Решение задач на движение с помощью графов
план-конспект урока по алгебре (5 класс) по теме

            Тема. Решение задач на движение с помощью графов.

            Цели. 1. Познакомить учащихся с новым способом решения текстовых задач – «сетевым графом».

             2. Работать над развитием математической речи; развивать внимание, наблюдательность.

             3. Формировать умение работать в коллективе, помогать друг другу; воспитывать аккуратность при выполнении письменных заданий.

            Оборудование: компьютер, проектор, индивидуальные карточки с алгоритмом составления графа.

ХОД УРОКА.

            I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМОЕНТ.

            II. СООБЩЕНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ УРОКА.

          - На уроках информатики мы с вами познакомились с такими понятиями как граф, вершины и ребра графа, граф с направленными ребрами. Сегодня на уроке мы научимся решать задачи на движение с помощью графов. Но вначале урока мы прогуляемся по одному городу.

            III.  УСТНЫЙ СЧЕТ.

• Сумма 500 и 130?
• Разность 998 и 63?
• Какое число в 5 раз меньше 60?
• Какое число больше 12 в 3 раза?
• Во сколько раз 480 больше 60?
• На машине турист проехал 36 км, что в 2 раза больше того расстояния, которое он прошел пешком. Сколько километров прошел турист пешком? Каким действием решали задачу? Почему?

            IV. ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА.

            1. Рассказ учителя.

           - Есть такой город Калининград (слайд № 2), раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров (слайд № 3). В XYIII веке в городе было семь мостов (рис. 1).

рис. 1

            Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз и вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решения никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых разных стран. Разрешить проблему удалось известному математику (слайд №4) Леонарду Эйлеру в 1736 году (1707 – 1782, российский математик, швейцарец по происхождению, академик Петербургской и Берлинской академий наук). Причем, он не только решил эту конкретную задачу, но и придумал общий метод решения подобных задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получился граф.

           Определение графа. Пусть дано некоторое конечное множество точек и некоторые из них соединены линиями, не обязательно прямыми (рис. 2)

.         .                  

.         .        

    а)             б)           в)               г)             д)

                                                рис. 2

            Такие схемы или диаграммы называют графами. Схемы, изображенные на рисунке 2, могут представлять собой, например, состояния турнира четырех шахматистов. Участники турнира обозначены точками, которые можно пометить цифрами или буквами, а линии, соединяющие пары точек, обозначают соответствующие партии между шахматистами. Рисунок 2а – состояние перед началом турнира, т.е. жеребьевка; рисунки 2б – г – состоялось три тура; рисунок 2д – сыграны все шесть партий.

           У вас на столах лежат рисунки (рис.3), на которых  изображена схема, содержащая восемь точек и одиннадцать линий, которая может представлять сеть автомобильных или железнодорожных дорог или каких–нибудь других коммуникаций.

                   1                                             1                                

                 4                 2       2                 4                2    

 3                            

             2                3                                   3

               рис. 3

            - Что могут обозначать цифры, обведенные кружочками? (это пункты - города, станции, перекрестки, или какие – либо другие объекты, между которыми существуют связи).

            -  Что могут обозначать линии, соединяющие пункты? (это могут быть дороги, улицы, провода и т.п.)

            -  А что могут обозначать цифры на линиях? (могут обозначать протяженность, время, пропускную способность, стоимость и др.)

            -  Граф – это математическое понятие, суть которого состоит в том, что задано конечное множество вершин и пар вершин. Вершины называют точками или узлами, а пары вершин ребрами или дугами, или линиями.  

            - Как называется вершина 1? (нечетная, потому что из нее выходит нечётное число ребер)

            - Как называется вершина 5? (четная, потому что из нее выходит четное количество ребер)

             2. Объяснение учителя.

              - Составлять граф мы будем по определенному алгоритму (слайд №  5).

                               Алгоритм  составления графа.

            1. О каком процессе идет речь?

       2. Какие величины характеризуют данный процесс?

       3.Каким соотношением связаны эти величины?

       4.Сколько процессов описывается в задаче?

           5.Есть ли связь между элементами?

       Ответы на эти вопросы записывать будем схематически. Эта схема и будет сетевым графом.

           2. Практическая работа.

           Задача 1.  (слайд № 6)

          Путь от станции Балаково до другой товарный поезд прошел за 9 ч, а пассажирский за 6 ч. Найдите скорость пассажирского поезда, если скорость товарного поезда равна 40 км/ч.

 1.  О каком процессе идет речь?  (о движении)

           2. Какими величинами он характеризуется? (слайд № 7) (скорость, время, расстояние) Каждую величину обозначим кружком.

      S                           v                               t

            3. Каким соотношением связаны эти три величины? (слайд №7)

        S = v · t  

    S                           v                          t        

           4. Сколько различных процессов описывается?  (слайд №7)

      Sп                   vп                      tп

       Sт                   vт                   tт

         -                 

           5.   - Что известно в задаче? (слайд № 8)

               - Что вы заметили в этой задаче? (одно и тоже расстояние проходят с различными скоростями два поезда)

          В этом случае кружок S будет общий (слайд № 8).

          В итоге рассуждений в тетрадях у учащихся должен получиться сетевой граф

                                 S                        vп                    tп= 6 ч

                                                        vт =40 км/ч        tт = 9 ч           

           Чтобы решить задачу, надо найти значение закрашенных кружков. Каждую линию, в нашем случае их три, будем называть ребром графа. По – какому же принципу мы будем заполнять кружки: имея (зная) два не закрашенных кружка на одном ребре, найти третий, закрашенный.     Рассмотрим первое ребро графа. (слайд № 9) По условию задачи мы знаем: vт= 40 км/ч, tт = 9 ч, следовательно, можем найти S. По какой формуле? (слайд № 9) (S = v × t). Чему будет равно S. (S= 40×9 = 360 км) (слайд № 9)

S = 360 км      vт= 40 км/ч        tт = 9 ч

            Рассмотрим второе ребро графа (слайд № 9). S у нас общее, его значение мы уже нашли, tп=6 ч, следовательно можем наитии vп. По какой формуле находим скорость? (v = S : t) (слайд № 9) Чему она будет равна? (v = 360 : 6 = 60 км/ч) (слайд № 9)

                S = 360 км    vп =60 км/ч          tп = 6 ч

             В итоге должен получиться вот такой граф (слайд 10):

        S = 360 км      vп= 60 км/ч        tп= 6 ч

                                    vт= 40 км/ч          tт = 9 ч

           1) 40 × 9 = 360 (км) – расстояние между станциями.

          2) 360 : 6 = 60 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

           Ответ: 60 км/ч.

            Задача 2.

           - (слайд № 11) Машина ехала 3 часа со скоростью 65 км/ч и 2 часа со скоростью 60 км/ч. Какой путь пройдет машина за эти 5  часов?

           Все записи будем делать простым карандашом. Ученики чертят сетевой граф у себя в тетрадях, один ученик  – на доске.

 1.  О каком процессе идет речь?  (о движении)

           2. Какими величинами он характеризуется? (скорость, время, расстояние) Каждую величину обозначим кружком.

            3. Каким соотношением связаны эти три величины?

            4. Сколько различных процессов описывается? (движение со скоростью  65 км/ч и движение со скоростью 60 км/ч)

                                1                 1                 1

                                2                2                   2

           5. Есть ли связь между одноименными элементами?

    S1          v1= 65 км/ч     t1= 3ч

   S2           v2 = 60 км/ч     t2 =2ч

               S1 + S2

           Элементами являются S1 и   S2, V1 и V2, t1 и t2. Закрашиваем кружок величина, которого неизвестна, а кружок с известной величиной оставляем не закрашенным  и подписываем его. ( три часа со скоростью 65 км/ч, два часа со скоростью 60 км/ч).

           Как узнать, какое расстояние проехала машина за 5 часов? (для этого нужно найти весь путь, который проехала машина; через S1 и   S2 проводим линию и завершаем её кружком  S1+ S2). 

            Рассмотрим    первое горизонтальное ребро графа. По условию задачи мы знаем: v1= 65 км/ч, t1= 3ч, следовательно, можем найти S1. По какой формуле? (S = v × t). Чему будет равно S1? (S1= 65×3 = 195 км)

        S1 = 195 км      v1= 65 км/ч        t1= 3ч

            Рассмотрим второе горизонтальное ребро графа. По условию задачи мы знаем: v2 = 60 км/ч, t2 = 2 ч, следовательно, можем найти S2. По какой формуле? (S = v × t). Чему будет равно S2? (S2 = 60×2 = 120 км)

            S2 = 120 км     v2 = 60 км/ч         t2 = 2 ч

            Рассмотрим вертикальное ребро, в котором уже найдены два кружка S1 и S2. Зная два закрашенных кружка на одном ребре, закрасить (найти) третий, т.е. можно найти S1+ S2.

 S1 = 195 км

        S2 = 120 км

                 S1+ S2 = 315 км

            Находим    S1+ S2 = 120 + 195 = 315 км.

            - Я то же  составила сетевой граф к этой задаче. Давайте сравним его с вашим (слайд № 12).

      S1 = 195 км        v1= 65 км/ч     t1= 3ч

     S2 = 120 км        v2 = 60 км/ч     t2 =2ч

                             S1 + S2 = 315 км

           1) 65 × 3 = 195 (км) – прошла машина за 3 часа.

           2) 60 × 2 = 120 (км) – прошла машина за 2 часа.

           3) 195 + 120 = 315 (км) – прошла машина за 5 часов.

           Ответ: 315 км.

             V. ЗАКРЕПЛЕНИЕ.

            - А теперь попробуйте самостоятельно решить следующую задачу.

            Мотоциклист проехал расстояние от одного города до другого за 3 часа, двигаясь со скоростью 54 км/ч. Сколько времени потребуется мотоциклисту на обратный путь, но уже по другой дороге, если она длиннее первой на 22 км, а его скорость будет меньше прежней на 8 км/ч.

 Сетевой граф будет выглядеть следующим образом:

   S1=162 км        v1=54 км/ч       t1 =3 ч

    S2 = 184 км      v2 = 46 км/ч     t2 = 4 ч

S1 < S2 на 22 км      v1 >v2 на 8 км/ч

      VI. ИТОГ УРОКА.

              -  С каким новым способом решения задач на движения мы познакомились сегодня на уроке?

            - Что такое сетевой граф? (Граф – это математическое понятие, суть которого состоит в том, что задано конечное множество вершин и пар вершин. Вершины называют точками или узлами, а пары вершин ребрами или дугами, или линиями.)  

               - Кто впервые построил сетевой граф? (Леонард Эйлер).