Задачи на движениe
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Тема Задача на движения

1..Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в  город В, расстояние между которыми 77км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 ч. В результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найти скорость  велосипедиста на путь из В в А.

Ответ дайте в км/ч  

Решение. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста на пути из  А в В. ч-время, затраченное на путь в 77км от А до В. (х+4)км/ч – скорость на обратном пути. Учитывая 4х часовую остановку на обратный путь он затратил ч. Времени на путь туда и обратно затрачено одинаково. Получим  уравнение ;

                                    ;

                                77(х+4)= х (4х+93)

                                    х2 +4х-77=0

По формулам Виета х1=-11, х2=7

 По смыслу х>0

Ответ: 7 км/ч.

2.Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в  город В, расстояние между которыми 77км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 ч. В результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найти скорость  велосипедиста на путь из В в А.

Ответ дайте в км/ч  

Решение. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста на пути из  А в В. ч-время, затраченное на путь в 77км от А до В. (х+4)км/ч – скорость на обратном пути. Учитывая 4х часовую остановку на обратный путь он затратил ч. Времени на путь туда и обратно затрачено одинаково. Получим  уравнение ;

                                    ;

                                77(х+4)= х (4х+93)

                                    х2 +4х-77=0

По формулам Виета х1=-11, х2=7

 По смыслу х>0

Ответ: 7 км/ч.

4.Каждый день из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить задание за 15ч. Через 5ч. после того, как один из них приступил к  выполнению заказа, к нему при соединился второй рабочий и работу над заказом они довели до конца уже в месте. За сколько часов был выполнен весь заказ?

Решение. Первый рабочий за 5ч. работы в одиночку выполнил  частей всей работы, если принять объем всей выполненной работы за 1. значит, совместно работая, он и выполнили  частей работы. Пусть для этого им понадобилось х ч., тогда за х часов они выполнили частей работ. Получим уравнение: ; 6х=30; х=5.

Поэтому вся  работа выполнена за 5+5=10ч.

Ответ: 10ч.

3. двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 12ч. Скорее, чем второй. За сколько часов выполнит всю работу первый рабочий, работая отдельно?

Решение. Пусть за х ч. выполнит всю работу первый рабочий, тогда за (х+12)ч. – второй.   Принимаем всю выполненную работу за 1, тогда  - производительность первого рабочего, а - производительность второго рабочего, - их общая производительность.

Составим уравнение:

;

;

;

;

По формулам Виета

х1=12, х2=-8 (х>0)

Ответ: за 12ч.

13. Из трех насосов бассейна заполняется за 5 ч. Производительность насосов относится как 3:4:5. сколько часов заполняется бассейн, если сначала работал только 1 насос, через час включится второй и третий насос, а еще через час первый насос сломался?

Ответ: 7ч.

Образцы выполнения заданий.

Трехзначное число начинается с цифры

1. Если  её стереть и затем приписать в качестве последний цифры числа, то       полученное трехзначное число будет больше первого на 90. Найдите это число.

Решение. Пусть 1ху – задуманное число, тогда после стирания 1 и приписывания её в качестве последней цифр числа получится число ху1, причем новое число больше данного на 90. Имеем уравнение ху1 – 1ху = 9;

100х + 10у + 1 – (100 + 10х + у) = 90; 90х + 9у – 189 = 0; 10х + у = 21. Отсюда, х = 2; у = 1, т. к. х и у – цифры.

Ответ: 121

2. Найдите двузначное число , если частное от деления исключимого числа на сумму его цифр равно 4, а частное от деления произведения его цифр на сумму цифр равно 2.

Решение. Пусть искомое число ху, т.е. в нем х – десятков, у – едениц, ху = 10х + у.

Из условия задачи составим систему уравнений:

По смыслу задачи х>0 (х – цифра) имеем х=3, у=6 т. е. двузначное число 36

Ответ: 36

3. Сумма цифр двузначное число равна 13. Если первую цифру увеличить, а вторую уменьшить на 2, то сумма квадратов цифр изменится на 4. Найдите данное число (Если таких чисел несколько, в ответе запишите меньшее)

Решение. Пусть данное число ав. По условию а+в=13 рассмотрим 2 случая.

1)

2)

4. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 61. Если от этого двузначного отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите число:

Решение. Пусть искомое число содержит х десятков, у единиц.  Из условия задачи составим систему уравнений:

По смыслу х>0 (х - цифра), х=6, у=5 Искомое число 65.

Ответ: 65.

Задания для самостоятельной работы К. №5

1. Найдите двузначное число, если произведение  его цифр в 6 раз меньше самого числа, а если к исходному числу прибавить 9, то получится число,  записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.  (Ответ: 12)
2. Сумма цифр двузначного числа равна 11, если первую цифру увеличить, а вторую уменьшить на 4, то сумма квадратов цифр изменится на 8. Найдите данное число. (Если таких чисел несколько, то в ответ запишите наибольшее.) (Ответ: 47)
3. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 4 и в остатке 6. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1 и в остатке 22. Найдите исходное число.
5. 1.Решение.Пусть в искомом двузначном числе х десятков,  у единиц, т.е.⌐ху=10х+у. Из условия задачи составим систему уравнений:
8. Поскольку х, у – цифры, имеем число 12.
9. Ответ:  12
10. 2.Решение. Пусть данное число ⌐ab, a+b=11
11. Рассмотрим 2 случая.
12. 1)