Теорема Виета
план-конспект урока по алгебре (8 класс)
Урок открытия нового знания! Алгебра. 8 класс; под ред. С.А. Теляковского.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 teorema_vieta.docx | 48.21 КБ |
 prezentatsiya.pptx | 667.1 КБ |
Предварительный просмотр:
УМК Алгебра. Макарычев Ю.Н. (7-9)
Предмет: алгебра
Класс: 8
Тема урока «Теорема Виета»
Учитель математики: Цырыпкина Г.Т.
Цель занятия | Формирование практико-ориентированной компетенции при выводе и доказательстве теоремы Виета и её применении при выполнении различных упражнений. |
Задачи занятия | Обучающие: экспериментальным путем выявить зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; доказать теорему Виета; сформировать умения применять её при решении типовых упражнений; Развивающие: развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать, делать выводы, применять теорему для приведенных квадратных уравнений на практике. Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к учебному труду. Учащиеся понимают значимость данной теоремы для решения квадратных уравнений, задач. Прививать интерес к математике как науке. |
Универсальные учебные действия (П-познавательные, К-коммуникативные, Р-регулятивные, Л-личностные) | П: уметь проводить коллективное исследование, конструировать новый способ действия, структурировать собственные знания. К: организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение, строить рассуждения, понятные для собеседника. Уметь использовать речь для регуляции своего действия. Р: уметь принимать и сохранять учебную цель и задачу, планировать и прогнозировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль. Л: уметь организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности, осуществлять формирование готовности к самообразованию. |
Планируемые результаты | Предметные: знать способ решения приведенного квадратного уравнения, знать теорему Виета, уметь решать приведенное квадратное уравнение, уметь применять теорему Виета для решения приведенного квадратного уравнения. Метапредметные: анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления, переводить словесную информацию в знаково-символьную форму; самостоятельно организовывать учебное взаимодействие с учителем и сверстниками (определять общие цели, договариваться друг с другом), осуществлять рефлексию способов и условий действий. Личностные: формировать умение формулировать собственное мнение, совершенствовать умение оценивать усваиваемое содержание, умение общаться, умение строить высказывание в устной форме, |
Основные понятия, используемые на занятии | Приведенное квадратное уравнение, коэффициенты приведенного квадратного уравнения, теорема Виета. |
Межпредметные связи | История, литература. |
Формы организации познавательной деятельности учащихся | Фронтальная Групповая Индивидуальная творческая деятельность обучающихся |
Методы обучения | Исследовательский метод, частичный поиск. |
Технологии | Проблемное изложение |
Структура урока
- Оргмомент. Проверка домашнего задания. Создание проблемной ситуации. (___мин.)
- Подготовка к изучению нового материала. (____мин.)
- Изучение нового материала (_____мин.)
- Физ. Минутка (____ мин)
- Первичное осмысление и применение изученного (______ мин.)
- Самостоятельная работа (____ мин)
- Постановка домашнего задания (______мин.)
- Подведение итогов урока (_____мин.)
- Оргмомент. Проверка домашнего задания. Создание проблемной ситуации.
- Приветствие учителя.
- Начнем работу с проверки домашнего задания. Вы дома решали квадратные уравнения. Используя эти уравнения, и ваши решения заполните 2-6 столбцы таблицы которые лежат у вас на столе ( СЛАЙД___),
- Давайте проверим (СЛАЙД___).
Уравнения | a | b | c | x1 | x2 | x1 + x2 | x1• x2 |
х2 + 6х - 7 = 0 | 1 | 6 | -7 | -7 | 1 | -6 | -7 |
х2 -4 х + 3 = 0 | 1 | -4 | 3 | 1 | 3 | 4 | 3 |
х2 -7 х + 12 = 0 | 1 | -7 | 12 | 3 | 4 | 7 | 12 |
х2 - х - 12 = 0 | 1 | -1 | -12 | -3 | 4 | 1 | -12 |
х2 + 8 х + 15 = 0 | 1 | 8 | 15 | -5 | -3 | - 8 | 15 |
- Молодцы! Вы хорошо справились с решением уравнений.
- А теперь попробуйте быстро решить это уравнение (Слайд___)
х2 – 2022х + 2021 = 0.
(Решить можно, но считать долго)
- Хочу вас удивить. Это уравнение можно решить устно, но для этого нужны новые знания. Разгадав кроссворд, вы узнаете тему урока. (Работа в группе) (Слайд _____)
II. Подготовка к изучению нового материала. Кроссворд.
- Уравнение вида ах2 + bх +с = 0 называется … уравнением.
- а - … коэффициент.
- b - … коэффициент.
- с - … член.
- Квадратное уравнение называется …, если его старший коэффициент равен 1.
- D = b2 – 4ac.
- формулы ………… квадратных уравнений.
- Если D > 0, то уравнение имеет … корня.
- Если D = 0, то уравнение имеет … корень.
- Если D < 0, то уравнение … имеет корней.
- Если число делится на 2, то оно называется ….
- Если в теореме поменять местами условие и заключение, то получится теорема … данной.
- В выделенных клеточках прочтите название темы. (Слайд ____)
III. Новый материал.
- В тетради записали число, классная работа и тему урока «Теорема Виета».
Франсуа Виет – французский математик конца 16 века, один из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Также он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.
Однажды французам удалось перехватить приказы испанского правительства командованию своих войск, написанные сложной тайнописью. Вызванный математик Франсуа Виет, сумел найти ключ к этому шифру. С тех пор французы знали планы испанцев, с успехом предупреждали их наступления. Инквизиция обвинила математика в том, что он прибегнул к помощи дьявола, и приговорила к сожжению на костре.
Но он не был выдан инквизиции. В своем городе он был лучшим адвокатом, а позднее стал королевским советником. Но главным делом его жизни была математика. Он мог несколько ночей не спать, решая очередную математическую задачу.
- Сформулируйте цели урока урока
- Задачи урока: экспериментальным путем выявить зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; доказать теорему Виета; cформировать умения применять её при решении типовых упражнений. (Слайд ____)
(Слайд ____)Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет. (Сведения из истории о Франсуа Виете )
(Слайд ____) Вернемся к нашей первой таблице и проведём небольшое исследование. Заполните два последних столбца. Какую закономерность вы обнаружили, сделайте вывод. ((Вывод: теорема Виета) Работа в группе).
- Какие уравнения записаны в таблице?
- Открыли учебник на стр. 134 и найдите формулировку Теоремы.
(Слайд___) Вывод: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.
Формулировка и доказательство теоремы в соответствии с учебником
(Слайд ___) Док-во: Рассмотрим приведенное квадратное уравнение х2+вх+с=0. Так как по определению приведенного кв.уравнения а=1 и по условию х1 и х2 – корни, то D>0 и D=b2 -4ac. По формуле корней квадратного уравнения:
х1=, аналогично х2=.
х1+х2= .
х1·х2 =
Теорема доказана.
Кстати эта теорема справедлива не только для приведенных квадратных уравнений, но об этом вы узнаете на следующем уроке.
- Давайте вспомним геометрию, точнее понятие обратной теоремы. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
на стр. 134 учебника найдите формулировку Теоремы, обратной теоремы Виета.
- Доказательством этого утверждения вы познакомитесь дома.
(Слайд ____) Обратная теорема:
Если числа m и n таковы, что m + n = - р, m • n = q, то эти числа – корни уравнения х2 + рх + q = 0.
IV. (Слайд ___) Физминутка
V. Первичное осмысление и применение изученного.
С помощью теоремы Виета мы можем только убедиться в правильности нахождения корней с помощью дискриминанта!
А) Решить уравнение и выполнить проверку по теореме, обратной теореме Виета
х2 + 6х + 8 = 0
Б)(Слайд ___) Найдите сумму и произведение корней уравнения:
1) х2 + 7х + 6 = 0
2) х2+х+3=0 Ошибка! (Проблема!)
А теперь решите уравнение х2+х+3=0. Почему невозможно подобрать корни? А отчего зависит количество корней? Надо сначала найти Дискриминант.
3) х2 - 8х + 12 = 0
4) х2 - х - 6 = 0
(Cлайд _____)
Далее отрабатываем навыки применения теремы Виета и решаем уравнения (три человека у доски) остальные в тетрадях. . (Cлайд 15) Первое уравнение по образцу, остальные у доски три человека и в тетрадях.
1) х2+7х+6=0 Д=b2 -4ac, Д ≥ 0 х1 + х2 = –р; х1 · х2 = q. Д= х1 + х2 = –..... х1 · х2 =….. х1=……, х2=……. | 2) х2-8х+12=0 3) х2-х-6=0 4) х2-15х-16=0 |
В) Вернемся к проблеме, как решить уравнение: х2 – 2022х + 2021 = 0.
VI. Самостоятельная работа.
Дополните
Если х2 + рх + q = 0 приведенное квадратное уравнение, то x1 + x2 = - р, x1• x2 = q. А можно составить квадратное уравнение по его корням? Можно.
Составьте приведенное квадратное уравнение, имеющее корни 8 и – 2 (х2-6х-16=0)
(Слайд____) VII. Домашнее задание п. 24 № 580( 1ст), 581 (а), 583 (а,б)
.
VIII. Подведение итогов урока.
Итак, давайте подведем итоги нашего урока.
Рефлексия урока.
Закончите предложения:
«На уроке я узнал …………..»
«Я научился ………………………..»
«Я могу ……………………………..»
«Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А МАТЕМАТИКА способна достичь всех этих целей» Морис Клайн
Урок окончен. Спасибо!
Дополнительный материал к уроку.
Связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов.
Учитель: Можно ли находить корни квадратного уравнения без вычисления дискриминанта?
Ответ – да, но при условии, если уравнение приведенное, а корни целочисленные. Теорема, обратная теореме Виета гласит: если найдутся два числа, сумма которых равна числу противоположному коэффициенту при х, а их произведение есть свободное слагаемое приведенного квадратного уравнения, то эти числа являются корнями данного уравнения.
Такой способ решения называется способом подбора, и этим способом можно пользоваться наиболее результативно, если уловить связь знаков и модулей корней приведенного квадратного уравнения с знаками и модулями его коэффициентов. Попробуем эту связь объединить в таблицу:
(Сл.9) х2 + pх + q = 0
q > 0 | p > 0 | х1 < 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 < 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀ |
q > 0 | p < 0 | х1 > 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 > 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ + ׀ х2 ׀ |
q < 0 | p > 0 | х1 < 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 > 0 ׀p׀ = ׀ х1 ׀ - ׀ х2 ׀ |
q < 0 | p < 0 | х1 < 0 ׀q׀ = ׀ х1 ׀ · ׀ х2 ׀ х2 > 0 ׀p׀ = ׀ х2 ׀ - ׀ х1 ׀ |
Решение приведенных квадратных уравнений способом подбора
(фронтальная работа с классом, уравнения на карточках)
1) х2 – х – 6 = 0
х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 6; х1 = 3; х2 = - 2.
2) х2 + 5х + 4 = 0
х1 + х2 = - 5; х1 · х2 = 4; х1 = - 1; х2 = - 4.
3) х2 – 11х + 18 = 0
х1 + х2 = 11; х1 · х2 = 18; х1 = 9; х2 = 2.
4) х2 + 7х – 18 = 0
х1 + х2 = - 7; х1 · х2 = - 18; х1 = 2; х2 = - 9.
5) х2 – 3х – 4 = 0
х1 + х2 = 3; х1 · х2 = - 4; х1 = 4; х2 = - 1.
6) х2- 5х + 6 = 0
х1 + х2 = 5; х1 · х2 = 6; х1 = 3; х2 = 2.
7) х2 + 11х + 30 = 0
х1 + х2 = - 11; х1 · х2 = 30; х1 = - 5; х2 = - 6.
8) х2 – х – 30 = 0
х1 + х2 = 1; х1 · х2 = - 30; х1 = 6; х2 = - 5.
Вопрос | Ответ |
Чему равна сумма корней уравнения х2-6х+8=0 | 6 |
Чему равно произведение корней уравнения х2+9х+14=0 | 14 |
Найдите пары чисел, удовлетворяющие условиям m+n= -5 и mn=6 | -2; -3 |
Найдите пары чисел, удовлетворяющие условиям m+n= 2 и mn= -48 | -6; 8 |
Составьте приведенное квадратное уравнение, имеющее корни 8 и - 2 | х2-6х-16=0 |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Уравнения a b c x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 • x 2 х 2 + 6х - 7 = 0 х 2 -4 х + 3 = 0 х 2 -7 х + 12 = 0 х 2 - х - 12 = 0 х 2 + 8 х + 15 = 0
Уравнения a b c x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 • x 2 х 2 + 6х - 7 = 0 1 6 -7 -7 1 х 2 -4 х + 3 = 0 1 -4 3 1 3 х 2 -7 х + 12 = 0 1 -7 12 3 4 х 2 - х - 12 = 0 1 -1 -12 -3 4 х 2 + 8 х + 15 = 0 1 8 15 -5 -3
х 2 – 2023х + 2022 = 0.
1 6 12 9 11 8 5 7 4 10 3 2 Кроссворд
1 6 12 к д о 9 11 8 в 5 7 и б 4 о 10 ч д а п к с р с д н ё в д р 3 2 о к а в и е т а р и в п р р т о н н а в т е н и н б ы т е о р е м а о м н д р в й и я д ы ё о ы н н м н й й а ы н н й ы т м Кроссворд
Теорема Виета
1540- -1603 Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры.Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Виета часто называют « отцом алгебры»
Экспериментальным путем выявить зависимость между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами ; Познакомиться с теоремой Виета. Сформировать умения применять её при решении типовых упражнений. Цели урока:
Уравнения a b c x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 • x 2 х 2 + 6х - 7 = 0 1 6 -7 -7 1 х 2 -4 х + 3 = 0 1 -4 3 1 3 х 2 -7 х + 12 = 0 1 -7 12 3 4 х 2 - х - 12 = 0 1 -1 -12 -3 4 х 2 + 8 х + 15 = 0 1 8 15 -5 -3
Уравнения a b c x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 • x 2 х 2 + 6х - 7 = 0 1 6 -7 -7 1 -6 -7 х 2 -4 х + 3 = 0 1 -4 3 1 3 4 3 х 2 -7 х + 12 = 0 1 -7 12 3 4 7 12 х 2 - х - 12 = 0 1 -1 -12 -3 4 1 -12 х 2 + 8 х + 15 = 0 1 8 15 -5 -3 - 8 15
Приведенные уравнения a b c x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 • x 2 х 2 + 6х - 7 = 0 1 6 -7 -7 1 -6 -7 х 2 -4 х + 3 = 0 1 -4 3 1 3 4 3 х 2 -7 х + 12 = 0 1 -7 12 3 4 7 12 х 2 - х - 12 = 0 1 -1 -12 -3 4 1 -12 х 2 + 8 х + 15 = 0 1 8 15 -5 -3 - 8 15
Дано: х 2 + p х + q = 0 . D = p 2 – 4q, D>0 Доказать: х 1 + х 2 = - p , х 1 х 2 = q . Доказательство: х 1 +х 2 = . . х 1 = , аналогично х 2 = . х 1 х 2 =
Если x 1 , x 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0, то x 1 + x 2 = - р, x 1 • x 2 = q. Теорема Виета х 2 +6х+8=0 х 2 -3х-18=0 х 2 +4х-5=0 x 1 + x 2 = - 6, x 1 • x 2 = 8 x 1 + x 2 = 3 x 1 + x 2 = - 4 x 1 • x 2 = -18 x 1 • x 2 = -5 Обратная теорема Если числа m , n таковы, что m + n = - р, m • n = q, то эти числа – корни приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0. х 1 = -2 ; х 2 = -4 х 1 = -3; х 2 = 6 х 1 = 1; х 2 = -5
х 2 – 2023х + 2022 = 0 Решить уравнение x 1 + x 2 = 2023 x 1 • x 2 = 2022 х 1 = 1 ; х 2 = 2022
х 2 + х + 3=0 x 1 + x 2 = -1 x 1 • x 2 = 3 х 1 = ? ; х 2 = ? Проблема? Найти дискриминант. Если D ≥ 0 , то можно применить теорему Виета или обратную ей теорему.
На уроке «Я узнал …» «Я научился …» «Я могу …»
Домашнее задание: п. 24 № 580( 1ст), 581 (а), 583 ( а,б )
"Музыка может возвышать или умиротворять душу, Живопись - радовать глаз, Поэзия - пробуждать чувства, Философия - удовлетворять потребности разума, Инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей, Морис Клайн А математика способна достичь всех этих целей".
Спасибо за урок
Алгоритм нахождения корней приведенного квадратного уравнения Свободный член Предполагаемые корни или Произведение корней или Сумма корней или Второй коэффициент Вывод: корни Найдем корни приведенного квадратного уравнения Найдем корни приведенного квадратного уравнения --------- 2 1;2 3 или -3 3 -1;-2 Свободный член Предполагаемые корни Сумма корней Второй коэффициент Вывод: корни -2 или -1; Х 2 +3х+ 2=0
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Сценарий урока по алгебре "Теорема Виета"
Данный урок является первым по теме “Теорема Виета”.Он проводится по методике развивающего обучения, основным требованием которой является то, что знания не предоставляются учителем в готовом ви...
Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.
Систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о решении уравнений, организовать поисковую деятельно...
Тема урока: Теорема Виета
Презентация к уроку....
Теорема Виета
Разработка плана-конспекта урока, объяснение нового материала...
Тренажёр по «Теореме Виета»
Тренажёр по теме «Теорема Виета» позволяет выработать у учащихся умение "видеть" корни уравнений и избавить их от многократного повторения алгоритма с использованием дискриминанта....
Конспект урока "Теорема Виета" 8 класс
На уроке обьясняется новый материал с использованием презентации....