

(ctg x)’ = - 1/sin² x

(arcsin x)’ = 1/ √ (1-x² )

(arccos x)’ = - 1/ √ (1-x² )

(arctg x)’ = 1/ √ (1+x² )

(arcctg x)’ = - 1/ √ (1+x² )

Св-ва:

(u ⋅ v)’ = u’⋅ v + u⋅ v’

(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v² 

Уравнение касательной к граф.

y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)

уравнение к касательной к графику в точке x

1. Найти производную

2. Угловой коофициент k = производная в данной точке x

3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :

∫ xn dx = xn+1/(n+1) + c

∫ ax dx = ax/ln a + c

∫ ex dx = ex + c

∫ cos x dx = sin x + cos

∫ sin x dx = - cos x + c

∫ 1/x dx = ln|x| + c

∫ 1/cos² x = tg x + c

∫ 1/sin² x = - ctg x + c

∫ 1/√ (1-x² ) dx = arcsin x +c

∫ 1/√ (1-x² ) dx = - arccos x +c

∫ 1/1+ x² dx = arctg x + c

∫ 1/1+ x² dx = - arcctg x + c

Табличные данные