Экстремумы функции
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, и я запомню.
Вовлеки меня, и я научусь.
Китайская мудрость.

Тема: «Экстремумы функции»

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Класс – 11

Учитель – Шахсуварян А.М.

Цели урока:

Образовательные:

1. Опираясь на знания учащихся по производной функции помочь сформулировать  и осознать определение понятий критических, стационарных точек и точек экстремума; подвести к гипотезе: необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.
2. Создать условие для первичного закрепления учащимися умения  аналитически и графически определять наличие у функции критических, стационарных точек и точек экстремума.
3.  Подготовить учащихся  к сдаче  ЕГЭ.

Развивающие:

Способствовать развитию учебно-познавательной деятельности, логического мышления.

Воспитательные:

1. Сформировать умения наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.
2. Развивать мышление, внимание, речь учащегося.
3. Сформировать обще трудовые умения  в условиях наибольшей ответственности и ограниченности во времени.
4. Воспитывать умение прислушиваться к другому мнению и отстаивать свою точку зрения.

Ход урока:

I. Организационный момент

  Актуализация знаний. «Мозговой  штурм»

Вычислить производную функции:   (задание выполняется самостоятельно)

II. Исследовательская работа.

А) Постройте график  функции:   у = х2 –6х + 8;      

Ответьте на вопросы:

1. Назовите промежутки возрастания и убывания полученного графика.
2. Назовите точку  минимума  функции.
3. Как ведет себя производная вблизи этой точки, при переходе через эту точку? А в самой этой точке?

Сформулируйте гипотезу.

Если производная меняет знак с «-» на «+», а в самой точке равна 0, то данная точка будет точкой минимума функции

Б) Постройте график  функции : у =  - х2 + 4х – 3.

Ответьте на вопросы :

1. Назовите промежутки возрастания и убывания полученного графика.
2. Назовите точку максимума  функции.
3. Как ведет себя производная вблизи этой точки, при переходе через эту точку? А в самой этой точке?

Сформулируйте гипотезу.

Если производная меняет знак с «+» на «-», а в самой точке равна 0, то данная точка будет точкой максимума функции.

III. Работа с учебником. 

Стр. 265 – 266. Найти в тексте сформулированную вами гипотезу.

Прочтите её.

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

Чем мы будем заниматься на сегодняшнем уроке?

( учиться находить точки экстремума функции )

Какая тема нашего урока?

Экстремумы функции. Записали тему  урока.

IV. Сообщение ученицы  

Выдвинутую вами гипотезу доказал французский математик Пьер Ферма  4 века назад.

Пьер Ферма (1601-1665) — французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятностей, исчислению бесконечно малых и оптике (принцип Ферма). Пьер Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной.

V. Необходимый признак экстремума. Учащиеся читают формулировку теоремы

VI. Работа с учебником стр. 267

Найти какие точки называются стационарными, критическими.

(Точки, в которых  производная функции равна нулю, называют  стационарными.

 Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции )

Задание

Работа с сигнальными карточками.

  Если утверждение верно то показать зеленую карточку, если неверно- красную

 Найти по графику точки, с определениями которых вы только, что познакомились.

1.Точка х1 – критическая точка (верно)

                   - стационарная точка (верно)

                   - точка экстремума (верно)

                   - точка максимума (не верно)

2. Точка х2 – критическая точка (верно)

                   - стационарная точка (верно)

                   - точка экстремума (не верно)

                   - точка перегиба (верно)

3. Точка х3 – критическая точка (верно)

                   - стационарная точка (верно)

                   - точка экстремума (верно)

                   - точка минимума (не верно)

4. Всякая критическая точка является точкой экстремума (не верно)

5. Всякая точка экстремума является критической точкой (верно)

6. Всякая стационарная точка является точкой экстремума (не верно)       

VII.  Достаточный признак экстремума.

Для того, чтобы точка х0 была точкой экстремума функции f(х),

необходимо , чтобы х0 была критической точкой функции;

достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х0  производная меняла знак.

Стр. 268  теорема. (учащиеся её зачитывают и дают пояснения, как они её понимают)

VIII. Найти точки экстремума функции f(х) = х4- 4х3 

Составить алгоритм нахождения точек экстремума функции.

1. Найти  область определения функции.

2. Найти f'(x).

3. Найти критические  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить  область определения  и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов

6. Если при переходе через точку х0:

- производная не меняет знак, то х0 точка перегиба;

- производная меняет знак с «+» на «-» , то х0 точка максимума;

- производная меняет знак с «-» на «+», то х0 точка минимума;

7. Записать ответ.

IХ. Работа с  материалами ЕГЭ

1. Функция y = f(x) определена на промежутке (-4; 5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку минимума функции y = f(x).

2. Функция y = f(x) определена на промежутке (- 6; 6). На рисунке изображён график её производной. Найдите точки, в которых производная функции равна нулю  

(Ответ:  х = - 4;    х = - 2;    х = 1;     х = 5).

Х. Итог урока: выставление оценок (по листам самоконтроля)

д/з: п. 50,   № 912 ( 2,4), 913(2,4), 914( 2,4)

рефлексия учащихся

Я умею …

Я знаю …

Хотелось бы лучше научиться …

Мне нравится …

Мне не нравится …

На уроке я чувствовала себя …

С домашней работой я …

Великий философ Конфуций однажды сказал:

«Три пути ведут к знанию: путь размышления - это путь самый благородный,

                                                  путь подражания - это путь самый легкий

                                                  и путь опыта - это путь самый горький».

Выполняя домашнее задание, каждый из вас пройдёт свой путь к знанию.

Дополнительный материал