Конспект урока "Иррациональные уравнения и неравенства"
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе

«Иррациональные уравнения и неравенства»

Цели урока:

     - обучающие: закрепить основные способы решения иррациональных уравнений; рассмотреть некоторые приемы решения уравнений нестандартными способами; рассмотреть алгоритм решения иррациональных неравенств путем равносильного перехода к системе неравенств;

    - развивающие: развивать у учащихся умения анализировать задачу перед выбором способа ее решения; развивать навыки исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; учить логически мыслить при переходе от частного к общему;

     - воспитывающие: воспитывать у учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.

Ход урока:

1. Организационный момент (сообщить учащимся тему урока, поставить

                                                          перед ними задачи урока)

           Сегодня мы с вами продолжим совершенствовать навыки решения

     иррациональных уравнений различными способами, а также попытаемся

     найти способ решения иррациональных неравенств.

2. Активизация знаний учащихся.

1. Какие уравнения называются иррациональными? ( Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.)
2. О чем приходится задумывать и помнить при решении иррационального уравнения? ( Надо помнить об области допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ )

Задание 1. Для следующих уравнений назовите ОДЗ.

    Задание 2. В следующих случаях восстановите запись:

3. Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа    

                                                         решения простейших иррациональных уравнений.)

4. Назовите эти способы. ( - замена уравнения уравнением-следствием путем

                                                          возведения обеих частей уравнения в квадрат с

                                                          обязательной последующей проверкой корней

                                                          уравнения-следствия в исходном уравнении;

                                                       - замена иррационального уравнения равносильной

                                                          смешанной системой)

 Применение этих стандартных методов решения должно быть доведено у вас до автоматизма, с минимальными затратами времени. И вам предлагается потренироваться в решении небольшой тестовой работы, задания которой составлены в соответствии с ЕГЭ.

3. Тестовая работа по подготовке к ЕГЭ.

                                     1 вариант

1. Решите уравнение  4 + х =   и укажите верное утверждение о его корнях:

1. корень только один, и он положительный;
2. корней два, ионии разных знаков;
3. корень только один, и он отрицателен;
4. корней два, и они положительны.

1. Найдите сумму корней уравнения х + 1 = :

          1) – 1;         2)  1;       3)  4;       4)   5.

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

         1)  [3;5];       2) (1;3);           3) [0;2];         4) (-2;0).

3. Сколько корней имеет уравнение :

        1) четыре;   2) два;   3) один;   4) ни одного.

                                      2 вариант

1.  Решите уравнение  1 - х =   и укажите верное утверждение о его корнях:

5. корень только один, и он отрицательный;
6. корень только один, и он положительный;
7. корней два, и они разных знаков;
8. корней два, и они положительны.

2. Найдите сумму корней уравнения :

          1) – 1;         2)  5;       3)  9;       4)  - 5.

3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

         1)  [-12;0];       2) [2;4];           3) [4;5);         4) [5;+∞).

3. Сколько корней имеет уравнение :

        1) ни одного;   2) один;   3) два;   4) четыре.

Для тех, кто решил тест очень быстро, можно предложить на отдельном листе решить следующие уравнения:

                 ;              

4. Взаимопроверка тестовой работы.

       ( учащиеся передают бланк ответов соседу, а затем проходит взаимопроверка по предложенному учителем образцу ответов по 1 и 2 вариантам; затем подводятся итоги такой проверки, учащиеся выставляют на бланке свою оценку, учитель собирает их)

5.      Отметим, что при решении иррациональных уравнений необходимо придерживаться правила: не бросайся решать уравнение сразу, проанализируй его вид, используй ОДЗ, найди самый рациональный прием его решения или докажи, что решений нет.

Задание 3. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений:

6. Решение уравнений нестандартными приемами.

     Давайте рассмотрим несколько уравнений и найдем наиболее рациональный способ его решения.

Для решения указанных уравнений можно применять введение новой переменной (Ур.1), причем обратить внимание учащихся на наиболее рациональную замену; введение новых переменных и переход к системе двух неиррациональных уравнений (Ур.2); использование монотонности функций или метод оценки левой и правой частей уравнения (Ур.3).

7. При решении большинства уравнений множество их корней как

правило конечно, в неравенствах же чаще всего бесконечно много решений. Решая иррациональные неравенства возведением обеих его частей в какую-либо степень, проверка всех найденных решений подстановкой в исходное неравенство невозможна, нам придется все время заботиться о том, чтобы выполняемые нами переходы были равносильными. Для этого давайте вспомним свойства простейших неравенств, а именно, при каких условиях возведение в квадрат обеих частей верного неравенства является равносильным преобразованием.

 Это возможно только в том случае, если обе части неравенства

 положительны, т.е. если 0 < а < в, то а2 < в2 , или если  а > в > 0, то а2 > в2 .

Рассмотрим простейшие иррациональные неравенства:

( при разборе решений данных неравенств нужно воспользоваться рассмотренным выше свойством числовых неравенств и областью допустимых значений переменной в неравенстве)

8. Групповая работа.

     Учащимся предлагаются обсудить решения двух неравенств, у которых правая часть зависит от переменной. Используя все выше, сказанное найти не просто решения неравенства, но и попытаться сформулировать условия, которым подчиняются все решения, т.е. найти равносильные переходы.

Задание 4. Решите неравенство:

9. Обсуждение решений неравенств у доски.
10. Обобщение полученных результатов для неравенств общего вида.

Неравенство первого вида:

                                                                                            ( 1 )

Аналогично, можно записать равносильный переход для неравенство с нестрогим знаком:

                                                                                           ( 1а )

Неравенство второго вида:

        ( 2 )

Аналогично, для неравенства нестрогого:

        ( 2а )

11. Для закрепления указанного метода решения иррациональных неравенств можно выполнить следующее задание.

Задание 5. Решите неравенство:

12. Подведение итогов.

      Рассмотренные нами методы и приемы решения иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных задач. На последующих уроках мы продолжим поиски более рациональных способов решения систем уравнений, вспомним, что для решения неравенств применяется метод интервалов; попробуем применить его для иррациональных неравенств.

13. Домашнее задание:

4. Решите уравнение:

5. Решите неравенство: