Программа элективного курса по математике: "Математика вокруг нас".
рабочая программа по алгебре (8, 9 класс)

Структура программы

1        Пояснительная записка.

2        Цели курса.

3        Содержание курса.

4        Тематическое планирование.

5        Требования к умениям и навыкам.

Пояснительная записка.

•         и снительная записка

   Тема «Симметрия вокруг нас» создана как для реализации в классах гуманитарного профиля, так и для учащихся 9 классов, ориентированных на углубленное изучение математики. Для классов гуманитарного профиля, учащиеся которых ориентированны на углубленное изучение истории, литературы, искусства и других областей гуманитарного знания и при этом имеют низкий уровень интереса и мотивации к изучению математики.

   Содержание  имеет определённое отличие от базового курса математики. В базовом курсе представлена лишь математическая составляющая свойств симметрии, а об их общекультурном аспекте упоминается вскользь. Тема «Симметрия вокруг нас» направлена на интеграцию знаний, формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как о науке, возникшей из потребностей человеческой практики.

    Данная тема представляет следующие цели:

• Показать связь между разными областями знаний;
• Расширить кругозор учащихся;
• Стимулировать познавательные интересы.

Основные задачи данного курса:

• Расширить представления учащихся о сферах применения математики;
• Расширить сферу математических знаний (пространственные фигуры, виды симметрии);
• Расширить общекультурный кругозор учащихся посредством знакомства их с образцами произведений искусства;
• Убедить в практической необходимости владения способами выполнения математических действий;
• Помочь осознать степень интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (профессии художника, архитектора, инженера),

Результатами могут быть следующие умения:

1. Использовать математические знания, алгебраический и геометрический материал для описания и решения задач в будущей профессии;
2. Применять приобретённые геометрические представления, алгебраические преобразования для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире;
3. Владея геометрическим языком и изобразительными навыками, понимать и уметь изображать рисунки и схемы;
4. Проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа частных приёмов, экспериментов, выдвигать гипотезы и делать проверки;
5. Уметь соотносить свою точку зрения с мнением авторитетных источников, находить информацию в разнообразных источниках, обобщать и систематизировать её;
6. Уметь ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи.

Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, беседа, практическая работа, семинар. 

СОДЕРЖАНИЕ .

Тема 1. Симметрия 3 часа)

Занятие 1. Симметрия (ПОНЯТИЕ). Виды симметрии: осевая, центральная, поворот, параллельный перенос, зеркальная симметрия. Композиция симметрий.

Занятие 2. Симметрия фигур. Распределение по классам.

Занятие 3. Практическая работа

Тема 2. Симметрия в природе.(2часа)

Занятие 4. Симметрия в природе. Симметрия в мире растений, насекомых, рыб, птиц, животных. Симметрия в неживой природе. Асимметрия.

Занятие 5. Семинар. Прослушивание рефератов.

Тема 3 Симметрия в физике.(2часа).

Занятие 7. Симметрия в физике. Симметрия законов природы.

Проверка рефератов, творческих заданий.

Занятие 1 Семинар. Прослушивание рефератов

Тема 4. Симметрия в искусстве ( 4часов)

Занятие 8.  Симметрия в архитектуре, живописи, литературе, музыке.

Занятие 9. Проверка рефератов, творческих заданий.

Занятие 10. Симметрия в предметах прикладного искусства. Орнамент. Бордюры. Розетки. Герих.

Занятие 11. Практическая работа

Тема 5. Симметрия в алгебре. (2 часа)

Занятие 12.. Симметрические многочлены от двух переменных. Симметрические системы уравнений. Симметрия в графиках функций.

Занятие 13. Практическая работа

                   Темы докладов и сообщений.

1. Симметрия правильных многогранников.
2. Порядок в мире атомов.
3. Загадка бензольного кольца.
4. Полиморфизм.
5. Винты в природе.
6. Молекула ДНК.
7. Законы сохранения энергии и импульса в задачах с биллиардными шарами.
8. Симметрия и законы сохранения.
9. Мир элементарных частиц.
10. Филлотаксис.(листорасположение)
11. Симметрия в архитектуре и строительстве.
12. Симметрия бордюров.
13. Симметрия в химии.
14. Поворотная система розеток.
15. Решётки и зоны Бриллюэна.
16. Симметрия и асимметрия в искусстве.
17. Паркеты из правильных многоугольников.
18. Художественные особенности национальных орнаментов.
19. Художественное своеобразие среднеазиатского архитектурного орнамента.
20. Орнаментальное и геометрическое искусство М.Эшера.(голландский художник)

Разработка  темы «Проценты» обусловлена непродолжительным изучением темы на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получит полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы, и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты  вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Тема «Процентные расчеты на каждый день» демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социально-экономическому профилю. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Данная тема предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. Логический анализ содержания темы «Проценты» позволил выделить группы задач, которые и составили основу изучаемого курса. Каждой группе задач предшествует небольшая историческая и теоретическая справка. Кроме того, рассматриваются задачи с практическим содержанием, а именно такие задачи, которые связаны с применением процентных вычислений в повседневной жизни. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых на применение изученных формул до достаточно трудных примеров расчета процентов. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: рассказ, беседа, семинар. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Содержание материала курса показывает связь математики с другими областями знаний, иллюстрирует применение математики в повседневной жизни, знакомит учащихся с некоторыми историческими сведениями по данной теме. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представление об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Цели :

• Сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни;
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи :

• Сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;
• Решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;
• Привить учащимся основы экономической грамотности;
• Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения  образовательной перспективы.

Требования к умениям и навыкам

В результате изучения темы учащиеся должны:

• Понимать содержательный смысл термина «процент» как специального способа выражения доли величины;
• Уметь соотносить процент с соответствующей дробью (особенно в некоторых специальных случаях: 50% - ½; 20% - 1/5; 25% - ¼; и т.д.);
• Знать широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;
• Производить прикидку и оценку результатов вычислений;
• При вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления.

В силу большой практической значимости данная тема вызывает интерес, является средством обучения и средством развития интеллектуальных качеств личности учащихся. Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Содержание .

Тема 1. Проценты в торговле (3 часа).

Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов, пеня и др. Сообщается история появления процентов, устраняются пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: а) нахождение процента от числа (величины); б) нахождение числа по его проценту; в) нахождение процента одного числа от другого. Актуализируются знания об арифметических и алгебраических приемах решения задач на проценты в области торговли.

Метод обучения: лекция, практикум по решению задач.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Процентные расчеты в жизненных ситуациях. (3 часа).

Показ широты применения в жизни процентных расчетов. Тема знакомит с математикой как с общекультурной ценностью, выработка понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира и самого себя. Выполнение тренировочных упражнений.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 3. Задачи на смеси, концентрацию. (2 час).

Усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.

Тема 4:Решение задач из области статистики (3часа)

Тема способствует осознанию учащимися необходимости знания различных статистических данных: роста или падения цен, производства, численности населения страны, города или какого-нибудь населенного пункта, социальный статус населения.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.

Тема 5:Решение задач из области спорта (1час)

Тема способствует расширению жизненного кругозора учащихся в области спорта. Ведущий подход, используемый при разработке темы, можно выразить в таком лозунге – «С математикой – к ученику посредством раскрытия её с неожиданной стороны».

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.

Тема 6: Банковские операции (3часа)

Показ широты применения в жизни процентных расчетов. Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок процентов в банках; процентный прирост; определение начальных вкладов.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач

Обобщающий урок: решение задач по всему разделу курса

Заключительное занятие. (1 час).

Итоговая проверочная работа. (1 час).

Тема  «Методы решения задач на преобразование выражений» является курсом по выбору для учащихся 9 класса. Курс рассчитан на 12 часов, которые проводятся по одному часу в неделю. В этом курсе будут рассмотрены основные методы решения задач на преобразование выражений. При изложении методов решения задач объединены в один вид такие задачи, которые в школе изучаются в разных классах.

Цели :

• Выявление интересов ребенка;
• Развитие творческого потенциала учащихся;
• Развитие кругозора школьников.

Содержание.

1. Виды выражений и сущность их преобразований

     Под выражением понимается запись, составленная из чисел и переменных (букв), соединенных знаками действий или функций и скобками.

     В зависимости от того, входят или не входят в выражения буквенные переменные, выражения делятся на числовые и на выражения с переменными (буквенные выражения).

    Примеры      числовых      выражений:       2,4—(5,6+ 3,78): 4,2;  ; sin36° + cos 18°  и т. д. Всякое числовое выражение есть число, поэтому его преобразование состоит в записи этого числа другим способом, в другой форме, т. е. в нахождении числа, равного данному, но записанного иначе. Например, выражение 23 + 45 можно преобразовать в выражение 227, или 28. Таким образом, всякое число можно рассматривать как числовое выражение.

Преобразование некоторых числовых выражений сводится к выполнению тех действий, знаками которых соединены числа, входящие в выражение. Например, если в выражении 282 — (72:4 + 60:5)7 произвести в определенном порядке все указанные действия, то найдем, что оно равно выражению (числу) 72.

    В других случаях для преобразования числовых выражений приходится использовать довольно сложные приемы.         |

    Всякое выражение с переменными можно рассматривать как функцию этих переменных, принимающую разные числовые значения при разных значениях этих переменных. Так, например, выражение есть функция от трех переменных а, в и с. Если этим переменным дать какие-то числовые значения из области их изменения, то и само выражение примет соответствующее значение. Если, например, а=1, в=2, с=-1, то это выражение равно 7, если а=2, в=- 1, с = 3, то выражение равно —22 и т. д.

    Выражения с переменными делятся на виды в зависимости от того, какими действиями или функциями связаны эти переменные. Различают следующие виды выражений с переменными:

1. Одночлены — переменные связаны действиями умноже-
   ния и возведение в натуральную степень.
2. Многочлены — сумма одночленов.
3. Целые   рациональные   выражения — переменные
   связаны действиями сложения, вычитания, умножения  и возведение
   в натуральную степень.

4.Дробные выражения — частное  двух целых  рациональных выражений.

5.Рациональные выражения — переменные   связаны
действиями сложения, вычитания, умножения, деления и возведение  в любую целую степень.

6. Иррациональные выражения — переменные, кроме   указанных  выше действий, связаны еще действиями извлечения корня или возведение в дробную степень.

7. Показательные   выражения — переменные    находятся в показателе степени.

8. Тригонометрические   выражения — переменные
   находятся под знаком тригонометрических функций.

Областью определения выражения с переменными называется множество систем значений этих переменных, при которых это выражение имеет смысл, т. е. может быть вычислено.

Заметим, что эта область зависит от множества чисел, в котором это выражение рассматривается.

Например, область определения выражения , рассматриваемого на множестве натуральных чисел, такая: у—любое натуральное число (число 0 не рассматривается при этом как натуральное), a x=ky, где k—произвольное натуральное число; область определения того же выражения, рассматриваемого на множестве рациональных или действительных чисел, уже другая:  х—любое число, а .

Если выражение  рассматривать на множестве натуральных (или рациональных) чисел, то область его определения такова: , где k—произвольное натуральное (рациональное) число; если же это выражение рассматривать на множестве действительных чисел, то область его определения есть множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству  .

Когда говорят о преобразованиях выражений, то имеют в виду замену данного выражения каким-либо другим на основе определенных правил. В школе рассматриваются главным образом тождественные преобразования выражений с переменными, когда данное выражение заменяется тождественно равным ему выражением, но обладающим каким-либо определенным свойством (оно, например, является выражением стандартного вида или представляет собой произведение многочленов и т. п.).

Два выражения называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны. При этом соответственными значениями двух выражений с общими переменными называются значения этих выражений, получаемые при одних и тех же значениях этих переменных, взятых из общей области определения этих переменных.

Наряду с такой трактовкой тождественных преобразований выражений с переменными, принятой в школьных учебниках математики, можно дать и другую трактовку этих преобразований.

Вы знаете, что действия над числами обладают особыми свойствами, называемыми законами действий. К ним относятся переместительный и сочетательный законы сложения, такие же законы умножения, распределительный закон и др.

Для других действий имеются другие законы, например (а")т = апп. Кроме того, сами определения этих действий (вычитания, деления, возведение в степень) можно рассматривать как своеобразные законы.

На основе этих законов в школьном курсе математики доказаны многие тождества, такие, например:

     Все эти определения, законы действий, тождества и свойства
функций можно рассматривать как общие правила тождественных преобразований выражений с переменными. Любое из них
представляет собой тождественное равенство. При этом во всех
этих правилах буквы обозначают не только какие-то переменные, но и целые выражения. Поэтому любое такое правило
применимо к соответствующим выражениям и в результате его
применения мы всегда получаем тождественно равное выражение
(конечно, в общей области определений исходного и преобразованного выражений). Например, если мы имеем выражение
, то, применяя к нему распределительный закон, получим:

        (2а2 + в3) • Зс2 = (2а2) (Зс2) + (в3) (Зс2).

К полученному выражению можно применить переместительный и сочетательный законы умножения:

Итак, мы видим, что тождественные преобразования выражений с переменными можно понимать как последовательное применение к данному выражению общих правил таких преобразований. Тогда под тождественно равными выражениями будем понимать такие выражения, которые получаются одно из другого в результате последовательного применения общих правил тождественных преобразований.

      Например, если к выражению последовательно применять указанные ниже справа в скобках общие правила тождественных преобразований, то будем получать выражения, тождественно равные данному выражению (конечно, лишь при условии .                                                                                                

устраняются пробелы в (тождество: разность кубов двух выражений)

(правило сложения дробей)

(тождество: квадрат двучлена и определение умножения единицы)

(правило приведения подобных членов)

(распределительный закон)

(тождество: квадрат двучлена)

Теперь вам должно быть ясно, что, для того

чтобы произвести какое-либо тождественное

 преобразование заданного выражения,

нужно умело

выбрать ннеобходимую последовательность общих правил этих преобразований и

применить их одно за ддругим к данному выражению, пока не получим требуемую форму

выражения. Поэтому понятно, чдля чето нужно хорошо знать все эти общие правила

преобразований.

    Приведем перечень основных общих правил тождественных преобразований. Для облегчения запоминания разобьем их на группы.

I группа. Законы сложения и умножения

1.   a+b=b+a (переместительный закон сложения).
2.  (a+b)+c=a+(b+c) (сочетательный закон сложения).
3.  ab=ba        (переместительный закон умножения).
4.  (ab)c = a(bc)  (сочетательный закон умножения).
5.  (a+b)c = ac+bc (распределительный закон).
6.  Если а=Ь и с—любое число, то a+c=b+c.
7.  Если а = Ь и с0, то ас=Ьс.

II  группа.   Определения    и   свойства    вычитания  и деления.

1. Если a-Ь=с, то a=b+c (определение разности).
2.  a – b= a+(-b) (замена вычитания сложением).
3.  a + (b – c) = a + b – c (правило раскрытия скобок)
4.  a – (b – c )= a  –  b + c   (правило раскрытия скобок)

5.    (определение модуля числа).
6. Если а:Ь=с, то а=Ьс (определение частного).

III  группа. Особые случаи  действий

111.I.        a+0=0+a=a        (прибавление нуля).

2.          (умножение на единицу).
3.    (умножение на нуль)
   Ш.4. 0:а = 0 (а  0) (деление нуля).

Обращаем еще раз ваше внимание на то, что во всех этих формулах буквы обозначают не только отдельные переменные, но и любые выражения с переменными.

     Также важно заметить, что любую из этих формул преобразований можно рассматривать (читать) как слева направо, так и справа налево. Например, если правило 1.5 читать слева направо, то оно выражает распределительный закон, позволяющий раскрывать скобки в произведении; если же это правило читать права налево, то оно выражает правило вынесения общего множителя за скобки.

Формула VI.4 слева направо выражает правило разложения суммы кубов на множители; читая же ее справа налево, она выражает правило умножения суммы двух выражений на неполный квадрат разности этих выражений и т. д.

Особо следует сказать о формулах, выражающих свойства тригонометрических функций (X — XIX). В этих формулах не указывали области, в которых они справедливы. Но следует иметь в виду известные ограничения на области определения тригонометрических функций.    

Заметьте также, что приведенные формулы не независимы друг от друга. Некоторые из них являются следствиями других. Например, формулы понижения степени тригонометрических функций (XV группа) являются следствиями формул половинного аргумента и т. д. Но для удобства пользования этими правилами и  формулами привели их все.

УЧЕБНО  - ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.

Тема: «Проценты»

Задачи по теме «Проценты в быту»

1. Как изменятся расходы на оплату электроэнергии, если: а) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного 1 КВт/ч увеличится на 20%; б) потребление снизится на 15 %, а стоимость 1 кВт/ч увеличится на 20%; в) потребление возрастет на 15%, а стоимость 1 кВт/ ч уменьшится на 20%; г) потребление снизится на15%, а стоимость 1 кВт/ уменьшится на 20%?
2. 3 человека в течение дня пользовались мобильной связью и звонили по одному и тому же номеру. Первый звонил вечером, второй – днем по увеличенному на 50% тарифу и третий – в ночное время со скидкой в 75%. Все они говорили по 5 минут. Телефонная станция прислала общий счет на 66 рублей. Сколько должен заплатить каждый?
3. Объездная дорога в 2,5 раза длиннее прямой. Расход бензина на одну поездку по объездной дороге увеличивается на 150%. Сравнить расход бензина в расчете на 1 км на прямой и объездной дорогах.
4. Один ученик сказал: «Одна третья всех учащихся школы – это 30 % всех учащихся школы». Каково ваше мнение?
5. Биржевые цены на дизельное топливо увеличились на 50%. Во сколько раз увеличились цены?
6. Три человека организовали собственное предприятие и договорились, что один из них будет получать третью часть прибыли, двое других по 20% , а остальные деньги они будут вкладывать в развитие  своего предприятия. Сколько процентов от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия?
7. В автобусном парке 50% составляют городские автобусы, 75% остальных – автобусы междугородного класса. Каких автобусов больше городских или междугородного класса?

На обобщающий урок

8. В результате опроса оказалось, что 35%  горожан города N  слушают радио постоянно, 25% время от времени, а остальные никогда не слушают радио. Кого больше – тех, кто хотя бы иногда слушает радио или тех, кто не слушает его никогда?

Задачи по теме: «Статистика и проценты»

9.Согласно статистике в городе N не более 75% выпускников пединститута собираются работать по специальности. Остальные собираются уехать за границу или уйти в бизнес. Журналист в своей статье написал об этом так: «Как минимум каждый четвертый выпускник будет потерян для нашего образования». Прав ли он?10. Согласно статистике в городе N пенсионеры составляют 20% всех жителей. Можно ли сказать, что на каждых четырех работающих в городе N приходится один пенсионер?

11. В микрорайоне 876 совершеннолетних жителей. Из них 75% имеют по одному автомобилю. Из остальных 25% половина не имеют автомобилей, а другая половина имеет по два автомобиля. Сколько всего автомобилей находится в личной собственности совершеннолетних жителей?

12. В двух городах с одинаковым количеством жителей на нужды образования выделен одинаковый процент бюджетных средств. Можно ли на основании этих данных утверждать, что и приток денежных средств в образование будет примерно равный?

13. В референдуме приняли участие 60% всех жителей города N, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе около 150000 жителей, а право голоса имеют 83%?

14. Подоходный налог установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% от заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 5000 рублей. Сколько он получит после указанных вычетов?

НА ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК

15. В городе N ежегодный налог за участок под индивидуальными гаражами в пределах нормы (0,0015 га) установлен в размере 3% от ставки земельного налога. Налог на часть площади сверх нормы, но не более двойной нормы устанавливается в размере 15% от ставки земельного налога, а налог на часть площади свыше двойной нормы - по полной ставке земельного налога. Зная, что в городе N ставка ежегодного земельного налога составляет 328 рублей за 1 га, вычислите величину ежегодного налога за изображенные на рисунке участки  земли под индивидуальными гаражами.

Задачи по теме: « Растворы»

16. Сколько сахара потребуется  для получения: а) 500г 10% сиропа; б) 200г 70% сиропа; 150 г 5% сиропа; г) 75 г 30% сиропа?

17. 12% раствор соли наполовину разбавили водой. Какова концентрация полученного раствора?

18. К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

19. Верно ли, что для приготовления 150 г 12% раствора потребуется больше соли, чем для приготовления 120 г 15% раствора?

20. Сколько соли требуется для приготовления 25 кг 20% раствора?

21. На сколько надо выпарить солевой раствор, чтобы концентрация соли увеличилась вдвое?

22. К 25 г 50% раствора соли долили 75г воды. Определить концентрацию полученного раствора.

23. Сколько граммов соли надо добавить к 200 г 10% раствора соли, чтобы получить 20% раствор?

На обобщающий урок

24. Сколько граммов спирта нужно долить к 500 г 16% спиртового раствора йода, чтобы получить 10% раствор?

Задачи по теме « Проценты в спорте»

25. Все 16 тыс. жителей на острове положительно относятся к спорту. 75% из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20% являются заядлыми болельщиками, но только 10% этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, при том заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований?

26. В первый день после болезни спортсмен смог выполнить 30% своей обычной нормы тренировок. Когда он сможет вернуться к полноценным нагрузкам, если врачи не рекомендовали ему за один день увеличивать нагрузки более чем на 3% от его обычной нормы?

27. В первый день велогонки участники преодолели 40% маршрута гонки, во второй – 35% , а в третий – 20% от оставшейся части. Какую часть маршрута прошли за 3 дня?

Задачи по теме « Проценты в торговле»

28. Фирма покупает товар оптом по цене 23 р. за 1 кг и продает его в розницу с надбавкой в 25%. Какова розничная цена товара?

29. В первом квартале цены выросли на 5%, во втором – на 10%, в третьем – на 15%, в четвертом – на 20%. На сколько процентов выросли цены за год?

30. Соедините стрелками утверждения, означающие одно и то же:

31. Какой будет заработная плата после повышения ее на 60% , если до повышения она составили а) 5000 рублей; б)5500 рублей;

в)4300 рублей.

32. В магазине идет распродажа товаров со скидкой  15%. Заполните таблицу

33. В магазине А цены сначала были повышены на 10%, а потом снижены на 15%. В магазине В цены сначала были снижены на 15%, а потом повышены на 10%. Сравните цены в этих магазинах после указанных изменений, если до этого они были одинаковыми?

На обобщающий урок

34. В первом квартале доля реализации непродовольственных товаров в общем товарообороте магазина увеличилась с 25% до 30%, а во втором с 30% до 35%. В каком квартале увеличение было более значительно?

Задачи по теме: «Банковские сперации»

а) простой процентный рост

35. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8% от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 тыс. р. Какая сумма будет на его счёте:

а) через 5 лет; б) через 10 лет?

36.На первый счет положены 100тыс.р. под 30% годовых, а на второй 300 тыс.р. под 10% годовых. На каком из счетов через 50 лет сумма будет больше?

37. При какой процентной ставке вклад на сумму 500р. Возрастёт за 6 месяцев до 650р.?

38. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 тыс.р.?

39. Начальная  сумма составляет 100 тыс.р. Ежемесячно она увеличивается на 25%. Через сколько месяцев эта сумма возрастёт до:

а)250 тыс.р.;

б)500тыс.р.;

в)1млн.р.;

г) 2млн.р.?

40. Какую сумму надо положить в банк, начисляющий из расчета 6% в месяц, чтобы скорость роста этого вклада была такой же, что и у вклада в 5тыс.р. с начислением 3% в месяц?

На обобщающий урок

41. Под какие проценты надо положить 30 000рублей, чтобы приращения вклада за месяц хватало на оплату квартиры, если сумма квартплаты составляет 800р. В месяц, а квартиросъёмщик имеет льготы и платит за квартиру на 20% меньше?

б) сложный процентный рост

42. Какая сумма будет на счете вкладчика через 5 лет, если:

а) банк начисляет 12% годовых и внесенная сумма равна 2000р.;

б) банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 5000р.?

43. Банк начисляет 20% годовых и внесенная сумма равна 5000р. Какая сумма будет на счете клиента банка через 5 лет?

44. За переадресацию вклада банком установлены комиссионные в размере 0,2% от суммы вклада ( но не менее 10р.). Вклад на сумму 100 000 р. Был переадресован 12 раз. На сколько уменьшился вклад?

45. На сколько процентов увеличится сумма, вложенная на 5 лет в банк, начисляющий 30% годовых?

46. Каким должен быть начальный вклад, чтобы через 2 года вклад в банке, начисляющем 30% годовых, возрос до 8,45 тыс.р.?

На обобщающий урок

47. Процентная ставка целевого детского вклада сроком на 10 лет была изменена с 16% до 12% годовых.  На сколько меньше окажется в этом случае сумма (первоначальная сумма вместе с процентами), которую мы можем получить через 10 лет, по сравнению с той суммой, которую мы бы могли получить, если бы процентная ставка не менялась по вкладу:

а) 10 000р.;                б) 11 000р.?

48. Коммерческий банк выплачивает доход вкладчику, исходя из следующих годовых процентных ставок: 3мес. – 15%; 6 мес. -18%; 9 мес. – 22%; 12 мес.-29%. (По условию договора при неполном сроке хранения банк не учитывает сложных процентов и, например, при сроке 3 месяца выплачивает 15/4=3,75%.)

Какую сумму (чистый доход вкладчика) выплатит банк за хранение 20 000р. По договору, заключенному:

а) на 3 месяца; б) на 6 месяцев; в) на 9 месяцев; г) на 12 месяцев?

Сколько процентов годового дохода можно получить, если в течении года оформлять договор на 3 месяца и по окончании его действия каждый раз все полученные деньги вкладывать опять же на 3 месяца?

Проверочная самостоятельная работа

1. В течение января цена на яблоки выросла на 36%, а в течении февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за два месяца?
2. В одном сообщении говорится, что примерно половина жителей  города хотя бы один раз в месяц посещает театр, в другом, что ежемесячно 40% жителей смотрят оперу или балет, а 20% - драматические постановки. Противоречат ли эти сообщения друг другу?
3. Верно, ли что, что:

а) 345 человек составляют меньше  1% от десяти тысяч человек;

б) 345 составляют больше 1% от 20 000р.;

в)3г. составляют 1% от 250г.;

г) 150км. составляют менее 1% от 20 000км;

д) 330р. отличаются от 300р. менее, чем на 1%;

е) масса 990г. отличается от1кг. не боле, чем на 1%?

4. какое количество 10% раствора может получиться из 25г. соли?

Тема:  «Методы решения задач на преобразование выражений»

Перейдем теперь к рассмотрению методов использования приведенных правил для решения некоторых видов задач на тождественные преобразования выражений.

2. Задачи на приведение выражений

                             к стандартному виду.        

Для некоторых выражений с переменными в математике вводится понятие о стандартном виде этих выражений. Это такая форма записи выражений, которая принимается за нормальную (стандартную), и любое выражение данного типа с помощью тождественных преобразований обычно приводится к этому стандартному виду.

Стандартный вид установлен не для всех типов выражений. Так, для иррациональных, логарифмических и тригонометрических выражений какого-то определенного стандартного вида не установлено. Укажем те типы выражений, для которых установлен определенный стандартный вид.

1. Одночлены. Стандартным одночленом называется такой  одночлен,   в  котором  имеется  лишь один числовой множитель,  стоящий на первом слева месте (числовой коэффициент), и каждое
произведение одинаковых  переменных в нем представлено степенью.

Например, одночлен 1,2а2в(—5ав4)(—aв2) после приведения к стандартному виду будет иметь такой вид: 6а4в7.

2. Многочлены.  Многочлен считается приведенным к стандартному  виду, если он представляет собой сумму стандартноговида одночленов.  Иногда  еще требуется расположение этих одночленов по убывающим степеням одной из переменных. Последнеетребование, не являясь обязательным, имеет особый смысл в случае, когда многочлен есть выражение с одной переменной.
3. Целые  рациональные  выражения.  Любое целое
   рациональное выражение можно преобразовать в тождественный
   ему многочлен стандартного вида.
4. Дроби  (дробные   выражения). За стандартный вид дробного выражения   принимается несократимая дробь, числитель изнаменатель которой  представляют собой многочлены стандартного вида.
5. Рациональные выражения.   Любое   рациональное
   выражение,  в  котором  переменные связаны действием деления,
   всегда  можно  преобразовать  в тождественно равную ему дробь
   стандартного вида.

Рассмотрим несколько задач на приведение выражений к стандартному виду.

Задача   1.  Представить выражение

в виде многочлена стандартного вида.

Решение. Заданное выражение есть целое рациональное выражение. Для того чтобы представить его в виде многочлена стандартного вида, нужно: 1) раскрыть все скобки; 2) все одночлены   привести   к   стандартному   виду;   3)   привести  подобные одночлены; 4) если нужно, расположить все одночлены в каком-то порядке (например, по убывающим степеням одной из переменных).

Проделаем все  эти  преобразования  в заданном  выражении.

Для раскрытия скобок используется распределительный закон 1.5 и правила раскрытия скобок П.З и II.4. Однако в данном случае сразу применить правило 1.5 нельзя, ибо это правило позволяет преобразовывать выражения вида (а+в)с, а в данной задаче мы имеем выражения вида с (а + в). Поэтому предварительно нужно воспользоваться переместительным законом умножения 1.3 и в каждом из трех слагаемых мысленно переставить сомножители (т.е. 5aв(aв—в2) представить как (aв—в2)5ав, 7а2(а2—в2) представить в виде (а2—в2)7а2 и 5в2(а2—aв) — в виде (а2—ав)5в2, а уже затем применить распределительный закон 1.5).

Теперь о расстановке знаков при раскрытии скобок. Можно поступать двояким образом. Можно рассматривать знак перед одночленом, как знак, относящийся к его коэффициенту, и тогда всюду будем иметь сумму одночленов. В данном выражении это означает представление его в таком виде:

5ав (aв + (— в2)) + (—7а2) (а2 + (— в2)) + 5в2 (а2 + (— aв)).

Тогда при раскрытии скобок знаки коэффициентов произведений определяются по известным правилам умножения положительных и отрицательных чисел.

Но можно делать иначе. А именно рассматривать имеющиеся знаки перед одночленами как знаки действий, а сами коэффициенты одночленов считать положительными. Тогда при раскрытии скобок следует использовать распределительный закон относительно вычитания (в приведенном списке правил он не указан): (а—в)с = ас—вс. И кроме того, использовать правила раскрытия скобок П.З и II.4. Тогда последовательное преобразование заданного выражения будет таким (справа в скобках указаны используемые при каждом шаге-преобразовании правила тождественных преобразований):

5ав (ав—в2)—7а2 (а2—в2) + 5в2 (a2—ab) =                                      (1.3)

= (ав —в2)(5ав) — (а2—в2) (7а2) + (а2 —ав)(5в2)=                   (1.5)

= (ab 5ав—в2 5ав) — (а2  7а2—в2  7 а2) + (а2 5в2—ав 5в2) =

(1.3; 1.4; V.6)

= (5а2 в2—5ав3)—(7а4—7а2в2) + (5а2в2—5ав3)=                   (П.З; II.4) = 5а2в2—5ав3—7а4 + 7агв2 + 5а2в2—5ав3.

Теперь в полученном выражении нужно привести подобные члены. Это производится на основе того же распределительного закона, но читать его надо справа налево. Получим:

5а2в2—5ав3—7а4 + 7а2в2 + 5а2в2—5ав3 =  (5 + 7 + 5) a2в2 + (—5—5) aв3—7а4 = 17a2в2 — 10ab3—7а4.

В полученном многочлене можно расположить члены по убывающим степеням переменной, например а, тогда окончательно получим:

—7а4+17а2в2— 10ав3.

Это и будет стандартный вид заданного выражения.

3 а д а ч а 2.  Преобразовать выражение

          в дробь.

Решение. Требование этой задачи надо понимать так, что заданное рациональное выражение нужно преобразовать в стандартный вид дроби. Так как заданное выражение представляет собой произведение двух рациональных выражений, то каждое из них надо предварительно представить в виде стандартной дроби, а затем полученные дроби перемножить и, если можно, результат представить в стандартной форме дроби.

Проделаем все это, записывая справа в скобках используемые правила тождественных преобразований

Конечно, при решении подобных задач нет надобности все время делать ссылки на те правила тождественных преобразований, которые используются в решении. Это обычно не требуется. Но если вы хотите сознательно овладеть такими преобразованиями с полным пониманием сущности каждого шага, то нужно хотя бы несколько задач решить так, как было проделано выше, т. е. с указанием всех используемых на каждом шаге правил тождественных преобразований.

Задание 1

Решите задачи, указывая, как это было сделано выше, все правила тождественных преобразований, которые вы использовали в решении.

1. Преобразовать выражение (2x — 5y)3-—x(6x--5y)z к стандартному виду.

     1.2. Представить в стандартной форме дроби выражение

.

1.3. На основе каких правил тождественных преобразований произведен переход от дроби           к дроби        в   решении   задачи   2?  

               3. Задачи на упрощение выражений

Задачи на упрощение выражений с переменными встречаются очень часто, при этом в отличие от задач на приведение выражений к стандартному виду упрощать приходится любые выражения, а не только рациональные. Но в то же время эти задачи менее определенные, ибо не всегда ясно, упрощено ли уже выражение и нельзя ли его еще упростить.

Характерный пример:                     Упростить выражение .

При решении этой задачи одни учащиеся получили ответ:

  4 cos2x cos х, а другие: 2 (cosx+cos3x). Оба эти ответа верны, но какой из них лучше, вряд ли можно сказать.

Однако в большинстве случаев упрощение выражений является достаточно определенным преобразованием. Смысл его состоит в том, чтобы, пользуясь приведенными выше правилами и формулами тождественных преобразований, представить заданное выражение в более простой, компактной форме.

Из-за некоторой неопределенности понятия „простая форма" нет возможности указать какое-либо общее правило для решения задач этого типа, но для отдельных видов выражений можно достаточно определенно это сделать. Мы укажем эти правила на примерах упрощения разных выражений.

Задача 3.  Упростить выражение  (2-в)(1+2в)+(1+в)(в2+3в)

Решение. Заданное выражение есть целое рациональное выражение. Для его упрощения следует: 1) раскрыть скобки (т. е. выполнить все указанные действия) и 2) привести подобные члены. Иными словами, надо данное выражение привести к стандартному виду многочлена.

В данном случае получим:

       (2-в)(1+2в)+(1+в)(в2+3в)=2+4в-в-2в2+в2-3в+в3-3в2=в3-4в2+2.

Задача 4. Упростить выражение    (2р-3)(4р2+6р+9)+(р+3)(р2-3р+9).

Решение. Так как заданное выражение есть целое рациональное, то можно поступить так же, как в предыдущей задаче. Но если внимательно рассмотреть условие, то замечаем, что к каждому из слагаемых применимы тождества VI.5 и VI.4, читая их справа налево, получим:

(2р-3)(4р2+6р+9)+(р+3)(р2-3р+9)=((2р)3-33)+(р3+33)=8р3-27+р3+27=9р3.

Задача 5. Упростить выражение    .

Решение. Данное выражение является рациональным, поэтому его упрощение сводится обычно к приведению к стандартному виду. Сначала нужно сложить все входящие в это выражение дроби. Следовательно, нужно найти общий знаменатель этих дробей, а для этого знаменатели надо разложить на множители. Замечаем, что к знаменателю первой дроби применимо правило разложения разности квадратов, а к знаменателям второй и третьей дробей — правило вынесения общего множителя за скобки. Обозначив для простоты заданное выражение буквой М (так мы будем делать и в последующем), получим:

                      М=.

Обнаруживается, что вторую дробь можно сократить на у. Кроме того, замечаем, что в знаменателе первой дроби имеется множитель х—5у, а знаменатель второй дроби (после сокращения) равен 5у—х, т.е. отличается лишь знаком. Поэтому члены второй дроби умножим на —1, получим:

Чтобы проверить, нельзя ли сократить (и следовательно, упростить) эту дробь, нужно разложить на множители числитель. В данном случае это легко сделать, сгруппировав первое и четвертое слагаемое и второе и третье. Получим:

Видим, что дробь действительно можно сократить, после чего

получаем ответ      М        =

Задача 6. Упростить выражение   .

Решение. Заданное выражение есть одночленный корень. Его упрощение обычно сводится к следующим операциям:

1. произвести все  указанные в  выражении действия   (возведение в степень, извлечение корня из корня и др.);
2. освободиться от дроби под знаком корня;
3. вынести за знак корня все рациональные множители;
4. сократить показатель корня с показателями подкоренного
   выражения.

Однако предварительно нужно установить условия, при которых данное выражение имеет смысл, т. е. найти область его определения. Так как имеем арифметический корень, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а поэтому а7, а следовательно, и а0(1); в2, стоящее в знаменателе, должно быть отлично от нуля, значит, в0(2).

Преобразование корня в данном случае удобнее начать со второй операции, а именно освободиться от дроби под знаком корня. Для этого умножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на такой множитель, чтобы в знаменателе получить произведение, из которого  целиком извлекается корень. Очевидно, что нужно умножить на 3в2, получим М=.

Извлекая корень 4-й степени из знаменателя, мы получим 3, ибо согласно условию (2) знак в неизвестен, а в таком случае по определению арифметического корня . Получим:

Теперь можно вывести рациональный множитель за знак корня на основе правила VII.6. Для этого смотрим, показатель какой переменной под корнем не меньше показателя корня. Видим, что показатель а равен 7 > 4. Значит, можно вынести за знак корня а. Учитывая условие (1), получим:

Для того чтобы выполнить извлечение корня из корня, можно поступить двояко. Можно сначала множитель, стоящий перед внутренним корнем, подвести под знак этого корня, а затем уже извлечь корень из корня:

Можно сделать иначе, а именно сначала извлечь внешний корень из произведения, а затем полученные результаты перемножить, приведя их предварительно к общему показателю:

Задача 7, Упростить выражение .

Решение. Сначала находим область определения заданного выражения. Очевидно, она определяется так, чтобы знаменатель имеющейся дроби не был  равен  нулю. Это будет при условии: ав.

Теперь выполним указанные действия, т. е.  приведем выражение к виду дроби: М = .

Дальнейшее упрощение этого выражения может заключаться в избавлении от корней в знаменателе (как говорят: избавиться от иррациональности в знаменателе дроби). Так как в знаменателе кубические корни, то, чтобы получить рациональное выражение, надо каждый из этих корней возвести в куб, т. е. надо получить разность кубов этих корней. Для этого воспользуемся тождеством VI.5 и умножим числитель и знаменатель полученной дроби на

.

Задание 2.

         4. Разложение на множители.

     С необходимостью разложения   выражений на множители  вы  уже встречались при приведении дробей к общему знаменателю, при  сокращении дробей. Это же преобразование широко используется при решении уравнений и неравенств. Поэтому научиться раскладывать некоторые  простейшие выражения  на  множители крайне важно.

    В общем виде задача разложения на множители многочленов, уже не говоря о более сложных выражениях, средствами школьной математики  неразрешима.  Но в  тех простейших  случаях, которые встречаются в школьной и  экзаменационной практике, достаточно тех методов, которые  изучаются в VII классе (вынесение общего множителя за скобки, применение тождеств сокращенного умножения, метод группировки).

       Покажем, как следует использовать эти методы для решения ;адач разложения на множители различных выражений.

Задача 9. Разложить на множители многочлен  6х3у+3х2у2-3ху3.

Решение. Разложение на множители многочленов производится с помощью следующих операций в таком порядке:

1. Вынесение общего множителя за скобки.' Проверяем,   неимеют ли все одночлены, входящие в многочлен, общего множителя. Если да, то выносим его за скобки, если нет, то переходим
   к следующей операции.
2. Применение тождеств сокращенного умножения. Проверяем
   не представляет ли заданный многочлен такое выражение, к которому непосредственно применимо одно из тождеств сокращенного умножения (разность квадратов, квадрат или куб двучлена,разность или сумма кубов). Если да, то применяем это тождество,
   если нет, то переходим к следующей операции.
3. Группировка членов.   Разбиваем многочлен  на   несколько
   (два или более групп) и к каждой  из них пытаемся применить
   первые две операции.

Применим эту последовательность операций к заданному многочлену.

Все члены многочлена М имеют общий множитель Зху. Выносим его за скобки. Получим: М = 3ху (2х2+ху—у2).

Теперь попытаемся  разложить  на  множители многочлен К, стоящий в скобках. Очевидно,  что к нему первые две операции (вынесение общего множителя за скобки и применение тождеств сокращенного умножения) неприменимы. Попытаемся тогда произвести группировку членов. Так как многочлен можно разбить минимум на два  многочлена и в каждом из  них должно быть не менее двух членов, то, для того чтобы можно было произвести группировку, в данном многочлене должно быть не менее четырех членов. А в многочлене К имеется всего три члена. В таком случае  разобьем один из членов на два.  Удобнее это сделать   с первым членом. Тогда многочлен К принимает такой вид:

                                       К=х2+х2+ху-у2

Группировка его членов возможна таким образом:

                                    К= (х2-у2)+(х2+ху).

         Видим, что первая группа  членов  представляет собой разность квадратов и, следовательно, к ней применимо соответствующее тождество, а ко второй группе применима операция вынесения общего множителя х за скобки. Получим:        К= (х-у)(х+у)+х(х+у).

Рассматривая теперь полученные два  произведения,   видим,   что  они  содержат  общий  множитель  (х+у).   Выносим его за скобки:  

К=(х+у) (х—у+х) = (х+у) (2х—у).

Тогда окончательно получим:           M = 3xy(x-\-y)(2x-y).

Задача 11, Разложить на множители выражение

                        (y-z)3+(z-x)3+(x-y)3.

     Решение. При решении этой задачи можно поступить двояким  образом:

1. Можно сначала заданное выражение преобразовать в многочлен стандартного вида, а уже  затем попытаться разложить его на множители.

      Применяя тождество VI.3 (куб двучлена) и приведение подобных членов, получим:

М=y3—3y2z + Зуz2—z3+z3—3z2x+3zx2—x3 + х3—Зх2у+Зху2—у3=3(-y2z+yz2-z2x+x2z-x2y+xy2)

Сгруппируем члены многочлена, стоящего в скобках, как noказано, и применим к этим группам операции вынесения общего множителя за скобки и тождество разность квадратов:

Теперь имеется  возможность вынести за  скобки общий множитель  (z-y):

        М= 3(z-y)(yz-x(z+y)+x2)=3(z-y)(yz-xz-xy+x2)/

    В многочлене, стоящем во вторых скобках, произведем группировку членов, а затем операцию вынесения общего множителя скобки:

М = 3 (z—у) ((yz—xz)—(ху-х2)) =

= 3 (z—у) (z({у—х)—х(у—х)) = 3(z—у) (у-х) (z-x).

2. Можно же не преобразовывать заданное выражение к виду многочлена, а применить сразу операции по разложению на множители. В данном случае первые два слагаемых можно рассматривать как сумму кубов выражений (у—z) и (z—х), а поэтому  к ним применить соответствующее тождество. Получим:

         Видим, что в первом слагаемом имеется множитель (у—х), а во втором (х—у). Тогда, изменив знак второго слагаемого, получим возможность вынести за общие скобки (у—х):

                   М = (у—х) ((y—z)2—(y—z) (z—х) + (z—х)2—(у—х)2).    (1)

В выражении К, стоящем во вторых скобках, произведем группировку членов по два по порядку и в первой группе вынесем за  скобки (y—z),   ко второй   группе  применим  тождеств разность квадратов:

Изменим знак первого слагаемого, для того чтобы получит общий множитель (г—у), который вынесем за общие скобки:

K = (z—y)(—y + 2z—x + z—2x + y)=.(z—y)(3z — 3x) = = 3(z-y)(z-x).

Подставляя К в равенство (1), получим окончательно;

M = 3(y—x)(z—y)(z—x).

Задача 12. Разложить на множители

4 (sin4 х + cos4 x) — 4 (sin6 x + cos6 x) —sin2 4x.

Решение. Разложение тригонометрических выражений на множители производится с помощью тех же операций, что и разложение рациональных выражений. Но естественно, что при этом используются формулы преобразований тригонометрических выражений.

В заданном выражении общих множителей нет, а вот тождество сокращенного умножения можно применить к сумме sin6 x + cos6x,   рассматривая  ее   как   сумму   кубов  sin2 х   и  cos2х.

Получим: М=4 (sin4 х+cos4 x) — 4 (sin2 x + cos2 x)

 (sin4 x — sin2 x cos2 х + cos4 х)—sin2 4х.        \

На основе формулы Х.1 заменяем sin2х+cos2х единицей.
Раскрыв затем скобки и сделав приведение подобных членов
получим:   М = 4 sin2 x cos2 х—sin2 4х.

4sin2xcos2x напоминает формулу синуса двойного угла. Используя ее, получим: M = sin22х:—sin24x.

Дальше можно действовать по-разному. Можно применить тождество разность квадратов, а затем формулы суммы и разности синусов. А можно сначала применить формулы понижения степени, а уже затем формулу разности косинусов. Получим:

Задание 3.

Разложите на множители приведенные ниже выражения, указывая каждый раз, какие операции и формулы вы использовали в решении.

ЛИТЕРАТУРА

Литература для учителя.

1. Никольский, С. Н., Потапов, М. К., Решетников, Н. Н. Алгебра в 7 классе: методические материалы. — М.: Просвещение, 2002.
2. Барабанов, О. О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления // Математика в школе. - 2003. - № 5. - С. 50-59.
3. Башарин, Г. П. Начала финансовой математики. - М., 1997.
4. Башарин, Г. П. Элементы финансовой математики. - М.: Математика (приложение к газете «Первое сентября»). - № 27. - 1995.
5. Вигдорчик, Е., Нежданова, Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. - М., 1997.
6. Водинчар, М. И., Лайкова, Г. А., Рябова, Ю. К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений // Математика в школе. -2001.-№4.
7. Глейзер, Г. И. История математики в школе (4-6 кл.): пособие для учителей.-М,.: Просвещение, 1981.

8.        Дорофеев, Г. В., Седова, Е. А. Процентные вычисления. 10-11 классы: учеб.-метод, пособие. - М.: Дрофа, 2003. - 144 с.

      9.Канашева, Н. А. О решении задач на проценты // Математика в школе. -№ 5. -1995. - С. 24.

10. Левитас, Г. Г. Об изучении процентов в 5 классе // Математика в школе. -№4. - 1991.-С. 39.
11. Липсиц, И. В. Экономика без тайн. -М.: Вита-Пресс, 1994.
12. Лурье, М. В., Александров, Б. И. Задачи на составление уравнений. - М.: Наука, 1990.
13. Макконелл, К. Р., Брюс, С. Л. Экономика. - Т.1, 2. - М.:
    Республика, 1993.
14. Рязановский, А. Р. Задачи на части и проценты // Математика в школе. -№ 1.-1992.-С. 18.
15. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике. (Библиотека учителя математики). - М.: Просвещение, 1995. - 240 с.
16. Симонов, А. С. Проценты и банковские расчеты // Математика в школе. - 1998. -№4.
17. Симонов, А. С. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей // Математика в школе. - 1998. -№ 6.

                            Литература для учащихся.

1. Виленкин, Н. Л. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.-С. 73.
2. Виленкин, Н. Л., Жохов, В. П., Чесноков, А. С, Шварцбурд, С. И. Математика 6. - М.: Дрофа, 2000.
3. Денищева, Л. О., Бойченко, Е. М., Глазков, Ю. А. и др. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. - М.: Дрофа, 2003.-120 с.
4. Егерев, В. К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. - М.: Высшая школа, 1988.

5.        Литцман, Е. Великаны и карлики в мире чисел. - М., 1959.Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: учеб. для общеобраз. учеб. заведений / под ред. Г. В. Дорофеева. - 2-е изд., стереотипное. - М: Дрофа, 2000. - 304 с.

6. Математика: Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл: учебник для общеобраз. учеб. заведений / под ред. Г. В. Дорофеева. - М: Дрофа, 2000. - Глава IV.
7. Перельман, Я. И. Занимательная алгебра. - М., 1967.
8. Потапов, М. К., Олехник, С. Н., Нестеренко, Ю. В. Конкурсные задачи по математике: справочное пособие. - М.: Наука, 1992.-480 с.

10.  Решение задач и выполнение заданий с комментариями, ответами для подготовки к единому государственному экзамену: в 2 ч. - Ч. II / сост. В. Н. Студенецкая, 3. С. Гребнева - Волгоград: Учитель, 2003. - 104 с.
11.  Свечников, А. А. Путешествие в историю математики, или
    Как люди учились считать: книга для тех, кто учит и учится. - М.:
    Педагогика-Пресс, 1995. - 168 с.
12.  Соболь, Б. В., Виноградова, И. Ю., Рашидова, Е. В. Пособие
    для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. - 3-е изд.- Ростов-на-Дону: Феникс, 2003. - 352 с..
13.  Шевкин, А. В. Текстовые задачи. - М.: Просвещение, 1997.
14. Фридман Л.М. и др. Как научиться решать задачи: Беседы о решении математических задач. – М., Просвещение 1979.
15. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики. – Львов, журнал «Квантор» 1991.
16. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. – М. Просвещение, 1990.
17. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры. – М.: Просвещение, 1990.
18. Симонов А.Я. и др. Система тренировочных задач  и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991.