Метод интервалов для решения уравнений и неравенств с несколькими модулями
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

МАОУ БСОШ №7

Тема урока:

«Метод интервалов для решения уравнений и неравенств с несколькими  модулями»

г. Владикавказ

2021 г.

Определение модуля. Решение по определению.

      По определению, модуль, или абсолютная величина, неотрицательного числа a совпадает с самим числом, а модуль отрицательного числа равен противоположному числу, то есть – a:    

Модуль числа всегда неотрицателен. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить уравнение |–x| = –3.

Здесь разбор случаев устраивать не нужно, потому что абсолютная величина числа всегда неотрицательна, и значит, данное уравнение не имеет решений.

Запишем решение этих простейших уравнений в общем виде:

Пример 2. Решить уравнение |x| = 2 – x.

Решение. При x >0 имеем уравнение x = 2 – x, т.е. x = 1. Поскольку 1 > 0, x = 1 – корень исходного уравнения. Во втором случае (x < 0) получаем уравнение –x = 2 – x, не имеющее корней.

Ответ: x = 1.

Пример 3. Решить уравнение 3|x – 3| + x = –1.

Решение. Здесь разбиение на случаи определяется знаком выражения x – 3. При x – 3 ³ 0 имеем 3x – 9 + x = –1 Û x = 2. Но 2 – 3 < 0, т.е. значение x = 2 исходному уравнению не удовлетворяет. Второй случай: при x < 0 имеем уравнение –3x + 9 + x = –1 Û  x = 5, заметим что  5 – 3 > 0.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 4. Решить уравнение |x – 1| = 1 – x.

 Решение. Поскольку 1 – x = – (x – 1), непосредственно из определения модуля следует, что уравнению удовлетворяют те и только те x, для которых x – 1 >0. Это уравнение свелось к неравенству, и ответом является целый промежуток (луч).

Ответ: x > 1.

 Решение уравнений с модулем с помощью систем.

          Разобранные ранее примеры позволяют сформулировать правила освобождения от знака модуля в уравнениях. Для уравнений вида |f(x)| = g(x) таких правил два:

       1-е правило:  |f(x)| = g(x)   Û  (1)
       2-е правило:    |f(x)| = g(x)  Û  (2)

          Поясним используемые здесь обозначения. Фигурные скобки обозначают системы, а квадратные – совокупности.

         Решения  системы  уравнений – это значения переменной, одновременно удовлетворяющие всем уравнениям системы.

         Решениями совокупности уравнений являются все значения переменной, каждое из которых есть корень хотя бы одного из уравнений совокупности.

         Два уравнения равносильны, если любое решение каждого из них является и решением другого, иначе говоря, если множества их решений совпадают.

         Если уравнение содержит несколько модулей, то от них можно избавляться по очереди, пользуясь приведенными правилами. Но обычно есть более короткие пути. Мы познакомимся с ними позже, а сейчас рассмотрим решение самого простого из таких уравнений:                                            

|f(x)| = |g(x)| Û

Эта равносильность следует из того очевидного факта, что если равны модули двух чисел, то сами числа либо равны, либо противоположны.

Пример 1. Решить уравнение |x2 – 7x + 11| = x + 1.
Решение. Избавимся от модуля двумя описанными выше способами:

1 способ:                            2 способ:

Как видим, в обоих случаях приходится решать те же самые два квадратных уравнения , но в первом случае их сопровождают квадратные неравенства , а во втором – линейное. Поэтому второй способ для данного уравнения проще. Решая квадратные уравнения, находим корни первого , оба корня удовлетворяют неравенству . Дискриминант второго уравнения отрицателен, следовательно, уравнение корней не имеет.

Ответ: .
Пример 2. Решить уравнение |x2 – x – 6| = |2x2 + x – 1|.

Решение. Мы уже знаем, что рассматривать (целых 4) варианта распределения знаков выражений под модулями здесь не нужно: это уравнение равносильно совокупности двух квадратных уравнений без каких-либо дополнительных неравенств: Которая равносильна:   Первое уравнение совокупности решений не имеет (его дискриминант отрицателен), второе уравнение имеет два корня .

Ответ: .

Задачи с несколькими модулями. Методы решения.

Последовательное раскрытие модулей.

Есть два основных подхода к решению уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей. Можно назвать их "последовательным" и "параллельным". Сейчас познакомимся с первым из них.

          Его идея в том, что сначала один из модулей изолируется в одной части уравнения (или неравенства) и раскрывается одним из описанных ранее методов. Затем то же самое повторяется с каждым из получившихся в результате уравнений с модулями и так продолжается, пока мы не избавимся ото всех модулей.

Пример1.  Решить уравнение:  +

Решение. Уединим второй модуль и раскроем его, пользуясь первым способом, то есть просто определением абсолютной величины:

К полученным двум уравнениям применяем второй способ освобождения от модуля:

 Наконец, решаем получившиеся четыре линейных уравнения и отбираем те их корни, которые удовлетворяют соответствующим неравенствам. В результате остаются лишь два значения: x = –1 и .

Ответ: -1; .

Параллельное раскрытие модулей.

         Можно снять сразу все модули в уравнении или неравенстве и выписать все возможные сочетания знаков подмодульных выражений. Если в уравнении n модулей, то вариантов будет 2n, ибо каждое из n выражений, находящихся под модулем, при снятии модуля может получить один из двух знаков – плюс или минус. В принципе, нам надо решить все 2n уравнений (или неравенств), освобожденных от модулей. Но их решения будут и решениями исходной задачи, только если они лежат в областях, где соответствующее уравнение (неравенство) совпадает с исходным. Эти области определяются знаками выражений под модулями. Следующее неравенство мы уже решали, так что вы можете сравнить разные подходы к решению.

Пример 2.+ 
Решение. 

 Рассмотрим 4 возможных набора знаков выражений под модулями.

   Лишь первый и третий из этих корней удовлетворяют соответствующим неравенствам, а значит, и исходному уравнению.

Ответ: -1; .

Аналогично можно решать любые задачи с несколькими модулями. Но, как всякий универсальный метод, этот способ решения далеко не всегда оптимален. Ниже мы увидим, как его можно усовершенствовать.

 Метод интервалов в задачах с модулями

Присмотревшись внимательнее к условиям, задающим разные варианты распределения знаков подмодульных выражений в предыдущем решении, мы увидим, что одно их них, 1 – 3x < 0 и 3 + x < 0, никогда не выполняется: эта система неравенств не имеет решений. И соответствующее ему уравнение (–(1 – 3x) – 4(3 + x) = 12) решать не нужно было, потому что оно не может возникнуть. Такая ситуация типична; здесь мы еще легко отделались.

         Представьте, что мы решаем уравнение, в которое входят три модуля от линейных выражений; например,  |x – a| + |x – b| + |x – c| = m.

          Первый модуль равен x – a при x ³ a и a – x при x < a. Второй равен x – b или b – x при x > b и x < b соответственно. Аналогично раскрывается и третий модуль. Нарисуем эти области и возьмем их пересечения.

Они образуют четыре промежутка. На каждом из них каждое из выражений под модулями сохраняет знак, следовательно, и уравнение в целом после раскрытия модулей имеет на каждом промежутке один и тот же вид. Итак, из 8 теоретически возможных вариантов раскрытия модулей нам оказалось достаточно только 4!

         Так же можно решать любую задачу с несколькими модулями. Именно, числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства всех выражений, стоящих под модулями, а затем на каждом из них решается то уравнение или неравенство, в которое превращается данная задача на этом промежутке. В частности, если все выражения под модулями рациональны , то достаточно отметить на оси их корни, а также точки, где они не определены, то есть корни их знаменателей. Отмеченные точки и задают искомые промежутки знакопостоянства. Точно так же мы действуем при решении рациональных неравенств методом интервалов. И описанный нами метод решения задач с модулями имеет то же название.

Пример 1. Решите уравнение  .

Решение. Найдем нули функции , откуда . Решаем задачу на каждом интервале:    

1) ;

2) ;

3) .

Итак, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: .

Пример 2. Решите уравнение .

Решение. Найдем нули функции . Решаем задачу на каждом интервале:

1)  (решений нет);

2) ;

3) .

Ответ: .

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины обращаются в ноль при  . Соответственно нам нужно рассмотреть три случая:

1) ;

2) - корень  уравнения;

3)  - корень данного уравнения.

Ответ: .

Решения уравнений с несколькими модулями, используя метод интервалов.

Пример 1.                    

Решите уравнение:

|х+2| = |х-1|+х-3

Решение:

                                                                                         Х+2

                            - 2                                            1                     Х                  Х-1

1.  Если х<-2, то

-(х+2) = -(х-1) + х-3

-х-2=-х+1+х-3                                  

 х=2 – не удовлетворяет

условию х<-2

решений нет 

2.  Если -2≤х<1, то                                                                                                                      

 х+2 = -(х-1)+х-3

 х+2=-х+1+х-3

 х=-4 – не

 удовлетворяет

 условию -2<х<1,решений нет.

3.  Если х≥1, то

 х+2=х-1+х-3

 х=6

Ответ: х=6

Пример 2.

Решите уравнение: 

Решение:

1)      Находим нули подмодульных выражений

Нули подмодульных выражений разбивают числовую ось на несколько интервалов. Расставляем знаки подмодульных выражений на этих интервалах.

На каждом интервале раскрываем модули и решаем полученное уравнение. После нахождения корня проверяем, чтобы он принадлежал интервалу, на котором мы в данный момент работаем.

1.       :                                

 – подходит.

2.       :

 – не подходит.

3.        :

 – подходит.

4.       :

 – не подходит.                      Ответ:

Решения неравенств с несколькими модулями, используя метод интервалов.

Пример 1.

Решите неравенство:

|х-1| + |х-3| > 4

Решение:

           _                                +                                        +                              Х-1

          _                                    _                                    +               Х              Х-3

1. Если х<1, то

    -(х-1) - (х-3) > 4

    -х+1 –х+3 > 4                              

    -2х>0

     х<0

2. Если 1≤х<3, то

х-1– (х-3) > 4

х-1-х+3>4

2>4 – не верно

решений нет

3. Если х≥3, то

х-1+х-3>4

2х>8

х>4

Ответ:         хЄ (-∞;0) U (4;+∞)        

Пример  2.

Решим неравенство

Решение. Точки  и  (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При  выполняется , и неравенство имеет вид , то есть . В этом случае ответ .

2) При  выполняется , неравенство имеет вид , то есть . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве , получаем ответ во втором случае .

3) При  выполняется , неравенство преобразуется к , и решение в этом случае . Общее решение неравенства --- объединение трех полученных ответов.

Ответ. .

Таким образом, для решения уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей, удобно использовать метод интервалов. Для этого надо найти нули вех подмодульных функций, обозначить их на ОДЗ уравнения и неравенств.