Урок алгебры в 11 классе "Бином Ньютона"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Тема урока: Бином Ньютона.

Цели урока:

Образовательные:
– научить учащихся возводить двучлен в натуральную степень;
– находить биноминальные коэффициенты, используя треугольник Паскаля;

Развивающие:
– развивать логическое мышление, такие мыслительные операции, как синтез и анализ, обобщение и сравнение;
– развивать умение выдвигать гипотезы при решении учебной задачи и понимать необходимость их проверки;
– развивать интерес к предмету.

Воспитательные:
– создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемный, объяснительно – иллюстративный, частично-поисковый.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело Холмса”Конан Дойля Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер” А.А.Тарковского. Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!” Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! Что же это за формула такая и почему о ней слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой?

Так что же такое бином Ньютона?

3. Объяснение нового материала.

1) Повторим формулы сокращенного умножения, которые мы с вами знаем.

У доски учащиеся записывают формулы квадрата суммы и разности, формулы куба суммы и куба разности двух выражений.

(а + в)2 = а2+ 2ав + в2
(а – в)2 = а2 – 2ав + в2
(а + в)3= а3 + 3а2в + 3ав2 + в3 
(а – в)3= а3 – 3а2в + 3ав2 – в3

2) Попробуйте записать формулу для 4-ой степени

(а+в)4=(а+в)3(а+в)=(а3+3а2в+3ав2+в3)(а+в)= а4 + 3а3в + 3а2в2 + ав3 + а3в + 3а2в2 + 3ав3 + в4 =

= а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4 .

и для 5-ой степени:

(а + в)5= (а + в)4(а + в) = (а4 + 4а3в + 6а2в2 + 4ав3 + в4)(а + в) =

а5 + 4а4в + 6а3в2 + 4а2в3 + в4а + а4в + 4а3в2 + 6а2в3 + 4ав4 + в5 = а5 + 5а4в + 10а3в2 + 10а2в3 + 5ав4 + в5

Внимательно рассмотрим полученные формулы: на экране таблица “Смотри!”

n = 0 (а +в)0 = 1

n = 1 (а +в )1 = 1·а+1·в

n = 2 (а + в)2 = 1· а2+ 2·ав +1· в2

n = 3 ( а + в)3 = 1· а3 + 3·а2в + 3·ав2+1· в3

n = 4 ( а + в)4 = 1·а4 + 4·а3в + 6·а2в2+4·а в3 +1·в4

n = 5 (а + в)5 = 1·а5+ 5·а4в+ 10·а3в2+ 10·а2в3+ 5·ав4+ 1·в5

3) Заметим следующее (обсуждаем вместе с учащимися увиденные закономерности):

1. число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;

2. показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

3. степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

4. каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа; числа– биноминальные коэффициенты;

5. биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Слово “бином” означает всего-навсего двучлен, т.е. сумму двух слагаемых. Происходит оно от латинских корней: два и слово.

Попробуем, используя полученные выводы, записать бином для шестой степени.

4) У доски ученик записывает формулу.

Коэффициенты разложения степени бинома легко найти по следующей схеме, которая называется “треугольник Паскаля”, по имени французского математика Блез Паскаля (1623–1662)

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей.

Блез Паскаль умер в 39 лет, но, несмотря на столь короткую жизнь, он вошел в историю как выдающийся математик, физик, философ и писатель. Его именем благодарными потомками названы единица давления(паскаль) и получивший чрезвычайно широкое распространение язык программирования. Но, наверное, самой известной математической работой Блеза Паскаля является “Трактат об арифметическом треугольнике”, образованном биноминальными коэффициентами, который имеет применение в теории вероятностей, комбинаторики, математическом анализе, теории чисел и обладает удивительными и занимательными свойствами. Кстати, одну из первых теорем в проективной геометрии Паскаль доказал в возрасте 16 лет.

Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

5) Найти разложение бинома (у каждого на парте треугольник Паскаля).

1. У доски вместе с учителем

№ 1. ( х +у)5 = х5 + 5х4у + 10х3у2 + 10х2у 3+ 5ху4 + у5

№ 2. (1 + 2а)4 = 14 + 4·13·2а + 6·12·(2а)2 + 4· 11·(2а)3 + (2а)4 =

1 + 8а + 24а2 + 32а3 + 16а4

№3 (х – у)6 = (х + (-у))6 = х6 + 6х5(-у) + 15х4(-у)2 + 20х3(-у)3 +

15х2(-у)4 + 6х(-у)5 + у6= х6– 6х5у +15х4у2– 20х3у3 + 15х2у4 – 6ху5+ у6.

2. Биноминальные коэффициенты можно вычислять по формуле.

Записывается формула бинома Ньютона. Формула для нахождения коэффициентов.

В более общем виде формула коэффициентов в биноме записывается так:



где k – порядковый номер слагаемого в многочлене.
Напомним, что факториал – произведение натуральных чисел от 1 до n, то есть 1·2·З...·n – обозначается n! Например: 4! = 1·2·3·4 = 24.

4. Работа с учебником (с. 332-333, задача №3), № 1092-1095 нечетные.

5. Самостоятельная работа по карточкам:

1. ( 1 + 3а)4 
2. (2а – в)5
3. (3в + 1)4 
4. (х – 2у)5

6. Итог урока. Оценки за урок.

7. Домашнее задание: § 64, № 1092, 1093 четные, свойства биноминальных коэффициентов