Решение неравенств методом интервалов.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Решение неравенств методом интервалов

Напоминание: Мы решаем неравенство вида  На прошлом уроке мы рассмотрели функцию 

На примере подобной функции мы рассмотрели метод интервалов для решения рациональных неравенств и схематического построения графика функции.

Решение дробно-квадратичного неравенства

Вместо  могут быть другие функции, например, дробно-линейные или дробно-квадратичные. Решение неравенств такого рода является нашей целью.

1. Решить неравенство 

Это же неравенство может быть представлено в виде  тогда нужно вначале разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Рассмотрим функцию 

2. Область определения: 

3. Найдем нули функции 

4. Выделим интервалы знакопостоянства.

5. Находим знак функции на каждом интервале.

Можно проверить знаки по методу пробной точки. Например, на промежутке   На остальных промежутках аналогично.(Рис.1)

Теперь возвращаемся к неравенству  

Ответ: 

Рассмотрим некоторые сопутствующие задачи.

Найти наименьшее решение неравенства.

Ответ: 

Найти число натуральных решений неравенства 

Ответ: 2.

Найти длину интервалов, составляющих множество решений неравенства.

Ответ:2.

Решение дробно-линейных неравенств

Мы рассмотрели метод интервалов на примере дробно-квадратичного рационального неравенства. Рекомендуется самостоятельно построить эскиз графика функции для данного примера.

2. Решить неравенство: 

Эквивалентными преобразованиями приведем неравенство к нужному виду.

Множество решений этого неравенства совпадает со множеством решений исходного неравенства

Неравенство такого вида мы уже умеем решать методом интервалов.

1. 

2. Область допустимых значений  

3. Нули функции 

4. Определяем интервалы знакопостоянства.

4 – выколотая точка, т.к. при  функция не существует, изобразим это на графике пунктирной линией.

5. Расставим знаки на промежутках. Самостоятельно можно проверить знаки методом пробной точки (Рис.2).

Теперь можно вернуться к неравенству и выбрать интервалы, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: 

Мы привели исходное неравенство к дробно-линейному виду. Самостоятельно можно построить эскиз графика функции.

3. Решить неравенство 

При решении данного неравенства может быть допущена грубая ошибка. Решать его методом умножения обеих частей на  категорически нельзя, будет потеряно множество решений!

Можно умножить обе части неравенства на положительное число, тогда знак неравенства останется прежним. Можно умножить на отрицательное число, тогда знак неравенства поменяется. Но умножать на  мы не можем, т.к. не знаем его знака.

Поэтому решаем неравенство методом эквивалентных преобразований.

1. Рассмотрим функцию 

2. Область определения 

3. Нули функции 

4. Определим интервалы знакопостоянства.

Точка 0 выколотая, в ней функция не существует, отметим это на графике пунктирной линией.

5. Расставим знаки на интервалах (Рис. 3).

Возвращаемся к неравенству. 

Ответ:

Вывод

Мы рассмотрели решение неравенств методом интервалов. В качестве функции выступала дробь, в числителе и знаменателе либо линейная, либо квадратичная функция.

Самостоятельная работа по теме

«Решение неравенств методом интервалов».

1. Решите неравенство.

РЕШЕНИЕ:найдем корни числителя и знаменателя.Затем отметим их на числовой прямой:

1)

D = корней нет

2)  

Точка на прямой будет выколота, т.к. знак неравенства строгий (>).

Определим знак функции на интервалах (для этого возьмем произвольные внутренние точки интервалов).

Например,  из интервала х=0

Выбираем интервал со знаком «+», т.к. знак неравенства «>». При записи ответа скобки интервалов будут круглые, знак неравенства строгий (>).

Ответ:  

2. Решите неравенство .

РЕШЕНИЕ: найдем корни числителя и знаменателя. Затем отметим их на числовой прямой в порядке возрастания слева направо:

х1 = -10;        

х2 = 1,5;

х3 = 0

Корень знаменателя на числовой прямой будет выколот, т.к. знаменатель не может быть равен 0, остальные точки будут закрашены, т.к. знак неравенства нестрогий ().

Определим знак функции на интервалах (для этого возьмем произвольные внутренние точки интервалов). Выбираем интервал со знаком «+», т.к. знак неравенства «».При записи ответа скобки интервалов будут круглые у выколотых точек и  и квадратные у закрашенных точек, т.к. знак неравенства нестрогий ().

Ответ: .

Задание для самостоятельного решения:Решить неравенства методом интервалов:

Самостоятельная работа по теме

«Решение неравенств методом интервалов».

1. Решите неравенство.

РЕШЕНИЕ :найдем корни числителя и знаменателя. Затем отметим их на числовой прямой:

1)

D = корней нет

2)  

Точка на прямой будет выколота, т.к. знак неравенства строгий (>).

Определим знак функции на интервалах (для этого возьмем произвольные внутренние точки интервалов).

Например,  из интервала х = 0  

Выбираем интервал со знаком «+», т.к. знак неравенства «>». При записи ответа скобки интервалов будут круглые, знак неравенства строгий (>).

Ответ:  

2. Решите неравенство .

РЕШЕНИЕ: найдем корни числителя и знаменателя. Затем отметим их на числовой прямой в порядке возрастания слева направо:

х1 = -10;        

х2 = 1,5;

х3 = 0

Корень знаменателя на числовой прямой будет выколот, т.к. знаменатель не может быть равен 0, остальные точки будут закрашены, т.к. знак неравенства нестрогий ().

Определим знак функции на интервалах (для этого возьмем произвольные внутренние точки интервалов). Выбираем интервал со знаком «+», т.к. знак неравенства «».При записи ответа скобки интервалов будут круглые у выколотых точек и  и квадратные у закрашенных точек, т.к. знак неравенства нестрогий ().

Ответ: .

Задание для самостоятельного решения: Решить неравенства методом интервалов: