Уравнение с двумя неизвестными
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (8, 9 класс)

                                          Уравнение с двумя неизвестными

Уравнение с двумя неизвестными может:

а) иметь одно решение. Например, уравнение x2 + 5 y 2 = 0 имеет единственное решение

(0; 0);

б) иметь несколько решений. Например, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 имеет 4 решения:

(5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);

в) не иметь решений. Например, уравнение x2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений;

г) иметь бесконечно много решений. Например, x + y = 3. Решениями этого уравнения будут являться числа, сумма которых равна 3. Множество решений данного уравнения можно записать в виде (k; 3 – k), где k – любое действительное число.

  Основными методами решения уравнений с двумя переменными являются методы, основанные на разложении выражений на множители, выделение полного квадрата, использование свойств  квадратного уравнения, ограниченности выражений, оценочные методы. Уравнение, как правило, преобразовывают к виду, из которого можно получить систему для нахождения неизвестных.

Пример 1.Решить уравнение: 9 x2 + 4 x2 + 13 = 12(x + y).

Решение.

Группируем:

(9 x2 – 12x + 4) + (4 x2 – 12y + 9) = 0. Теперь каждую скобку можно свернуть по формуле квадрата разности. Получим: (3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, только если 3x – 2 = 0 и 2y – 3 = 0.

а значит, x = 2/3 и y = 3/2.

Ответ: (2/3; 3/2).

Пример 2. Решить уравнение: (x2 + 2x + 2)( x2 – 4y + 6) = 2.

Решение.

   В каждой скобке выделим полный квадрат:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Оценим Уравнения с двумя переменными значение выражений, стоящих в скобках. (x + 1) 2 + 1 ≥ 1 и (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тогда левая часть уравнения всегда не меньше 2. Равенство возможно, если:

(x + 1) 2 + 1 = 1 и (y – 2) 2 + 2 = 2,

 а значит x = -1, y = 2.

Ответ: (-1; 2).

Пример 3. Решить уравнение: (x2 – 4|x| + 5)( x2 + 6y + 12) = 3.

Решение.

Выделим полные квадраты в каждой скобке:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Левая часть уравнения всегда больше или равна 3. Равенство возможно при условии |x| – 2 = 0 и y + 3 = 0. Таким образом, x = ± 2, y = -3.

Ответ: (2; -3) и (-2; -3).

Пример 4. Для каждой пары целых отрицательных чисел (x; y), удовлетворяющих уравнению

x2– 2xy + 2 x2 + 4y = 33, вычислить сумму (x + y). В ответе указать наименьшую из сумм.

Решение.

Выделим полные квадраты:

(x2 – 2xy + x2) + (x2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Так как x и y – целые числа, то их квадраты также целые числа. Сумму квадратов двух целых чисел, равную 37, получим, если складываем 1 + 36. Следовательно:

(x – y)2 = 36 и (y + 2)2 = 1Уравнения с двумя переменными

или

(x – y) 2 = 1 и (y + 2) 2 = 36.

Решая эти системы и учитывая, что x и y – отрицательные, находим решения: (-7; -1),       (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Ответ: -17.

Пример 5. Решить уравнение  ln (x – y) = 0 .

Решение.

В соответствии с определением логарифма из формулы  получаем

нелинейные уравнения с двумя неизвестными примеры решения задач

 Следовательно, решением уравнения  является бесконечное множество пар чисел вида

(1 + y ; y) ,

где   y   – любое число.

Ответ: (1 + y ; y) ,где   y   – любое число

             2. Системы не линейных уравнений однородные уравнения второй степени примеры решения задач

 Пример 6. Решить систему уравнений:

 Решение. Решим однородное уравнение

3x2 + 2xy – y2 = 0

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы  получаем уравнение

4y2 = 16

корнями которого служат числа   y1 = 2 ,   y2 = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,  

  (2 ; – 2) .

 В случае, когда

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

3.   Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y по формулам: 

  Для того, чтобы переписать систему через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .  

 Решим линейную систему, исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой  следующие преобразования:

первое уравнение системы оставим без изменений;

из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим  второе  уравнение системы на полученную разность. В результате система  преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

Воспользовавшись формулами  и , перепишем исходную систему в виде

  У системы первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы: 

Решая уравнение

2v2 + 3v – 14 = 0 ,

 Следовательно, решениями системы являются две пары чисел

 Значит   ,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u2 = 5,   v2 = 2  

x = 13,   y = – 3 .

  Ответ:   (13 ; – 3)

4. Примеры решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Пример 8. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

Матричный вид записи: Ax=b, где

Для решения системы, запишем расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -2/3,-1/2 соответственно: 

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a2 2. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 9/8: 

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует): 

Из вышеизложенной таблицы можно записать: 

Подставив верхние выражения в нижние, получим решение. 

Ответ:  ,,.

   5.  Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера

Пример 9.Решите систему.

 Решение.

На основании теоремы Крамера

………….

,

где 

определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными

 Определение.  Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.