Использование метода мажоранта при решении уравнений

Учитель математики

МБОУ «Куйбышевская СОШ»

Рубцовского района Алтайского края

Астахова В.Г.

При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции. Задания подобного типа встречаются среди экзаменационных. В учебнике «Алгебра и начала анализа» А.Г.Мордковича есть несколько подобных заданий, но четкого определения и метода решения данных уравнений нет.

В разных источниках данный метод называется по-разному. Некоторые математики называют этот метод  по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max», задачи «встреча на краю». А.Г.Мордкович в учебнике «Алгебра и начала анализа» предлагает рассматривать данный метод как «довольно красивую разновидность функционально-графического метода». Но в большинстве источников он называется «метод мажорант» Это очень красивый метод, и ему непременно надо научиться всем. Метод, который имеет место быть в ЕГЭ.

История слова «мажорант».  В большой советской энциклопедии читаем «Мажоранта и миноранта (франц. majorante и minorante, от majorer — объявлять большим и minorer — объявлять меньшим) (матем.), две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).

Метод мажорант - нестандартный метод решения уравнения и неравенств. Заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М. Число М называется мажорантой.

Мы знаем много мажорант для известных функций:

Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x),  где f(x) и g(x) функции совершенно разного вида.

Определение.

Мажорантой (от magiorante – главенствующий)  данной функции f на множестве р называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех хр, либо f(х) ≥ М для всех хр.

Пусть

1. f(x) = g(x)
2. f(x) ≤ М  и g(x) ≥ М
3. f(x)=M  и   g( (x)=M

Как найти М?

Что нужно знать и уметь, чтобы применить данный метод?

Рассмотрим уравнения.

1. 2.

2,

Значит,

Из первого уравнения получаем, что х=0, но sin 01.

Ответ: Ø.

2. 3=lg(10-х2)

f(х)= 3, g(x)= lg(10-х2)

Т.к. то3.

10- х2 10, функция y=lgt – возрастающая, значит, lg(10-х2) lg10; lg(10-х2) 1, т.е. g(x) 1.

Исходное уравнение равносильно системе

0 – корень уравнения.

Ответ: 0.

3. 25х2-20х+6=(-cos)(+cos)

25х2-20х+6=2-cos2

25х2-20х+4=-cos2

(5x-2)2=-cos2

(5x-2)20,  0 cos21, значит, -1-cos20, т.е. М=0.

Решая, первое уравнение, имеем, что х=0,4. Подставляя во второе уравнение, получаем верное равенство.

Ответ. 0,4.

Решение. ОДЗ: 2≤x≤4.

Рассмотрим правую часть уравнения.

Введем функцию y = x2 – 6x + 11.

Графиком функции является парабола с вершиной A(3;2).

Наименьшее значение функции y(3) = 2, т. е.

y = x2 – 6x + 11≥2.

Рассмотрим левую часть уравнения. Введем функцию

С помощью производной нетрудно найти максимум функции, которая дифференцируема на (2; 4);

 g(3) = 2. Имеем

В результате

Составим систему уравнений, исходя из указанных выше условий:

Решив первое уравнение системы, имеем x = 3. Подставляя это значение во второе уравнение, убеждаемся, что x = 3 – решение системы.

Ответ: x = 3.

Как мы видите, уравнения решаются довольно несложно, главное в подобных задачах - увидеть наличие мажоранты.

Признаки присутствия мажоранты в задаче

1. Смешанное уравнение (или неравенство), т.е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов.
2. Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты.

Для нахождения мажоранты необходимы:

1. Здравый смысл и нестандартный взгляд на вещи;
2. Знание свойств функций;
3. Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики;
4. Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;
5. При применении данного метода используется определение ограниченных функций.

Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

6. Знать некоторые нестандартные неравенства.
        

Опорные неравенства.

1. а) при равенство при

б) при равенство достигается при

2. при равенство достигается при

3.

Мажоранту можно найти, используя графики функций.

Найдем, при каком значении x минимум функции y1 совпадает с максимумом функции y2.

Ответ: 0.

Для того чтобы найти мажоранту нужно выполнить одно или несколько действий:

      а) найти  D(f) функции;

        б) найти  E(f) функции;

        в) исследовать функцию на экстремум;

        г) если функция определена на отрезке, найти наибольшее и наименьшее значения;

        д) применить известные опорные неравенства.