Исследовательская деятельность обучающихся
проект по алгебре (6, 7, 8, 9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №8»

Тема: «Алгебраическое и графическое

решение линейных  уравнений, содержащих

модули».

Автор: Кленова Эмилия

учащийся 8 класса ≪Б≫

муниципального бюджетного

общеобразовательного учреждения

≪Средняя  школа № 8≫

Научный руководитель: Кучинская Ольга Витальевна,

учитель математики

муниципального бюджетного

общеобразовательного учреждения

                                                                                             ≪Средняя школа №8»

г. Нижневартовск, 2017г

Содержание:

1. Введение……………………………………………………………………………………………...3

2. Понятия  и  определения………………………………………………………………………......3

2.1 Вспомогательный материал для изучения данной темы……………………………………4

3.Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком  модуля………….....7

(аналитическое решение).

4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком  модуля……………..11

4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля……...…………………………18

5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих модули………………………...20

6. Решение нестандартных задач с модулем………………………………………………………26

7. Заключение…………………………………………………………………………………………28

8. Список использованной литературы……………………………………………………………29

            Цель работы: считаю, что эта тема требует более глубокого исследования, так как она прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, которые предлагают учащимся авторы дидактических материалов, в задачах математических олимпиад, в заданиях вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения и на ЕГЭ.

            Основной  целью работы считаю получение расширенной информации  о модуле числа, его применении, а также о различных способах решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

    Знание – самое превосходное из                        

                                                                  владений. Все стремятся к нему,

                                                                  само же оно не приходит.

                                                                                                    Ал - Бируни

1. Введение.

 Понятие  «модуль»  широко применяется  во многих разделах  школьного курса  математики, например,  в  изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

   Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает  «мера». Это слово имеет множество значений и  применяется не только в математике, физике и  технике, но и в архитектуре, программировании и других точных науках.

   Считают, что термин предложил использовать  Котс, ученик Ньютона. Знак модуля  был введен  в  XIX веке  Вейерштрассом.

   В архитектуре модуль – исходная единица измерения, устанавливаемая  для данного архитектурного сооружения.

    В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, служащий для обозначения различных коэффициентов и  величин, например, модуль упругости, модуль зацепления...

    В математике модуль имеет несколько значений, но я буду рассматривать его как абсолютную величину числа.

2. Понятия и определения.

Чтобы лучше изучить данную тему, необходимо  вспомнить простейшие определения:

а) уравнение – это равенство, содержащее переменные.

б) уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную  под знаком модуля  (абсолютной величины). Например:  | x | = 5.

в) решить уравнение – это, значит, найти все его корни, или доказать, что их нет.

г) линейное уравнение  с одной переменной – уравнение вида:  ax = b, где x – независимая переменная, a и  b – некоторые числа.

д)  линейная функция – функция вида: y = kx + b, где  x – независимая переменная, k и b – некоторые числа.

е) графиком линейной функции является прямая линия.

ж) область определения линейной функции состоит из всех чисел;

 если D(у) состоит не из всех чисел, то её график представляет собой   соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.  

з) раскрытие  скобок:

1) если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

2) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо заменить этот знак на «+», поменяв знаки всех слагаемых на противоположные, а потом раскрыть скобки.

2.1. Вспомогательный материал для изучения  данной

темы.

   Для изучения данной темы необходимо познакомиться с графическим решением  линейных уравнений и  числовыми промежутками.

  а) графическое решение уравнений.  

 Это один из способов решения уравнений.

Его применяют не так часто, так как он занимает в некоторых случаях  много времени; результаты, полученные при построении графиков, не всегда являются точными. Суть  этого способа  заключается в том, чтобы  построить графики данных функций.

  В случае, если графики пересекутся, то абсциссы  точек пересечений данных графиков  будут являться  корнями  данного уравнения.

  В случае, если графики не пересекутся, то уравнение корней не имеет.

 Абсцисса точки пересечения графиков линейных функций  будет корнем  линейного уравнения.

Например:

1) х3 = 8.

                       Решение:

Построим  в одной системе координат графики двух функций:

у = х3                          и                    у = 8

D(у): х – любое  число                  D(у): х – любое  число

рис. 1.

х = 2.

Ответ: 2.

2) х 2  = -2

Построим  в одной системе координат графики двух функций:

 у = х 2                                              у = - 2

D(у): х – любое  число                  D(у): х – любое  число х

рис. 2.

Графики не пересекаются, решений нет.

Ответ: Нет решений.

б) Числовые промежутки.

1) Отметим на координатной прямой точки с координатами -3 и 2. Если точка расположена между ними, то ей соответствует число, которое больше -3 и меньше 2.

    -3                 Х              2

Множество всех чисел, удовлетворяющих условию  -3< х < 2, называются  числовыми промежутком от -3 до 2 обозначаются так: (-3;2).

2)Число х, удовлетворяющее условию -3 < x < 2  изображается точкой, которая лежит между -3 и 2, либо совпадает с одной из них. Обозначение:

[-3; 2].

        / / / / / / / / / / /

      -3                     2

3)  -3 < х < 2

      / / / / / / / / / /                          

       -3                      2                        (-3; 2]

4) -3 < x < 2

                  / / / / / / / / / /                        

            -3                    2                             [-3; 2)

5) x > 6

                     / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

               6                                   x             (6; + ∞)

6) х < 6

          / / / / / / / / / / /

           х                 6                                   (∞ ; 6]

7) Запись промежутков:

( -∞ ; -2); [-2; 3); [3; + ∞).

3. Решение линейных уравнений, содержащих   неизвестное под знаком модуля.

(аналитическое решение).

Определение модуля.

Любое число можно изобразить точкой на числовой прямой.

Модулем числа а  называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

Пример. Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5)  удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков.

|5| = 5.

Модуль числа а  или  абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна –а, если а меньше нуля.

                а, если а > 0

|а| =              

                -а, если а < 0

Из определения следует, что для любого числа «а» выполняется неравенство:

|a| > 0.

При решении уравнений, содержащих выражения  со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля: модулем положительно- го числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от  знака модуля, используя его определение.

На практике это делается так:

     1) находят подмодульные нули, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

     2) разбивают область допустимых значений  переменной на промежутки, на каждом из  которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

     3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

     4) Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассматриваемого уравнения.

Задание 1.

|х – 6| = 9

          Решение:

1. Найдем подмодульный нуль или корень выражения, содержащего знак модуля.

         х – 6 = 0,

         х = 6.

2)Найденное значение х разбивает числовую прямую на 2 промежутка: х < 6;

х > 6.

Решение данного уравнения рассматриваем в каждом промежутке отдельно.

3) а) х < 6, под модулем получим  отрицательное число, тогда, раскрывая модуль, имеем:

  - ( х – 6) = 9

  - х + 6 = 9

  - х = 3

   х = - 3,  - 3 принадлежит ( - ∞ ; 6 ), значит

  - 3 – решение.

б) х > 6, получим под модулем положительное число, тогда, раскрываю модуль, имеем:

 х – 6 = 9,

х = 15, 15 принадлежит [6;+ ∞ ), значит, 15 – решение.

4) совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляют все решения рассмотренного уравнения.

   х = -3    и    х = 15.

Ответ: - 3; 15.

Задание 2.

|2х + 3| = 3х –3.

          Решение:    

  1)                        2)

 2х + 3 = 0,                        

  2х = –3,                     а) х < –1,5

   х = – 1,5                   – (2х + 3) = 3х – 3,

                                      – 2х – 3 = 3х – 3,

                                      – 2х – 3х = – 3 + 3,

                                       –5х = 0,

                                         х = 0,  0 не принадлежит  (–∞; -1,5),

                                         значит, 0 не является решением.

                                       б) х >  – 1,5

                                         2х + 3 = 3х – 3,

                                         2х – 3х = – 3 – 3,

                                         – х = – 6,

                                          х = 6, 6 принадлежит  [– 1,5; + ∞),

                                          значит 6 – решение.    

Ответ: 6.

Задание 3.

|х + 5| – |х  – 3| = 8.

           Решение:

1) х + 5 = 0,                          х – 3 = 0,

    х = – 5.                              х = 3.

              3)  а) х < – 5

            – (х + 5) – (– х + 3) = 8,

            –  х – 5 + х – 3 = 8,

            – 8 = 8, неверно, значит, решений нет на промежутке (–∞; – 5)

                   б)  – 5 <  х < 3

             х + 5 – (– х + 3) = 8,

             х + 5 + х – 3 = 8,

             2х + 2 = 8 ,

             2х = 6,

             х = 3,   3 не принадлежит [– 5; 3), значит 3 не является корнем уравнения.

          в)  х > 3

               х + 5 – (х – 3) = 8,

               х + 5 – х + 3 = 8,

               8 = 8, верно, значит, любое значение х является корнем уравнения на                                            этом промежутке.

  Ответ: [3;+ ∞).

Задание 4.

 |х + 2| + |х + 3| = х.

           Решение:

1) х +2 = 0,                             х + 3 = 0.

    х = – 2.                                х = – 3.

2)

3) а) х < – 3

        – (х + 2) – (х + 3) = х,

        – х – 2 – х – 3 = х,

        – 2х – 5 = х,

        – 2х – х = 5,

        – 3х = 5,

           х = – 1 2 / 3,  не принадлежит  (–∞; – 3), значит  – 1 2 / 3   не является решением.

   б) – 3 ≤ х < – 2

       – (х + 2 ) + х +3 = х,

       – х – 2 + х + 3 = х,

       – х = – 1,

          х = 1, 1 не принадлежит [– 3; – 2), значит, 1 не является решением.

   в) х > – 2

       х + 2 + х + 3 = х,

       2х + 5 = х,

       2х – х = – 5,

       х = – 5,   – 5 не принадлежит  [– 2;+ ∞), значит, – 5 не является решением.                                        

Ответ: нет решений

Задание 5.

 |2 + |2 + х|| = 3.

   Решение:

1) 2 + х = 0

    х = – 2.

2)          

                               – 2                         х  

3) а) х < – 2

      |2 – (2 + х)| = 3,

      | 2 – 2 – х | = 3,

      | –х | = 3,    | х | = 3.

      Так как,  х < – 2, то

      – х = 3,

      х = – 3, – 3 принадлежит  (–∞; – 2)

    б) х > – 2

        | 2 + (2 + х) |= 3,

        | 2 + 2 + х |  = 3,

        | 4 + х | = 3,

       х = – 4 – подмодульный нуль.

       х < – 4,                                    х ≥ – 4,

      – (4 + х) = 3,                            4 + х = 3,          

      – 4 – х = 3,                               х = – 1 ; – 1 принадлежит [– 4; + ∞)

      – х = 7,                                                

      х = – 7,  – 7 принадлежит  (– ∞; – 4)

Учитывая  условие: х ≥ – 2, получим,  – 1 принадлежит  [– 2; + ∞), а – 7 не принадлежит  [– 2; + ∞).

Ответ: – 3; – 1.

4. Графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Для построения графиков функций, содержащих выражение под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случает, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функций,

опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенного в области отрицательных значений y, отобразить симметрично оси ОХ.

Это вытекает из определения модуля числа.

 Задание 1.

у = | х |  

                Построение:

                 х, если х > 0

y =

               – х, если х < 0

Рис. 3

Заметим, что при построении графика функции у = | х | часть графика у = х, лежащая ниже оси абсцисс, зеркально отражается относительно этой оси.

Задание 2.

у = | 5х |.

           Построение:

cтроим график функции  у = 5х, а часть графика, лежащую ниже оси абсцисс, зеркально отображаем относительно этой оси.

Рис. 4

Задание 3.

у = | х – 2 |

             Построение:

1 способ.

1)  х = 2 – подмодульный нуль.

2)            

                  – х + 2,  х < 2

y =

                   х – 2,    х >  2

3)  Построим графики линейных функций в своих промежутках:

    у = – х + 2                                     у = х – 2

 х     0        1                                    х     0       1

 у     2        1                                    у   – 2     – 1

Рис. 5

 2 способ.

Строим график у =  х – 2, а  часть графика, лежащую ниже оси абсцисс отражаем зеркально относительно оси  абсцисс.      

Рис. 6

Задание 4.

у = | х | – 1

          Построение:

1) х = 0 –  подмодульный нуль.

2) на промежутке х < 0 функция примет вид:

    у = – х – 1

    х       0        1

    у    – 1     – 2

3) на промежутке х > 0 функция примет вид:

  у = х – 1

     х      0      1

     у    – 1     0

Рис. 7

Задание 5.

у = | х | + х

         Построение.

1) подмодульный нуль: х = 0.

2) если  х < 0, то у = – х + х = 0; у = 0.

3) если   х > 0,  то у = х + х = 2х; у = 2х.

    х     1                                      

    y     2                                      

Рис. 8

Задание 6.

у = | х – 3 | + | 1 – х | – 4

          Построение:

1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.

2) х < 1, у = – ( х– 3) + (1 – х) – 4 = – х + 3 + 1 – х – 4 = – 2х;  у = – 2х.

    х       1

    у    – 2

3) 1 ≤ х < 3, тогда у = – (х – 3) – (1 – х) – 4 = – х + 3 – 1 + х – 4 = – 2,  у = – 2.

4)  х > 3, тогда у = х – 3 – (1 – х) – 4 = х – 3 – 1 + х – 4 = 2х – 8,  у = 2х – 8.

  x     4    0

  y     0    2

Рис. 9

4.1. Графики простейших функций, содержащих знак модуля.

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений.

Сформулируем утверждение, позволяющее, строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много);

алгебраическая сумма модулей n-линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n+1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, еще одна -

произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней, и последняя – с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1) у = | х – 1|

Вычисляя значения функции в точках 1; 0 и 2, получаем график, состоящий из  двух лучей.

Рис. 10

2) у =  |х – 1| + |х – 2|

 Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;0;3, получаем график:

 Рис. 11

 3) у = | х – 1 | + | х – 2 | + | х – 3 |

Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1;2;3;0;4, получим график:

Рис. 12

4) у = | х – 1 |  – | х – 2 |

График разности строится аналогично графику суммы, то есть  по точкам 1;2;0;3.

Рис. 13

5. Графическое решение линейных уравнений, содержащих  модули.

Задание 1.

Решите уравнение:

| х – 3 | + | 1 – х | = 4.

   Решение:

Построим в одной системе координат графики двух функций:

 у = | х – 3 | + | 1 – х |          и                  у = 4

1) у = | х – 3 | + |1 – х |

а) подмодульные нули: х = 3, х = 1.

б)

в) х < 1, у = – ( х – 3) + ( 1 – х) = – х + 3 + 1 + х = – 2х + 4

    у = – 2х + 4,           х    0       1

                                   у     4       2

1 < х < 3, у = – ( х – 3) – ( 1 – х) = – х + 3 – 1 + х = 2

    у = 2              

х > 3,  у = (х – 3) – (1 – х) = х – 3 – 1 + х = 2х – 4    

   у = 2х – 4

                                x     0       1

                                y    -4     -2

2) у = 4 – прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;4).

Рис. 14

х = 0; х = 4

Ответ: 0; 4

А можно было решить так:

|x - 3| + |1 - x| = 4

|x - 3| + |1 - x| - 4 = 0

Построим в одной системе координат графики:

y = |x - 3| + |1 - x| - 4         и       y = 0,  ( смотри рисунок 9. )

Решим это уравнение аналитически.

| х – 3 | + | 1–х  | = 4

Решение:

1) подмодульные нули: х = 3; х = 1.

2)

3) а) х < 1,

– (х – 3) + (1 – х) = 4,

–х + 3 + 1– х = 4,

–2х + 4 = 4,

–2х = 0,

х = 0, 0 принадлежит (–∞; 1)

б) 1 < х <3

– (х – 3) – (1 – х) = 4,

– х + 3 – 1 + х = 4,

2 = 4, неверно, решений нет.

в) х > 3

(х – 3) – (1 – х) = 4,

х – 3 – 1 + х = 4,

2х – 4 = 4,

2х = 8,

х = 4, 4 принадлежит [3; +∞).

Ответ: 0; 4.

Задание 2.

 | х – 5 | + | 5 – х |=0

Решение:

Построим в одной системе координат графики двух функций:

у = /х – 5/ + /5 – х/          и             у = 0

1) у = /х – 5/ + /5 – х/

а) подмодульный нуль: х = 5;

б) х < 5, тогда у = – (х – 5) + (5 – х) = – х + 5 + 5 – х = – 2х + 10;  

   у = – 2х + 10        х       5         4

                                 у       0         2  

   x≥5, тогда y = (x - 5) – (5 - x) = x – 5 – 5 + x = 2x – 10

   у = – 2х  -  10        x       5         4

                                  y       0       - 2

2) у = 0, график – ось абсцисс.        

Рис. 15

Графики пересеклись в точке (5;0), значит корень данного уравнения х = 5.

Ответ: 5.

Решим это уравнение аналитически:

| х – 5 | + | 5 – х | = 0.

Решение:

1)подмодульный нуль: х = 5.

2)

3) х < 5, тогда  – (х – 5) + (5 – х) = 0,

                          – х +  5 + 5 – х = 0,

                          – 2х +10 = 0,

                          – 2х =  – 10,

                             х = 5, 5  не принадлежит (–∞; 5)

   х ≥ 5, тогда (х – 5)-(5 –х)=0,

                        х –5 –5+х=0,

                        2х –10=0,

                        2х=10,

                        х=5, 5 принадлежит [5; +∞)

Ответ: 5.

Задание 3.

3 – | х –1 | + | х+5 | = 0

Решение:  

Построим в одной системе координат графики двух функций:

y = 3 –| х –1 | + | х+5 |                 и                   у = 0

1) у = 3 –| х –1 | + | х + 5 |                

а) подмодульные нули: х = 1; х = 5

б)

в) х < –5, у = 3 + (х – 1) – (х + 5) = 3 + х – 1 – х – 5 = -3,

 у = -3

–5 < х < 1, у = 3 + (х – 1) + (х + 5) = 3 + х –1 + х + 5 = 2х + 7,

у = 2х + 7           х         0       -5

                           у          7        3

х ≥ 1, у = 3 – (х – 1) + (х + 5) = 3 – х + 1 + х + 5 = 9,

у = 9

2) у = 0

Рис. 16

Графики пересекаются в точке с абсциссой  - 3,5, следовательно х = - 3,5.

Ответ: х = - 3,5.

Решим это уравнение аналитически:

3 – | х –1 | + | х + 5 | = 0

 Решение:

1) подмодульные нули: х = 1, х = -5.

2)                  

3) х < - 5, тогда 3 + (х – 1) – (х + 5)=0,

                           3 + х – 1 – х – 5 = 0,

                          - 3 = 0, неверно, решений нет.

  -5 < х < 1, тогда 3 + (х – 1) + (х + 5)=0,

                            3 + х –1 + х + 5 = 0,

                            2х + 7 = 0,

                            2х = -7

                        х = -3,5, -3,5  принадлежит [-5; 1)

    х > 1, тогда 3 – (х – 1) + (х + 5) = 0,

                          3 – х  + 1 + х + 5 = 0,

    9 = 0, неверно, решений нет.

Ответ: x = - 3,5.

            Имея корни решенных уравнений, и рассматривая графики построенных функций, можно сделать вывод: корни полученных уравнений – это абсциссы точек пересечения графиков с осью ОХ.

6. Решение нестандартных задач с модулем.

          Построив графики следующих функций в прямоугольной системе координат, мы получим некое «произведение искусства»:

Задание 1.

Рис. 17

7. Заключение.

             В заключении, я бы хотела бы сказать, что мне было очень интересно работать с данной темой. Я познакомилась с аналитическими и графическими решениями линейных уравнений с модулями, научилась строить графики линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля, графики простейших функций, содержащих знак модуля. А для этого прочитала и изучила немало дополнительной литературы. Получив эти знания, мне будет совсем нетрудно выбирать рациональный способ решения уравнений.

Список использованной литературы.

1. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.

Автор-составитель: М.Е. Козина.,  г. Волгоград: Учитель,2007.

2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.

3. Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж 1994.

4. Алгебра. Учебник для 8 класса средней школы, под редакцией Теляковского С.А.

                          Тайные свойства таблицы умножения.

                                                                                                Выполнил: Авилов Никита,

ученик 2 «Б» класса

Руководители: Кучинская Ольга Витальевна,

 учитель математики;

Федорова Екатерина Борисовна,

 учитель начальных классов

                г. Нижневартовск  2018 г.

Содержание.

1. Введение.        3

2. Основное содержание.        3

2.1 Анкетирование.Мониторинг результатов анкетирования        3

2.2 Секреты таблицы умножения.        6

2.3 Экспериментальная работа. Мониторинг результатов эксперимента        10

3. Заключение.        12

4. Использованные ресурсы        13

5. Приложение.        14

Анкета для учащихся 3-4 классов.        14

Анкета для учащихся 10-11 классов.        15

Анкета для родителей.        16

Аннотация.        16

Брошюра «Секреты таблицы умножения»

1. Введение.

Таблица умножения

                                                         Достойна уважения.

                                                           Она всегда во всем права,

 Чтоб ни случилось в мире,

 А все же будет дважды два

 По-прежнему четыре.

           (С.Я. Маршак “Дважды два”)

 Один из важнейших разделов математики 2 класса – таблица умножения. Второклассник должен научиться находить результаты табличного умножения не только правильно и быстро, но и осознанно, а таблицу умножения знать назубок.

Актуальность:

Тему для исследования я выбрал не случайно. Она актуальна для всех второклассников. Мне и моим сверстникам предстояло изучить таблицу умножения, от прочного усвоения таблицы умножения зависит дальнейшее успешное изучение всех школьных дисциплин.

Цель работы:

Найти быстрые и эффективные способы заучивания таблицы умножения.

Задачи исследования:

1. Ознакомиться с научной литературой по теме “Таблица умножения”.
2. Провести анкетирование среди учащихся 3-4 классов, 10-11 классов, родителей по теме “Таблица умножения”.
3. Провести эксперимент в классе.
4. Составить брошюру по данной теме.

Практическое значение:

Брошюру  “Таблица умножения” могут использовать учителя начальных классов на уроках математики, учащиеся начальной школы, родители, помогающие своим детям в учебе.

Методы исследования:

•  изучение печатных материалов
•  опрос учащихся и родителей
•  анализ и сравнение полученных данных
•  мониторинг результатов
•  эксперимент.

2. Основное содержание.

     2.1 Анкетирование.

Передо мной таблица умножения: 8 столбиков по 10 примеров в каждом. Все это мне предстоит запомнить?! Как этого добиться? Я решила обратиться к ребятам, которые все это уже проходили, а так же к родителям моего 2 Б  класса. Совместно с учителем составили анкеты, результаты анкетирования обработали.

         Мониторинг результатов анкетирования.

В анкетировании приняли участие 177 человек: 50 учащихся 3-х классов, 50 учащихся 4-х классов, 25 учащихся 10 А класса,25 учащихся 11 А класса и 27 родителей 2 Б класса. В анкетах были следующие вопросы:

1.Необходимо ли современному человеку хорошо знать таблицу умножения?

а) да                б) нет

По мнению большинства опрошенных знание таблицы умножения современному человеку необходимо.

2.В изучении каких дисциплин Вам необходимо знание таблицы умножения?

На данный вопрос отвечали 77 человек – учащиеся старших классов и родители.

        27 % -  алгебра                                            4.7 % - экономика

22 % -  физика                                             3 %    - биология

15  % - геометрия                                        4.7 % - информатика

15  % - химия                                              1.5 % - черчение

Учащиеся старших классов считают, что больше всего знание таблицы умножения им необходимо при изучении алгебры, физики, геометрии, химии. Но и изучение экономики, биологии, информатики, черчения также требует знания таблицы умножения.

3.Знаете ли Вы таблицу умножения?

        а) да                б) нет                в) до сих пор ошибаюсь в некоторых случаях

Этим вопросом мы хотели выяснить, кто своевременно (во 2 классе) прочно усвоил таблицу умножения. Оказывается, что 22% опрошенных до сих пор ошибаются в результатах табличных произведений.

4. Вспомните, как долго Вы учили таблицу умножения?

а) 1 месяц        б) 2-3 месяца             в) полгода      г) год          

Большая половина опрошенных выучила таблицу умножения за 1 месяц, однако 32 человека учили таблицу полгода, а 7 человек учили год.

5.Испытывали ли Вы трудности при заучивании таблицы умножения?

        а) да                б) нет

60 % - испытывали трудности     42 % -испытывали трудности    52 % - испытывали трудности    

40 % -не испытывали                 58 % -не испытывали                  48 % - не испытывали

Учащиеся 3-4 классов еще помнят трудности заучивания таблицы умножения, а половина ребят 10-11 классов и родители  по прошествии времени считают, что трудностей не было.

6.Таблица умножения на какую цифру Вам давалась труднее всего?

а) на 2     б) на 3     в) на 4     г) на 5    д) на 6    е) на 7    ж) на 8    з) на 9

1 % - на 2   3 % - на 3    5.7 % - на 4  10 % - на 6   20 % -на 8   28 % - на 7    33 % - на 9 

Труднее всего давались таблицы на 9,7,8. Проценты посчитаны от общего числа опрошенных.

7.Какие способы применяли Вы при заучивании таблицы умножения?

        а) зубрёжка        б) свойства таблицы           в) другое

           Дети                                                 Родители

Большинство опрошенных “зубрили” таблицу умножения.

8.Знаете ли Вы способы эффективного заучивания таблицы умножения?

        а) да                б) нет

На этот вопрос большая половина опрошенных ответили отрицательно, лишь 17% опрошенных считают, что знают эффективные способы заучивания таблицы умножения.

9.Какие способы?

33 человека, положительно ответивших на 8 вопрос, указали следующие способы эффективного заучивания таблицы умножения.

15 человек считают эффективным способом повторение на ночь, 5 человек – замену умножения сложением, 5 учащихся вспомнили таблицу умножения числа 9 на пальцах, 1 человек знает рифмы в примерах, 7 человек – перестановку множителей.

10.Поможет ли Вам знание таблицы в подготовке и сдаче ЕГЭ?

        а) да                б) нет                в) другое:_____________

На данный вопрос отвечали 50 человек – учащиеся старших классов.

Очевидно, что без знания таблицы умножения успешно подготовиться и сдать ЕГЭ нельзя.

11. Где в повседневной жизни Вам помогает знание таблицы умножения?  

На данный вопрос отвечали 27 человек – родители учащихся.

Помимо учебы в школе, знание таблицы умножения необходимо и во “взрослой” жизни.

     Выводы:

• Большинство опрошенных испытывали трудности при заучивании таблицы умножения.
• Те способы запоминания (а основной способ, указанный в опросе, это “зубрежка”) не рациональные, т.к. от 40 % учащихся 3-4 классов до 10 % родителей до сих пор ошибаются в результатах табличного умножения.
• Самой сложной таблицей, как показал опрос, является таблица умножения числа 9.
• Без прочного знания таблицы умножения дальше успешно учиться в школе невозможно.

      2.2 Секреты таблицы умножения.

  Обработав с учителем результаты анкетирования, я понял, что было бы полезно знать способы эффективного запоминания таблицы умножения.  

В сборнике “Уроки математики во 2-3 классах” автора Пансковой Г.В., я обнаружил секреты, помогающие быстро найти результаты умножения числа 9. А сколько интересных секретов таблицы умножения я узнал, познакомившись с учебниками Захаровой А.М., Фещенко Т.И. “Математика. 2 класс”; Александровой Э.И. “Математика. 2 класс”. Мои открытия пополнились, когда я изучил работу Сорокина Т.И. “Занимательные задачи по математике”.

Сравнив и проанализировав предложенные способы запоминания таблицы умножения, я пришел к выводу, что они могут быть приятными и полезными  даже в том случае, если у человека нет проблем с механической памятью. Долой скучную зубрежку! Учить таблицу умножения интересно и увлекательно!

1.Секреты таблицы умножения числа 9.

9 * 2 = 18           9 * 4 = 36              9 * 6 = 54                  9 * 8 = 72

        9 * 3 = 27          9 * 5 = 45           9 * 7 = 63                  9 * 9 = 81

1 способ. На пальцах: Положите обе руки на стол ладонями вниз. Тогда мизинец левой руки пусть будет первым пальцем, безымянный - вторым, средний - третьим и т.д., большой палец правой руки – шестым и т.д., мизинец правой руки - десятым пальцем обеих рук.

Эти пальцы являются безошибочным счетчиком.

9 * 5 = 45 Чтобы решить это на пальцах, вы только должны посмотреть, сколько пальцев от 5-го пальца налево и сколько направо: налево 4 пальца - это 4 десятка, направо 5 – это 5 единиц, значит, ответ будет 45.

9 * 7 = 63    От 7-го пальца налево 6, направо 3 пальца, значит 63.

Поупражняйтесь в таком умножении и научите тех, кто плохо усваивает таблицу умножения.

      2 способ:1) В разряде десятков стоит цифра на единицу меньше второго множителя.

                          2) В разряде единиц стоит цифра, дополняющая цифру в разряде десятков до 9.

                      -1

 9 * 7 =   6   3                 7 – 1 = 6 - десятки.      9 – 6 = 3 – единицы

3 способ. Округление числа 9:

               9*2 = 10*2 – 2 = 18

          9*3 = 10*3 – 3 = 27

              9*9 = 10*9 – 9 = 81        

2.Секреты таблицы умножения числа 2.

        2 * 2 = 4        2 * 4 = 8        2 * 6 = 12        2 * 8 = 16

        2 * 3 = 6        2 * 5 = 10        2 * 7 = 14        2 * 9 = 18

      Мои наблюдения:

1. Ответы таблицы умножения числа 2-четные.

2. Ответы заканчиваются цифрами 2, 4, 6, 8, 0.

3. У произведений, оканчивающихся одинаковой цифрой, второй множитель отличается на 5 единиц.

2 * 1 = 2                   1+5=6                2 * 2 = 4                   2+5=7

        +5                                        +5        

2 * 6 = 12                                2 * 7 =14        

2 * 3 = 6                   3+5=8              2 * 4 = 8                   4+5=9

           +5                                                       +5

2 * 8 = 16                                 2 * 9 = 18

2 * 5 = 10                   5+5=10

          +5

2 * 10 = 20

4. Чтобы получить произведения числа 2 на (1,2,3,4 и т.д.) надо второй множитель увеличить на столько же.

Например,

2 * 4 = 8                        4 + 4 = 8

2 * 7 = 14                             7 + 7 = 14

3.Секреты таблицы умножения числа 5.

5 * 2   = 10                        5 * 6   =  30

5 * 3   = 15                                   5 * 7   =  35

5 * 4   = 20                        5 * 8   =  40

5 * 5   = 25                                   5 * 9   =  45

Мои наблюдения:

1. Произведения заканчиваются цифрами 5 или 0.

2. Если второй множитель четный, то произведения заканчиваются на 0.

3. Если второй множитель нечетный, то произведения заканчиваются  цифрой 5.

4. А цифра в разряде десятков может быть получена представлением второго множителя в виде суммы одинаковых чисел, одно из которых берем в десяток, если есть остаток, его надо отбросить.

5*4=20                        4 = 2 +2                5*7=35                          7 = 3+3+1

5*8=40                          8 = 4+4                5*9=45                      9 = 4+4+1

Запомни!!!

3=1+1+1                4=2+2                        7=3+3+1                8=4+4

5=2+2+1                6=3+3                        9=4+4+1

 4. Секреты таблицы умножения числа 6.

6 * 2 = 12                                6 * 6 = 36

6 * 3 = 18                                6 * 7 = 42

6 * 4 = 24                                6 * 8 = 48

6 * 5 = 30                                6 * 9 = 54

Отдельно рассмотрим произведения, где четный и нечетный множитель.

                               Четный множитель:

1. Если проговаривать произведения, начиная снизу:

Шестью восемь - сорок восемь,

Шестью шесть - тридцать шесть,

Шестью четыре - двадцать четыре,

то слышна рифма, только шестью два - двенадцать портит рифму. Можно придумать так, чтобы сохранить рифму: Шестью два – десять два.

2.   6  *  2  =  12                                         6  *  6  =  36

                  2  =  1+1                                                6  =  3+3        

      6  *  4  =  24                                         6  *  8  =  48

              4  =  2+2                                          8  =  4+4        

Цифра в разряде единиц – это второй множитель, а цифру в разряде десятков легко получить представлением второго множителя в виде суммы одинаковых чисел, одно из которых

записать в десятки.

Нечетный множитель:

1. Множитель представим в виде суммы одинаковых чисел, возьмем одно число и прибавим остаток, то получим цифру в разряде десятков. Исключение число 3.

6*9=5 .            9=4+4+1         4+1=5

6*7=4 .            7=3+3+1         3+1=4

6*5=3 .            5=2+2+1         2+1=3

2. Цифра в разряде единиц – это последняя цифра в сумме или разность нечетного множителя и числа 5.

                     +5        

     6   *   3   = .  8

                             +5                                             -5        

     6 *    5   = .  0                                6  *  5  =  .   0

                     +5                                                -5

     6   *   7  =  .  2                                6  *  7  =  .   2

                    +5                                                -5        

     6   *   9  = .  4                                 6  *  9  =  .   4                                                                                          

5.Секреты таблицы умножения чисел 4 и 8.

2*2=4                                        4*2=8                                        8*2=16

2*3=6                                        4*3=12                                8*3=24

2*4=8                                        4*4=16                                8*4=32

2*5=10                                4*5=20                                8*5=40

2*6=12                                4*6=24                                8*6=48

2*7=14                                4*7=28                                8*7=56

2*8=16                                4*8=32                                8*8=64

2*9=18                                4*9=36                                8*9=72

2*10=20                                4*10=40                                8*10=80

                В 2 раза >                                В 2 раза >

1) Значение произведений чисел на 4 в 2 раза больше произведений тех же чисел на число 2.

2) Значение произведений чисел на 8 в 2 раза больше произведений тех же чисел на число 4.

6. Секреты таблицы умножения числа 3.

3 * 1 = 3                        3 * 4 = 12                    3 * 7 = 21

3 * 2 = 6              “0”        3 * 5 = 15          “1”       3 *  8 = 24         “2”

3 * 3 = 9                        3 * 6 = 18                       3 *  9 = 27

1.) В первых трех произведениях в разряде десятков - “0”.

     В следующих трех произведениях в разряде десятков - “1”.

     В следующей “тройке” в разряде десятков - “2”.

2.) В разряде единиц чередуются четные и нечетные числа.

3.) Если сложить цифры, стоящие в разряде десятков и единиц, то все время получается 3, 6, 9.

3 * 4 = 12                 1 + 2 = 3

3 * 5 = 15                1 + 5 = 6
3 * 6 = 18                1 + 8 = 9
3 * 7 = 21                2 + 1 = 3
3 * 8 = 24                2 + 4 = 6
3 * 9 = 27                2 + 7 = 9

7. Секреты таблицы умножения числа 7.

7 * 2 = 14

7 * 3 = 21

7 * 4 = 28

7 * 5 = 35                               Я знаю из предыдущих таблиц.

7 * 6 = 42

7 * 7 = ?

7 * 8 = 56

7 * 9 = 63

                  42

7 * 7 = 7 * 6 + 7 = 49

               56

7 * 7 = 7 * 8 - 7 = 49

                                Применяем для всех таблиц:

 1.)Напишите ряд чисел от 1 до 10.

1     2      3      4       5      6      7      8      9     10

2     4      6      8     10    12    14    16    18     20

А под ним другой ряд - прибавление по 2, начиная с числа 2.

В этих двух рядах полностью записана вся таблица умножения числа 2.

По этим двум рядам чисел можно умножать число 2 на любое число от 1 до 10.

При изучении таблиц умножения других чисел составьте такие же таблицы в два ряда. Они вам очень хорошо помогут в усвоении таблицы умножения.

 2.)Нахождение произведения с помощью предыдущего или последующего значения.

                         36

9 * 5 = 9 * 4 + 9 = 45                  3 * 2 = 6    

                                              3 * 3 = 9      

                      45                                                                 +3

9 * 4 = 9 * 5 – 9 = 36                   3 * 4 = 12

       3 * 5 = 15             -3                        

3.) Замена произведения суммой, если один из множителей 2, 3, 4.

9 * 2 = 9 + 9

8 * 3 = 8 + 8 + 8                                        

      2.3 Экспериментальная работа.

В эксперименте приняли участие 26 учащихся 2 Б класса. Ребят разделили на 2 группы по 13 человек. Одну группу знакомили с секретами таблицы умножения, а другая группа  заучивала таблицу “дедовским” методом – “зубрежкой”. I группе объясняли секреты таблицы  на одно число в течение 30 минут, II группа – получала задание выучить таблицу умножения на 1 число за 1 вечер. На следующий день ребята обеих групп в течение 4 минут решали вразброс 8 примеров из таблиц умножения.

Мониторинг результатов эксперимента:

1) Таблица умножения числа 9.

I группа – все 13 человек решили

                  примеры без ошибок.

II группа:  без ошибок – 5 человек.

                   с 1 ошибкой – 2 человека.

                с 2 ошибками – 3 человека.        

               с 3 ошибками – 2 человека.        

                   с 5 ошибками – 1 человек.        

Все ребята, знающие секреты таблицы умножения числа 9, справились с заданием без ошибок. А “зубрежка” помогла лишь пятерым ребятам из второй группы.

2)Таблица умножения числа 5.

I группа:   без ошибок – 11 человек.

                  с 1 ошибкой – 1 человек.

               с 2 ошибками – 1 человек.        

II группа:  без ошибок – 8 человек.

                  с 1 ошибкой – 1 человек.

               с 2 ошибками – 2 человека.        

              с 4 ошибками – 1 человек.        

                  с 5 ошибками – 1 человек.        

Эксперимент показал, что и таблицу умножения числа 5 легче выучить, зная ее секреты.

3)Таблица умножения числа 2.

I группа – все 13 человек решили примеры

                 без ошибок.

II группа: без ошибок – 10 человек.

                  с 1 ошибкой – 2 человека.

               с 2 ошибками – 1 человека.        

Так как таблица умножения числа 2 самая легкая (по результатам анкетирования), то и ребята из второй группы хорошо выполнили задание, ну а ребята первой группы опять на “высоте”.

4)Таблица умножения числа 6.

I группа:   без ошибок – 10 человек.

                  с 1 ошибкой – 1 человек.

               с 2 ошибками – 2 человека.        

II группа: без ошибок – 7 человек.

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

               с 2 ошибками – 1 человек.        

              с 4 ошибками – 1 человек.        

                  с 5 ошибками – 1 человек.        

В первой группе ошиблись 3 человека, а во второй группе ошиблись 6 человек, что снова говорит о том, как хорошо знать секреты таблицы умножения.

5)Таблица умножения числа 4.

I группа – все 13 человек решили

      примеры без ошибок.

II группа: без ошибок – 8 человек.

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

               с 2 ошибками – 2 человека.        

Таблица умножения числа 4 также одна из самых легких (по результатам анкетирования), но количество ошибок во второй группе достаточно большое. А ребятам первой группы отлично помогло знание секретов.

6) Таблица умножения числа 8.

I группа:   без ошибок – 8 человек.                

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

               с 2 ошибками – 1 человек.        

              с 3 ошибками –  1 человек.        

II группа: без ошибок – 5 человек.

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

               с 2 ошибками – 2 человека.        

              с 3 ошибками – 2 человека.        

                  с 4 ошибками – 1 человек.        

По мнению всех, принявших участие в анкетировании, таблица умножения числа 8 одна из наиболее трудных, но разница между ребятами первой и второй группы очевидна. “Зубрежка” подвела 8 ребят.

7)Таблица умножения числа 3.

I группа:   без ошибок – 8 человек.

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

               с 2 ошибками – 1 человек.        

              с 3 ошибками –  1 человек.        

II группа: без ошибок – 6 человек.

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

               с 2 ошибками – 2 человека.        

              с 3 ошибками – 1 человек.        

                  с 4 ошибками – 1 человек.        

Таблицу умножения числа 3 и дети, и родители посчитали легкой, а напрасно. Наш эксперимент показал, что и в первой, и во второй группе много ошибок, но результат первой группы намного лучше.

8)Таблица умножения числа 7.

I группа:   без ошибок – 8 человек.

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

               с 2 ошибками – 2 человека.        

II группа: без ошибок – 4 человека.

                  с 1 ошибкой – 3 человека.

              с 3 ошибками – 1 человек.        

                  с 5 ошибками – 5 человек.        

Ребята первой группы пользовались секретами умножения всех таблиц, изученных ранее, переставляя множители. Результат еще раз говорит о том, что дети легко усвоили секреты таблиц умножения и умеют применять их на практике.

3. Заключение.

• Учить таблицу умножения, зная ее секреты, гораздо быстрее и интереснее.
• В ходе эксперимента были получены положительные результаты, доказывающие эффективность данного способа заучивания таблицы умножения.
• В целях распространения положительного опыта мною была создана брошюра “Секреты таблицы умножения”, помогающая детям своевременно (во 2 классе) прочно запомнить таблицу умножения.

4. Использованные ресурсы:

1. Александрова Э.И. «Математика. 2 класс». Москва, «Дом педагогики», 1997г.
2. Захарова А.М., Фещенко Т.И. «Математика. 2 класс». Москва, «Инфолайн», 1993г.
3. Панскова Г.В. «Уроки математики во 2-3 классах». Чебоксары, 2003г.
4. Сорокин Т.И. «Занимательные задачи по математике». Москва, «Просвещение», 1967 г.
5. Советский энциклопедический словарь. Москва, «Советская энциклопедия», 1988 г.
6. Intel. Обучение для будущего. Москва 2007г.
7. http://www.psilib.ru
8. http://aimatrix.nm.ru

 5. Приложение.

        Анкета для учащихся 3-4 классов.

1. Необходимо ли современному человеку хорошо знать таблицу умножения?

а) да                          б) нет                  в) другое:_____________________

2. Знаете ли Вы таблицу умножения?

а) да           б) нет         в) до сих пор ошибаюсь в некоторых случаях.  

3. Вспомните, как долго Вы учили таблицу умножения?

а) 1 месяц        б) 2-3 месяца        в) год            г) другое : ___________

4. Испытывали ли Вы трудности при заучивании таблицы умножения?

а) да                          б) нет

5. Таблица умножения на какую цифру Вам давалась труднее всего?

а) на 2   б) на 3   в) на 4  г) на 5  д) на 6   е) на 7    ж) на 8    з) на 9

6. Какие способы Вы применяли при заучивании таблицы?

а) зубрежка           б) свойства таблицы        в) другое:______________

7. Знаете ли Вы способы эффективного заучивания таблицы умножения?

а) да                           б) нет

8. Какой способ?

____________________________________________________________

Анкета для учащихся 10-11 классов.

1. Необходимо ли современному человеку хорошо знать таблицу умножения?

а) да                          б) нет                  в) другое:_____________________

2. Знаете ли Вы таблицу умножения?

а) да           б) нет         в) до сих пор ошибаюсь в некоторых случаях.  

3. Вспомните, как долго Вы учили таблицу умножения?

а) 1 месяц        б) 2-3 месяца        в) год            г) другое : ___________

4. Испытывали ли Вы трудности при заучивании таблицы умножения?

а) да                          б) нет

5. Таблица умножения на какую цифру Вам давалась труднее всего?

а) на 2   б) на 3   в) на 4  г) на 5  д) на 6   е) на 7    ж) на 8    з) на 9

6. Какие способы Вы применяли при заучивании таблицы?

а) зубрежка           б) свойства таблицы        в) другое:______________

7. Знаете ли Вы способы эффективного заучивания таблицы умножения?

а) да                           б) нет

8. Какой способ?

____________________________________________________________

9. В изучении каких школьных дисциплин  необходимо знание таблицы?

____________________________________________________________

10.Поможет ли Вам знание таблицы в подготовке и сдаче ЕГЭ?

        а) да                б) нет                в) другое:_____________

Анкета для родителей.

1. Необходимо ли современному человеку хорошо знать таблицу умножения?

а) да                          б) нет                  в) другое:_____________________

2. Знаете ли Вы таблицу умножения?

а) да           б) нет         в) до сих пор ошибаюсь в некоторых случаях.  

3. Вспомните, как долго Вы учили таблицу умножения?

а) 1 месяц        б) 2-3 месяца        в) год            г) другое : ___________

4. Испытывали ли Вы трудности при заучивании таблицы умножения?

а) да                          б) нет

5. Таблица умножения на какую цифру Вам давалась труднее всего?

а) на 2   б) на 3   в) на 4  г) на 5  д) на 6   е) на 7    ж) на 8    з) на 9

6. Какие способы Вы применяли при заучивании таблицы?

а) зубрежка           б) свойства таблицы        в) другое:______________

7. Знаете ли Вы способы эффективного заучивания таблицы умножения?

а) да                           б) нет

8. Какой способ?

____________________________________________________________

9. В изучении каких школьных дисциплин  необходимо знание таблицы?

____________________________________________________________

10.Где в повседневной жизни Вам помогает знание таблицы умножения?

____________________________________________________________

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №8»

 «Шутка гениев: флексагон»

Наименование секции:

МАТЕМАТИКА

Выполнила:

Скобелкина Евгения,

ученица 8 «Б» класса

Руководитель:

Кучинская Ольга Витальевна,

учитель математики  

                                                     г.Нижневартовск

2019г.

Оглавление

1. Цели и задачи исследования…………………………………………...……3
2. Введение……………………………………………………………………....4
3. История открытия флексагонов……………………………………………..5
4. Флексагоны. Виды флексагонов……………………………………….…….6
5. Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона…………….…...7
6. Применение флексагонов…………………………………………………..9
7. Литература………………………………………………………………….10
8. Приложение «Модели флексагонов»………………………………………11

Цели исследования:

Изучить информацию о флексагонах,  научиться складывать тригексафлексагоны и гексагексафлексагоны, тетрафлексагоны.

Задачи исследования:

• теоретические: изучить схемы для складывания флексагонов, применение флексагонов в жизни человека;
• практические: создание моделей флексагонов.

Введение

Все мы любим занимательную математику. Занимательная математика пробуждает наблюдательность, умение логически мыслить, веру в свои силы. Элемент игры, который делает занимательную математику занимательной, может иметь форму головоломки, состязания, фокуса, парадокса и т.д.

Не так уж велико различие между восторгом человека, сумевшего найти ключ к сложной головоломке, и радостью математика, преодолевшего еще одно препятствие на пути к решению сложной научной проблемы. И тот и другой заняты поисками истиной красоты – того ясного, четко определенного, загадочного и восхитительного порядка, что лежит в основе всех явлений. Неудивительно поэтому, что чистую математику порой трудно отличить от занимательной.

Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения.

Мы приглашаем вас на короткую экскурсию в загадочный мир флексагонов.

История открытия флексагонов

В конце 1939 года Артур Стоун, 23 летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, чтобы подогнать их под привычный формат. Желая немного развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур оказалась особенной интересной. Перегнув полоску бумаги в трех местах и соединив концы, он получил правильный шестиугольник. Взяв этот шестиугольник за два смежных треугольника, Стоун подогнул противоположный угол вниз так, что его вершина совпала с центром фигуры. При этом Стоун обратил внимание на то, что когда шестиугольник раскрывался словно бутон, видимой становилась совсем другая поверхность. Если бы обе стороны исходного шестиугольника были бы разного цвета, то после перегибания видимая поверхность изменила бы свою окраску. Так был открыт самый первый флексагон с тремя поверхностями. Поразмыслив над ним ночь, Стоун наутро убедился в правильности своих чисто умозрительных заключений: оказалось, можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась Стоуну настолько интересной, что он решил показать её своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У.Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9, 12, 15 и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексатона с 48 поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Вообще один вид флексагона можно складывать по-разному. Так, гексагексафлексагон можно сложить тремя способами, а декагексафлексагон -  82 способами…

Тетрафлексагоны были открыты на несколько столетий раньше гексафлексагонов, однако они гораздо менее изучены. Артур Стоун с друзьями посвятили много времени складыванию этих четырёхсторонних разновидностей флексагонов, но им так и не удалось построить полную теорию, охватывающую все, на первый взгляд ничем не связанные, разновидности этих головоломок. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и в детских игрушках. Также флексагоны натолкнули на идею создания фильма и т.д.

Флексагоны. Виды флексагонов

Флексагоны это многоугольники, сложенные из полос бумаги прямоугольной или же более сложной, изогнутой формы, которые обладают необычным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.

Флексагон (от англ. to flex, что означает, «складываться, гнуться»), т.е. флексагон гнущийся многоугольник. Он обладает удивительной способностью внезапно менять свою форму и цвет.

Флексагоны бывают следующих видов:

• Унагексафлексагон.
• Дуогексафлексагон.
• Тригексафлексагон.
• Тетрагексафлексагон.
• Пентагексафлексагон.
• Гексагексафлексагон.
• Гептагексафлексагон.

Гексафлексагон: "гекса" - из-за их шестиугольной формы (От греческого "гекс", что означает шесть.)

Тригексафлексагон: «три» - число поверхностей, «гекса» - число углов.

Гексагексафлексагон: «гекса» - число поверхностей и углов (шесть поверхностей и шесть углов)

Складывание тригексафлексагона, гексагексафлексагона

1. Складывание тригексафлексагона.

Тригексафлексагон складывают из полоски бумаги, предварительно размеченной на 10 равносторонних треугольников (а). Полоску перегибают по линии ab и переворачивают (б). Перегнув полоску еще раз по линии cd, расположим ее концы так, чтобы предпоследний треугольник оказался наложенным на первый (в). Последний треугольник нужно подогнуть вниз и прикрепить к оборотной стороне первого треугольника (г). Как сгибать трифлексагон, показано на рисунке. Развертку трифлексагона нужно перечертить и вырезать из полоски достаточно плотной бумаги шириной около 3-4 см.

2. Складывание гексагексафлексагона

 Гексагексафлексагоны складывают из полоски бумаги, разделенной на 19 равносторонних треугольников (а). Треугольники на одной стороне полоски обозначены цифрами 1,2,3; треугольники на другой стороне - цифрами 4,5,6. Вместо цифр треугольники можно раскрасить в различные цвета (каждой цифре должен соответствовать только один цвет) или нарисовать на них какую-нибудь геометрическую фигуру. Как складывать полоску, ясно из рисунка. Перегибая гексагексафлексагон, можно увидеть все шесть его разворотов. Проделать все эти операции намного легче, чем описать.

:

Применение флексагонов

Флексагоны не так уж и распространены в современной науке и технике. Но даже такие объекты как флексагоны, причем всех разновидностей нашли свое применение в некоторых художественных областях. Флексагоны выступают в роли игрушек и головоломок. Действительно, бывает иногда занимательно складывать флексагоны, выворачивать их, наблюдать, как они меняют форму и поворачиваются к нам разными комбинациями сторон.

Одна из разновидностей флексагонов, а именно тетрафлексагон, применяется при сборке игрушек.

Флексагоны настолько замечательны, что их можно использовать в качестве открыток на различные темы: на день рождения, пасхальные открытки.

Заключение

В данной работе нами были рассмотрены флексагоны.  Мы смогли создать несколько моделей флексагонов: гексафлексагон, гексагексафлексагон. Рассмотрели возможности применения флексагонов – как игрушка, как открытка и т.д. Большого распространения данные фигуры не имеют, тем не менее широко распространены в определенных научных областях: химия, математика, биология, технике (детали машин).

Литература

1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия. Учебное пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС. 1995г.
2. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1985г.
3. http//www.jorigami.narod.ru›Contents/n_30/03_Flexagons.htm
4. http//www.models-paper.com›index.php…

        Департамент образования города Нижневартовска

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №8»

Школьное научное общество «Импульс»

                                                                                 Городской слет научных обществ

                                                                                                    обучающихся образовательных

                                                                                                   организаций и дополнительного                                

                                                                                          образования  города Нижневартовска.                                            

Секция 5. «Прикладная математика»

Исследовательская работа

Проценты вокруг нас.

Автор: Кристиогло Ксения

учащаяся 6 класса ≪А≫

муниципальное бюджетное

общеобразовательное учреждение

≪Средняя  школа № 8≫

 Руководитель: Кучинская Ольга Витальевна,

учитель математики

муниципальное бюджетное

общеобразовательное учреждение

                                                                                             ≪Средняя школа №8»

Содержание

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................................................3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ……………………………………………………………………..……4

1. как возникли проценты…………………………………………………………….………………………….4

1. социологический опрос……………………………………………………………………..5
2. составление задач на проценты………………………………………………..………………………………..5

2.3. проценты и здоровый образ жизни……………………………………………………………….7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………………………….8

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………………9

ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………………………………………….I                                               

Введение

Актуальность. В школе мы познакомились на уроках математики с процентами. Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Мне стало интересно, когда впервые человечество узнало проценты, как они использовались при решении практических задач. Меня заинтересовал также вопрос, часто ли мы можем встречаться с процентами в быту. Исходя из выше изложенного, я определил для работы следующие цели и задачи.

Проблема исследования состоит в нахождении применения процента в жизни.

Объект исследования: процент как универсальная единица сравнения различных данных.

Предмет исследования - задачи практического содержания.

Цель исследования:

1. Определить процент как единицу сравнения данных с разными параметрами.
2. Выявить сферу практического применения процента в реальной жизни.
   В процессе работы возникла гипотеза:

Если имеются данные с разными параметрами, то их удобнее сравнить с помощью процентов.

Исходя из цели и гипотезы, были поставлены следующие задачи исследования.

Задачи:

1. Изучить историю происхождения процента.
2. Определить практическое применение процента.
3. Рассмотреть задачи практического применения:

1. Задачи, связанные с расчетом успеваемости в школе.
2. Задачи, связанные с расчетом банковскими вкладами.
3. Задачи, связанные с расчетом торговли.
4. Задачи, связанные со здоровым образом жизни по городу Янаул.

4.        Исследовать возможности применения «процента».

Методы исследований:

Сбор, изучение, анализ, обобщение экспериментального и теоретического материала, проведение социального опроса.

Основная часть

2.1. Как возникли проценты

Сотую долю числа называют процентом числа и обозначают знаком %.

Это понятие появилось в математике в связи с развитием торговли, когда за взятые в долг деньги заимодавец получал с должника какую-либо сумму сверх долга. Обычно эта сумма выражалась в сотых долях. Несколько позже у неё появилось название - проценты.

Слово "процент" произошло от двух латинских слов: "про" - "на" и "центум" - "сто", то есть в буквальном переводе на русский язык процент означает "на сто".

Знак % закрепился для обозначения процентов в XVII веке. Вероятно, он произошел от сокращения латинского слова "сеп(ит" в "с/о". При скорописи "с1о" стало выглядеть как "о/о", а затем - "%". Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы I в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процентов.

1%=0,01

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычислили проценты, применяя так называемое тройное правило. Например, при расчете 5% от 830 записывали: 1% составляет 830/100, 5% составляют (830-5)/100= 41,5

Они производили и более сложные вычисления.

В Древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Римский сенат установил максимально доступный процент, взимавшийся с должника.

В Европе в середине века расширилась торговля и, следовательно, особое внимание обращалось на умение вычислять проценты. Тогда приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов (сложные проценты). Часто конторы и предприятия для облегчения расчетов разрабатывали особые таблицы вычисления процентов. Эти таблицы держались в тайне, составляли коммерческий секрет фирмы.

2.2. Социологический опрос

Я решил  провести опрос горожан с целью, знают ли они определение процента. Было опрошено 80 человек, возраст которых от 10 лет и старше.

На вопрос что такое процент? Были получены следующие результаты.

По итогам опроса можно сделать вывод, что горожане знают, что такое процент.

2.3. Задачи на проценты

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я показала это на следующих задачах.

Задачи из школьной жизни:         

Задача 1. За первую четверть аттестовались 344 обучающихся нашей школы. Из них отличники - 28 и ударники - 162. Сколько процентов составляют отличники и ударники от общего числа обучающихся? Ответ округлить до целого числа. Ответ: 8% и 47%.

Задача 2. 60 % класса пошли в кино, а остальные 12 человек – на выставку. Сколько обучающихся в классе? Ответ: 30.

Задача 3. Из 24 обучающихся за контрольную работу 15 из них получили «4» и «5». Какой процент обучающихся получили «4» и «5»? Ответ:62,5%.

Задачи с банковскими вкладами:

Задача 4. Клиент открыл вклад на сумму 10000 рублей под 10% годовых. Сколько рублей оказалось на счете через 3 года, если никаких операций не выполняет? Ответ: 13310.

Задача 5. Подоходный налог установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 10500 рублей. Сколько он получит после указанных вычетов? Ответ: 9043,65 рублей.

Задача 6.  За хранение денег сбербанк начисляет 8% годовых. Вкладчик  положил на счет в банке 5000рублей и решил в течение 5 лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет у него на счету через 5 лет? Ответ: 7346,64 рублей.

Задачи из жизни:

Задача 7. Туристы проехали 80 % намеченного маршрута на поезде и 15 % на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали? Ответ: нет.

Задача 8. Бабушка посадила семена гороха. 270 из них взошли, и это составило 90 % всех посаженных семян. Сколько семян посадила?

Ответ: 300.

Задачи из торговли:     

Задача 9. Торт стоил 200 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10%. Сколько теперь стоит торт? Ответ: 198 рублей.

Задача 10. Определите стоимость товара до уценки, если после снижения цены на 30% он стал стоить 56 р. Ответ: 80 рублей.

Задача 11. В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько кг осталось продать? Ответ: 1750 кг.

Задача 12. Товар стоимостью 15 рублей уценен на 12 рублей. Определите процент уценки. Ответ: 20%.

Задача из аптеки:         

После беседы с сотрудницей аптеки   «Фармленд», мы выяснили, что у них существуют скидки 10 % для пенсионеров. Нам показали товарные чеки на покупки со скидкой и без скидки. На их основе  составил задачу.

Задача 13. Пенсионер покупает набор лекарств от простуды на сумму около 286 рублей со скидкой 10%. Сколько рублей  сэкономила пенсионерка? Ответ: 28,6 рублей

2.3. Проценты и здоровый образ жизни

Большинство ученых стран Запада, исследуя отравляющее действие табачного дыма на организм человека, пришли к выводу, что курение - очень опасный враг для здоровья и жизни человека.

В табачном дыме одной сигареты содержится такие ядовитые вещества никотин - 2%, синильная кислота - 1%, дегтя - 15%, окись углерода - 9%, полоний 6%. Итак всего 33% ядовитых веществ.

В развитых странах  мира,  за последние 30 лет, количество курящих сократилось в 2-3 раза, а в нашей стране, наоборот, количество курящих увеличилось в 3 раза.

А как берегут свое здоровье жители Янаула ?  Занимаются ли спортом?

Я решил опросить жителей нашего города. Для этого приготовил вопросы и провел опрос жителей нашего  микрорайона. Результаты привели в таблице и диаграммах.

1. На вопрос «Вы курите?» 43 человека из 80 опрошенных дали положительный ответ, 37 -отрицательный. В процентном отношении это выглядит так:

«В   каком   возрасте  вы   первый   раз   попробовали   курить?»   отвечающим   были предоставлены варианты ответов

Вывод: Люди все - же предпочитают курить, нежели беречь свое здоровье. А вот пробуют курить больше всего в институте или в школе.

На вопрос «Занимаетесь вы спортом?» получили следующие ответы: из 80 человек положительный ответ дали 36 человек, 44 человека на заданный вопрос ответили отрицательно.

Но учитывая детский и юношеский возраст у меня получились совсем другие цифры, так занимаются спортом 63 человека (78,75%), и не занимаются 17 человек (21,25%).

Вывод: Спортом наши горожане в основном занимаются в детском и юношеском возрасте.

Заключение

В результате проведенной работы.

1. Изучена история происхождения «процента». Я узнал, что есть простые и сложные проценты. Задачи, связанные с банковскими расчетами решаются с помощью сложных процентов. Я хотела бы в будущем разобраться с их решением, так как сегодня мне не хватает знаний.
2. Проведен социологический опрос. В результате которых я выявила одну из сфер применения процентов.
3. Составлен ряд задач из жизни школы, торговли и с банковскими вкладами.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что, понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки. Без процентов нельзя обойтись ни в финансовом анализе, ни в жизни. Чтобы начислить зарплату работнику нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счет в банке - мы интересуемся размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году - мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие процент используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, кредит, налог на прибыль и т.д. Россию захватил «кредитный бум»: в наше время люди все чаще берут кредит на приобретение жилья, автомобиля, потребительские кредиты и кредит на образование.

Литература:

1. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М., Просвещение
2. Л.М. Фридман. Изучаем математику. Кн. Для учащихся 5-6 кл.-М: Просвещение
3. Глейзер Г.И. «История математики в школе»
4. Энциклопедия по математике.

Приложение.

Опрос.

Опрос. «Вы курите?»

Опрос «В   каком   возрасте  вы   первый   раз   попробовали   курить?»  

Опрос  «Занимаетесь вы спортом?»