Презентации к урокам алгебры в 7 классе по теме "Системы линейных уравнений с двумя неизвестными".
презентация к уроку по алгебре (7 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Урок 1 Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений Цели : ввести понятие линейного уравнения с двумя неизвестными, системы линейных уравнений с двумя неизвестными; способствовать усвоению определения решения системы уравнений с двумя неизвестными.

Слайд 3

Уравнение и его свойства Определение Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных ax=b Линейное уравнение с одной переменной Л ин ейное уравнение с двумя переменными ax+by =c а x + b y = c , где а, b, c – заданные числа. Коэффициенты Свободный член

Слайд 4

Из истории уравнений Уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами , имеет бесчисленное множество реше - ний и является неопределенным. Решением таких уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы. В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений. Диофант из Александрии ( 3 век )

Слайд 5

Свойства уравнений если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному 12х – 5у = 12х – 7 = 5у если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному 9х + 15у = 3 Ι :( - 3 ) -3х - 5у = - 1 7

Слайд 6

Задание 1. 1.1. Из линейного уравнения с двумя неизвестными 2х – 8у = - 10 выразите переменную х: 1.2. Из линейного уравнения с двумя неизвестными 3х – 2у = 5 выразите переменную у: 3х – 5 = 2у Ι : 2 2х = 8у – 10 Ι : 2, Х = 4у - 5 3х - 5 2 = у

Слайд 7

Решением уравнения с двумя неизвестными х и у называется упорядоченна я пара чисел ( х ; у ), при подстановке которых в это уравнение получается верное числовое равенство.

Слайд 8

Задание 2 Найдите все пары ( х ; у ) натуральных чисел, которые являются решениями уравнения. 2.1. 13х + 4у =55 Ответ: ( 3 ; 4) 2.2. 5х + 7у =59 Ответ: (2 ; 7) (9 ; 2)

Слайд 9

Система уравнений и её решение Определение Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называются два уравнения, объединенные фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что эти уравнения должны быть решены одновременно. а 1 х + b 1 y = c 1, а 2 х + b 2 y = c 2 ; В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так : где а 1 , b 1 , c 1 , а 2 , b 2 , c 2 - Заданные числа, а х и у - неизвестные

Слайд 10

Из истории систем уравнений Задачи на составление и решение систем уравнений встречаются в вавилонских и египетских текстах II тыся - челетия до н. э., в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых. Нижние индексы при буквах впервые употребил в 1675 г. немецкий математик Лейбниц Лейбниц Готфрид Вильгельм ( 1646 – 1716 )

Слайд 11

Например, в системе а 1 = 1, b 1 = -1, с 1 = 2; а 2 = 3, b 2 = -2, с 2 = 9. Задание 3. (Устно.) Проверьте, являются ли числа х = 4 , у = 3 решениями системы Решение: х – у = 2, 3х – 2у = 9. 2,5 ·4 – 3 · 3 =1, 5·4 – 6 · 3 = 2. 2,5х – 3у = 1, 5х – 6у = 2. Ответ: числа х = 4 , у = 3 являются решениями системы

Слайд 12

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Слайд 13

Задание 4. Если в системе уравнений 6х – 21 у = 9, 6х + 2у = 4. 2х – 7у = 3, 3х + у = 2. уравнять модули коэффициентов при х , то система примет вид 2х – 7у = 3 Ι · 3 , 3х + у = 2 Ι · 2 . 2 · 3х – 7 · 3у = 3 · 3, 3 · 2х + 2у = 2 · 2; 6х – 21 у = 9, 6х + 2у = 4. РЕШЕНИЕ

Слайд 14

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 33 № 615(1), 616(1), 617(1), 619(1). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 33, № 3, 4(1), 5(1), 14(1). 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 33 ( стр. 90) № 4(1), 7.

Слайд 15

Спасибо всем за работу

Слайд 1

Слайд 2

Способ подстановки Цель: научить решению системы линейных уравнений способом подстановки.

Слайд 3

Из истории : Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В 17-18 вв. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Гаусс. Из истории : Из истории : Из истории : Из истории : Пьер Ферма Пьер Ферма Исаак Ньютон Карл Фридрих Гаусс

Слайд 4

Решение системы способом подстановки у - 2х=4, 7х - у =1; у=2х+4, 7х - у=1; у=2х+4, 7х - (2х+4)=1; у=2х+4, х=1; у=6, х=1. 7х - 2х - 4 = 1; 5х = 5; х=1 ; Ответ: ( 1 ; 6) Выразим у через х Подставим Решим уравнение Подставим Выразим у через х

Слайд 5

Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной Записать ответ: ( х ; у ) Способ подстановки ( алгоритм )

Слайд 6

Решите систему уравнений способом подстановки 3х + 2у=27, х + 5у =35; 1).выразим из второго уравнения х , подставим в первое уравнение 3( 35- 5у) + 2у=27, Х = 35 – 5у; 2). решим первое уравнение 3 (35 – 5у) + 2у = 27, 105 – 15у + 2у = 27, -13у = - 78, У = 6 3 ). Найдем х х = 35 -5 · 6 = 5 х = 5 Ответ : ( 5; 6 )

Слайд 7

Решите задачу. Сумма двух чисел равна 48. Первое число больше второго в 2 раза. Найдите эти числа . Решение. 1). Пусть х - первое число, а у – второе число. 2). Сумма чисел: х + у = 48. 3). Первое число больше второго в 2 раза: х = 2у. 4). Составим систему уравнений: х + у = 48, х = 2у. 5). Решим систему способом подстановки. Подставим х = 2у в первое уравнение. 2у + у = 48, у = 16 6). Найдем первое число: х = 32. Ответ: искомые числа 16 и 32.

Слайд 8

Задание. Заполните пропуски. Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х - 3у = 5. Выразить…… … .. из …… …… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ...... ....... уравнение системы 3 х - 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить……….. из ………… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ............. уравнение системы Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х - 3у = 5. Выразить…… … .. из …… …… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ...... ....... уравнение системы 3 х - 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить……….. из ………… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ............. уравнение системы Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х - 3у = 5. Выразить…… … .. из …… …… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ...... ....... уравнение системы 3 х - 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить……….. из ………… уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ............. уравнение системы

Слайд 9

Проверьте правильность заполнения таблицы Система Наиболее рациональный способ ее решения – способ подстановки х + 4у = 19, 2 х - 3у = 5. Выразить …… х… .. из …… 1 … … уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ...... 2. ...... уравнение системы 3 х - 8у = 9, 5 х + у = 1. Выразить …… у ….. из …… 2 … … уравнения системы и подставить полученное выражение в ( во) ....... 1 . ..... уравнение системы

Слайд 10

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 34 № 627(1 ), 628(4), 629(1). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 34, № 6 . 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 34 ( стр. 92) № 4(1), 6(1).

Слайд 11

Спасибо всем за работу

Слайд 1

Слайд 2

Способ сравнения Цель: научить решению системы линейных уравнений способом сравнения

Слайд 3

Приемы решения систем уравнений разрабатывали в 17 – 18 вв. знаменитые французские ученые- математики : Безу и Лагранж Из истории : э т ьенн Безу Жозеф Луи Лагранж

Слайд 4

Решение системы способом сравнения у - 2х=4, 7х - у =1; у=2х+4, х=1; у=2х+4, 7х - 1= у; у=2·1+4, х=1; 7х - 1=2х+4, 7х - 2х=4+1, 5х=5 , х=1 . у=6, х=1. Ответ: (1; 6) Выразим у через х в обоих уравнениях Приравняем выражения для у Решим уравнение относительно х у=2х+4, 7х - 1= у; Подставим х = 1 в первое уравнение

Слайд 5

Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение Записать ответ: ( Х; У ) . Способ сравнения ( алгоритм )

Слайд 6

Решить систему уравнений способом сравнения. 1. Ответ: ( 8; -3) · 2. Ответ: ( 2; - 2) · 3. Ответ: ( 5; 15 ) У = - 3, Х = 5 - у. 1 . 2. 2х – 3у = 10, 2х + 5у = - 6. 3. Зх – ( 3у – 7х ) = 5, 3у – 7х = 10.

Слайд 7

1. Решите систему уравнений Вариант 1 Вариант 2 Тестовая работа 2х - у = 1, Х + у = - 4, 3х + у = -1, Х - у = 5, и , обозначив ( m ; n ) решение системы, вычислите значение выражения : m² + n² . а). 17; б). 5; в). 13; г). 10. а). 25; б). 17; в). 10; г). 5.

Слайд 8

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 34 № 627(6), 628(6), 630(1). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 34, № (7). 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 33 ( стр. 91) № 10.

Слайд 9

Спасибо всем за работу

Слайд 2

Способ сложения Цель: научить решению системы двух линейных уравнений способом сложения , в необходимых случаях приводя предварительно уравнения системы к виду: ах + b y = c, где a, b, c – целые числа.

Слайд 3

Решение системы способом сложения 7х+2у=1, 17х+6у=-9; |·( - 3) -21х-6у=-3, 17х+6у=-9 ; ----------------- -21х + 17х = -3 - 9 + - 4х = - 12, 7х+2у=1; х=3, 7х+2у=1; х=3, 7·3+2у=1; х=3, 21+2у=1; х=3, 2у=-20; х=3, у=-10. Ответ: (3; - 10) Уравняем модули коэффициентов перед у Сложим почленно уравнения Решим уравнение Подставляем Решим уравнение

Слайд 4

Способ сложения (алгоритм) Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной Сложить почленно уравнения системы Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых Решить новое уравнение и найти значение одной переменной Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной Записать ответ: ( х ; у ).

Слайд 5

Решите системы уравнений способом сложения 1 . 5х-2у=6, 7х+2у =-6; 2. 3 . 1. Ответ: ( 1; - 0,5 ) 2. Ответ: ( -1; 6 ). 3 . Ответ: ( -12; 10 ). х + 3у= 17, 2у – х = 13; 5 х + 6у= 0, 3х + 4у = 4;

Слайд 6

Решите задачу. Сумма двух чисел равна 12, а их разность равна 2. Найдите эти числа. Решение. Пусть х и у - искомые числа. По условию задачи составим систему уравнений: х + у = 12, х – у = 2; 3. Решим систему уравнений способом сложения. х = 7, у = 5; 2 х = 14, х = 7; Ответ: искомые числа 7 и 5

Слайд 7

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 35 № 633(1; 3), 635(1; 3), 638(1 ). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 35, № (10). 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 35 ( стр. 93) № 7 (1) .

Слайд 8

Спасибо всем за работу

Слайд 2

Для уравнения вида ах + b у = с найти значения а, b , и с и заполнить таблицу: ах + b у = с а b с 6х – 2у = - 5 Х + 0,5 у = 0 0,75х – у = 1 - 0,25х + у = 1,5

Слайд 3

Для уравнения вида ах + b у = с найти значения а, b , и с и заполнить таблицу: ах + b у = с а b с 6х – 2у = - 5 6 -2 -5 Х + 0,5 у = 0 1 0,5 0 0,75х – у = 1 0,75 -1 1 - 0,25х + у = 1,5 -0,25 1 1,5

Слайд 4

Графический способ Цель: научить графическому способу решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными .

Слайд 5

Из истории Благодаря методу координат, созданному в 17 веке Ферма и Декартом, стало возможным геометрическое решение уравнений систем. Так называемый графический метод решения состоит в построении абсциссы х и ординаты у точки пересечения двух соответствующих прямых. М x y Из истории а₁ х + b ₁ y= c₁ a₂ х + b₂ y = c₂ у х

Слайд 6

Графический способ (алгоритм) Выразить у через х в каждом уравнении Построить в одной системе координат график каждого уравнения Определить координаты точки пересечения Записать ответ: х ≈…; у ≈ … , или ( х ; у)

Слайд 7

Решение системы графическим способом 1 0 1 2 10 x 4 6 10 -2 y 0 y=10 - x y=x+2 у - х=2, у+х=10; Выразим у через х у=х+2, у=10-х; Построим график первого уравнения х у 0 2 -2 0 у=х+2 Построим график второго уравнения у=10 - х х у 0 10 10 0 Ответ: (4; 6)

Слайд 8

Три возможных случая взаимного расположения двух прямых – графиков уравнений системы Прямые параллельны Прямые пересекаются Прямые совпадают М x y М x y М x y Система уравнений имеет единственное решение Система уравнений не имеет решений Система уравнений имеет бесконечное множество решений

Слайд 9

Задание1. Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение Вариант 1. А) . Если графики двух линейных уравнений системы пересекаются, то система уравнений имеет __ единственное решение Б) . Если система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечное множество решений, то графики уравнений системы _______ совпадают Вариант 2. А). Если графики уравнений системы линейных уравнений – параллельные прямые, то эта система ____ не имеет решения Б) . Если система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, то графики уравнений системы ________________________ пересекаются

Слайд 10

Задание2. В каждом задании из трех предложенных ответов выберите верный Вариант 1. 1). Укажите взаимное расположение прямых : 2х – у = 4 и 3х – у = 6. А). пересекаются; Б). совпадают; В). параллельны. 2).Выберите систему уравнений, соответствующую данному чертежу. Вариант 2. 1). Укажите взаимное расположение прямых : 2х – у = 3 и х – у = 2. А). пересекаются; Б). совпадают; В). параллельны. 2).Выберите систему уравнений, соответствующую данному чертежу. М x y 0 1 2 Х+ 2у = 4 , 2х+у= 4; 2Х+ у =5, 2х+у= 4; Х+ у =5, У = 5 - х ; 2у+ х =5, 2х+2у= 6; Б) В) А) М x y Х- 2у =1, 2х- у = 5; Б) 2Х - 3у =7, 3х - 2у= 8; А) В) 1 3 1 2

Слайд 11

Задание 3. Показать, что система уравнений бесконечно много решений. Что это означает геометрически ? Решение. 1. Разделив обе части первого уравнения на 2 и обе части второго уравнения на 3, получим систему ………………… · 2. Уравнения системы оказались ………… это означает, что система ……. Геометрически это означает, что графиками этих уравнений являются…………. 6Х- 12у =4 9х- 18у= 6, имеет

Слайд 12

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 36 № 644(2), 645(4), 648(2). 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 36, № (9). 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 36 ( стр. 94) № 5(2).

Слайд 13

Спасибо всем за работу

Слайд 1

Слайд 2

Устные упражнения · 1. Приведите пример линейной функции, график которой пересекает ось Оу в точке (0; 3); (0; 0). · 2 . Имеет ли решение уравнение: Если имеет, то сколько. В случае положительного ответа на первый вопрос назвать решение, если оно единственное, и несколько решений, если их бесконечное множество. а). Ι х Ι + Ι у Ι = - 2 б). Ι х Ι - Ι у Ι = - 2 в). Ι х Ι + Ι у Ι = 0 Ответ: Ответ : Ответ : Не имеет, так как сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательным числом Бесконечное множество решений, например: (4 ; 6); (-1; 3); ( 2,5; 4,5) Одно решение: ( 0; 0) Устные упражнения

Слайд 3

Задача 1. Длина прямоугольника на 5см больше его ширины, а периметр прямоугольника равен 22см. Найти длину и ширину прямоугольника. Решение. 1).Пусть длина прямоугольника х см, а ширина у см. Так как длина на 5 см больше ширины, составим первое уравнение : х – у = 5. Так как периметр прямоугольника 22 см, составим второе уравнение: 2 ( х + у ) = 22. 2). Так как эти условия выполняются одновременно, составим и решим систему уравнений: х – у = 5, · 2 2х – 2у = 10, х = 8, 2х + 2у = 22 ; 2х + 2у = 22; у = 3. 4х = 32, х = 8; Ответ: дина прямоугольника – 8 см, ширина – 3 см.

Слайд 4

Схема решения задачи с помощью системы уравнений: 1). вводят обозначения неизвестных и составляют систему уравнений; 2). решают систему уравнений; 3). Возвращаясь к условию задачи и использованным обозначениям, записывают ответ.

Слайд 5

Составьте систему уравнений по условию задачи: « Одна сторона прямоугольника меньше другой на 5 см, периметр прямоугольника равен 38 см. Найти стороны этого прямоугольника.» ВЫБЕРИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ. А) Х – У = 5, Б) Х + У = 5, В) Х – У = 5 Х + У = 38 ; 2 ( Х + У) = 38 ; 2 ( Х + У) = 38 ;

Слайд 6

Устные упражнения Составьте систему уравнений по условию задачи: «На двух полках 60 книг. На второй полке на 10 книг меньше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке ?» «Автомобиль проехал некоторое расстояние за 30 минут. За какое время проедет это же расстояние велосипедист, скорость которого в 5 раз меньше?»

Слайд 7

Домашнее задание 1. Учебник «Алгебра 7», авторы Ш.А.Алимов и др. § 37 № 653, 655, 659. 2. Рабочая тетрадь по алгебре, 7, авторы Ю.М.Колягин и др. § 37, № 2 (1), 6 3. Дополнительно: Дидактические материалы «Алгебра 7», авторы М.В.Ткачева и др. § 37 ( стр. 95) № 5(1).

Слайд 8

Спасибо всем за работу

Слайд 1

Слайд 2

1. Решите систему уравнений способом сложения . Вариант 1 Вариант 2 х – у = - 1, 2х + у = 4. х + у = 3 , 2х - у = 3. 2 . Решите систему уравнений способом подстановки . 2 х + у = 2, 4х -3 у = 24. 3 х +2 у = 6, 2х - у = 1 . 3 . Решите задачу . Двое рабочих изготовили вместе 244 детали, первый рабочий работал 8 дней, второй – 5. Солько деталей изготовил каждый рабочий за один день, если первый изготавливал на 2 детали в день больше, чем второй ?. На покупку трех тренировочных костюмов и пяти мячей было потрачено 255 $.Сколько стоит один костюм и один мяч, если стоимость четырех мячей такая же, как стоимость одного костюма?

Слайд 3

Спасибо всем за работу