Подсчет вариантов при помощи графов
план-конспект урока по алгебре (7 класс)

Алгебра  7 класс

Тема урока: Подсчет вариантов с помощью графов

Учитель математики:  Кащеева Н.И.

Цели урока:

· образовательная – познакомить учащихся с новым способом подсчёта вариантов – с помощью графов, формировать понятие графа, навык построения графа, навык подсчёта вариантов с его помощью;

· воспитательная – воспитывать патриотические чувства на основе причастности к истории России, чувстве гордости за её Великих сынов;

· развивающая – развивать понимание картины мира во всех её проявлениях, показывая межпредметные связи; развивать пунктуальность, аккуратность у учеников.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация.

План урока

1. Таблица вариантов
2. Правило произведения
3. Решение задач
4. Домашнее задание

Здравствуйте, уважаемые семиклассники!

На прошлом уроке вы рассмотрели различные комбинации из 3 элементов методом перебора, но

при решении комбинаторных задач существует опасность потери какой-либо комбинации элементов, поэтому и появились приемы, исключающие эту возможность. Например, для подсчета числа комбинаций из двух элементов подходящим средством является таблица вариантов. С её помощью будет обоснованно одно из важных правил подсчёта числа комбинаций из двух элементов – правило произведения. Запишите тему урока в тетрадь.

Решим задачу 1, составив таблицу вариантов:

Задача 1

Записать все возможные двухзначные числа, используя при этом цифры:  а) 1, 2 и 3;   б) 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество.

Решение: Для каждого случая составим таблицу всех возможных вариантов:

А)  В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 1, 2 или 3. То есть в таблице будет  3 строки, в качестве второй цифры двузначного числа может быть выбрана так же любая из 3 заданных цифр, таким образом,  в нашей таблице 3 столбца. Заполним таблицу первая строчка: один один, первая цифра один вторая цифра два, один три, вторая строчка … третья …. Итак мы получили всего  3 умножить на 3 то есть 9 вариантов двузначных чисел.

Количество чисел N=3·3=9                                        

Запишите, пожалуйста, решение в тетрадь

Б)

Рассмотрим следующий пример. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0,1,2,3?

В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 1,2,3. Нуль не может быть в начале числа. То есть строк в таблице 3. А вот в качестве второй цифры двузначного числа может быть выбрана любая из четырех заданных цифр, то есть количество столбцов 4. Заполним таблицу первая строка один нуль, один один, один три , вторая строка и так далее… Мы получили всего 3 умножить на 4 вариантов , 12 двухзначных чисел

Количество чисел  3·4=12

Ответ : А);  Б) 12.

Запишите, пожалуйста, решение в тетрадь.

Задача 2

Записать все возможные двухзначные числа (цифры в числе должны быть разными), используя при этом цифры 0, 1, 2 и 3. Подсчитать их количество.

В качестве первой цифры двузначного числа может быть выбрана любая из цифр 1,2,3. Нуль не может быть в начале числа. То есть строк в таблице 3. А вот в качестве второй цифры двузначного числа может быть выбрана любая из четырех заданных цифр, то есть количество столбцов 4. Заполним таблицу первая строка один нуль, далее 1 цифра совпадает со второй, но по условию задачи цифры в числе должны быть разными: ставим крестик, заполняем далее один три…Мы получили всего 9 вариантов.

Запишите, пожалуйста, решение в тетрадь.

Для дальнейшего решения комбинаторных задач вспомним, сколько граней, ребер и вершин у куба. Я уверена вы правильно заполнили таблицу: у куба 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. А сколько граней, ребер и вершин у тетраэдра? Проверим, как вы заполнили таблицу:  у тетраэдра 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.

Задача 3.

Бросают две игральные кости. Сколько различных пар очков может появиться на верхних гранях костей?

На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка,…, шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны и при бросании другой кости. Получили таблицу 6 строк и 6 столбцов. Заполним ее. Первая строка 1 очко на первой кости и одно на второй, то есть один один, один два , один три, один четыре и т.д. Мы получили всего 6 умножить на 6 вариантов , 36 вариантов различных пар очков.

Ответ 36. Не забываем записывать решение в тетрадь.

Мы познакомились с таблицей вариантов, которую можно использовать для подсчета числа комбинаций двух элементов. Обратим внимание, что общее количество элементов в таблице можно непосредственно посчитать "вручную". А можно количество вариантов для первого элемента умножить на количество вариантов для второго элемента, то есть воспользоваться правилом произведения.

Правило произведения: если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них есть m вариантов выбора второго элемента, то всего существует m·n различных пар с выбранными первым и вторым элементами.

Этот метод решения комбинаторных задач применяется, когда не требуется перечислять все возможные варианты, а нужно ответить на вопрос - сколько их существует.

Задача 4

В меню столовой два первых блюда: суп и борщ; три вторых: плов, азу и омлет. Сколько различных вариантов  обеда из 2 блюд можно составить?

Решение:

В качестве первого блюда может быть выбрано любое из 2 первых блюд: либо суп либо борщ. То есть n=2, в качестве второго блюда может быть выбрано любое из трёх вторых блюд, то есть m=3. Воспользуемся правилом произведения 2·3=6.

 Ответ: Общее количество вариантов обеда при таких условиях равно 6.

Задача 5

На стол бросают игральный кубик (на гранях точками отмечены числа от 1 до 6) и игральный тетраэдр (на гранях точками отмечены числа от 1 до 4).

Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих двух многогранников, соприкасающихся с поверхностью стола?

Решение: Игральный кубик может лечь на стол одной из 6 граней, то есть n=6, а игральный тетраэдр может лечь на стол одной из 4 граней, следовательно, m=4. По правилу произведения 6·4=24

Ответ:  На гранях, соприкасающихся с поверхностью стола, этих  многогранников может появиться 24 различных пар чисел.

Запишите, пожалуйста, решение в тетрадь.

Проверьте себя!  

Поставьте урок на паузу и выполните задание в тетради

1. Используя, таблицу вариантов, перечислить все двузначные числа, записанные с помощью цифр:

1. 3, 6, 9;      b)  0, 2, 4, 6;   Найти количество полученных чисел.

Давайте проверим, уверена, что вы правильно составили таблицу вариантов.  И  подсчитали количество двузначных чисел в таблице

2. Сколько различных двухбуквенных кодов (буквы в коде должны быть разными) можно составить с помощью букв а, б, в, г, д? Перечислите все коды.

Поставьте урок на паузу и выполните задание в тетради

Проверим таблицу вариантов и вычисление количество кодов правилом произведения на первое место любую из 5 предложенных букв, а на второе место только одну из 4 оставшихся букв, так как буквы в коде должны быть разными. 5·4=20

Ответ 20

3. Сколько различных двухбуквенных кодов (буквы в коде могут повторяться) можно составить с помощью букв к, л, м, н, о, п?

Поставьте урок на паузу и выполните задание в тетради

Проверим решение данной задачи: Так как вопрос задачи, сколько различных двухбуквенных кодов, то для решения этой задачи не требуется перечисление всех возможных вариантов. Поэтому воспользуемся правилом произведения, буквы в коде могут повторяться, на первое место можно поставить любую из 5 букв и на второе место тоже любую из 5 букв, получаем 5·5=25

Ответ 25

4. Из 8 марок и 6 значков Слава хочет выбрать для подарка брату одну марку и один значок. Сколькими способами Слава может сделать такой подарок?

Поставьте урок на паузу и выполните задание в тетради

Проверим решение задачи: Слава может выбрать любую одну марку из 8 и любой из 6 значков. Выполняем вычисления 8·6= 48

Ответ 48 способов у Славы сделать такой подарок брату

5. Гена забыл две последние цифры номера телефона своего приятеля. Он решил перепробовать все комбинации двух последних цифр и дозвониться до приятеля. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Гене, если телефон приятеля семизначный?

Поставьте урок на паузу и выполните задание в тетради

Проверим решение задачи: В семизначном номере телефона друга пять первых цифр известны, то есть необходимо посчитать комбинацию  только двух последних цифр. Всего имеется 10 различных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), на первое место можно поставить любую из 10 цифр и на второе тоже любую из 10 цифр. Получаем 10·10=100.

Ответ 100

6. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день из 3 различных учебных предметов (каждый учебный предмет включается в расписание по одному разу)?

Поставьте урок на паузу и выполните задание в тетради

Проверим решение, в расписании 3 различных урока, поэтому в нашем произведении будет 3 множителя: первый это количество вариантов предметов, которые можно поставить на 1 урок, таких предметов 3. Второй множитель это сколько различных предметов можно поставить на 2 урок, таких предметов 2, так как один предмет уже стоит на первом уроке. И на последний 3 урок остался последний предмет. Получаем 3·2·1= 6

 Ответ 6 различных вариантов расписания

7. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?

Поставьте урок на паузу и выполните задание в тетради

Выбираем одну из 6-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 6-ю способами. Теперь у нас осталось 5 книг. Вторую книгу мы можем выбрать 5-мя способами и поставить рядом с одной из 6-ти возможных первых. Таких пар может быть 6·5. Осталось 4 книги. Одну книгу из 4-ёх можно выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 6·5 пар. Получится 6·5·4 разнообразных троек. Продолжим так же размещать на полке оставшиеся 3 книги. Получаем 6·5·4·3·2·1=720 способов

Ответ 720 способов расставить на полке 6 книг

Молодцы вы хорошо поработали!

Подведем итог!

Мы рассмотрели задачи, о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Мы рассмотрели таблица вариантов как средство для подсчета числа комбинаций из двух элементов

Также было сформулировано правило произведения, которое в некоторых случаях упрощает подсчёт числа соединений определённого вида. Давайте напомним его.

Если существует  n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется  m вариантов выбора второго элемента, то всего существует  n·m различных пар с выбранными таким образом первым и вторым элементами.

Я предлагаю на практике закрепить полученные знания и выполнить предложенные задания

Желаю успехов!

ИТОГОВАЯ РАБОТА

Итоговое задание по теме нужно выполнить и отправить на проверку своему учителюс помощью электронного дневника или электронной почты.

1. 7 класс
2. Алгебра
3. Элементы комбинаторики

ЗАДАНИЕ К УРОКУ

Задание предназначены для самоконтроля, отправлять на проверку учителю не надо.

1. 7 класс
2. алгебра
3. Подсчет вариантов с помощью графов
4. Кащеева Наталья Ивановна

1. С помощью графа-дерева перечислить все двузначные числа, составленные из цифр: а) 1, 3, 5;     б)  0, 1, 3, 5.

2. В праздничный вечер каждый  из компании, в которой n друзей, по одному разу поговорил с каждым по телефону. Сколько всего состоялось телефонных разговоров, если а) n = 3;  б) n = 6?

3. Сколько ребер у полного графа, имеющего n вершин (каждая вершина соединена с каждой), если а) n = 25;  б) n = 32?

Ответы

1. А) 11, 13, 15 ,31, 33,35, 51, 53, 55

Б) 10, 11, 13, 15, 30, 31, 33, 35, 50, 51, 53, 55

2. А) 3

Б) 15

     3.  А) 300

        Б) 496

ИТОГОВАЯ РАБОТА

Итоговое задание по теме нужно выполнить и отправить на проверку своему учителюс помощью электронного дневника или электронной почты.

1. 7 класс
2. Алгебра
3. Элементы комбинаторики