Конспект урока по математике на тему; "Экстремумы функции и их нахождение."
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

                                    Тема урока: Точки экстремума функции и их нахождение.

   Цель урока: ввести понятие критических, стационарных точек и точек экстремума; закрепить умения учащихся по графику определять наличие у функции критических, стационарных и точек экстремума.                                          

Ход урока

               1. Повторение.

               а) По готовым чертежам назвать промежутки возрастания и убывания функции.

               б) Определить промежутки монотонности функций:

          у=2х+4                                    у=х2-6х+3                                         у= +2

           у῾=2                                           у῾=2х-6                                             у῾=-

       возрастает                      возрастает при хϵ(3;+∞)              убывает при хϵ(-∞;+∞)

    при хϵ(-∞;+∞)                   убывает при хϵ(-∞;3)

           2. Объяснение нового материала.

      На интерактивной доске и у каждого учащегося на листах изображена система координат с графиком функции у=f(x).(Слайд №1)

  Назовите промежутки возрастания функции.

Возрастает при хϵ(-10;-8)                                                Обведите эти участки красным фломастером.

                           хϵ(-4;1)          у῾›0            

                           хϵ(4;7)      

убывает при хϵ(-8;-4)

                      хϵ(1;4)                у῾‹0                                   Обведите эти участки синим фломастером.

                      хϵ(7;10)

-Что происходит в точках х1=-8; х2=-4; х3=1; х4=4?

- Происходит изменение характера монотонности.(на карточках и на доске изобразить мини схемы.)Слайд №2.

- Чему равна производная в этих точках? Касательная к графику функции параллельна оси ОХ (или даже совпадает с осью ОХ), т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна 0.

 f(-8) – наибольшее значение функции. но не во всей области определения, а в локальном смысле, точно также f(-4) наименьшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле.

  При х=7 и х=11 на схемах картина похожа на предыдущие точки, но в этих точках у῾ не существует.

  Определение 1. Точку х=х0 называют точкой минимума функции у=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≥f(x0).

  Определение 2. Точку х=х0 называют точкой максимума функции у=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x)≤f(x0).

    Значение функции в точке минимума обычно обозначают уmin.

    Значение функции в точке максимума обозначают уmax.

    Точки максимума и минимума объединяют общим термином – точки экстремума.

    Как искать точки экстремума?

В точках -8;-4;1;4 – производная равна 0 –стационарные;

                       7;11 – не существует – критические.

     Теорема. Если функция у=f(x)  имеет экстремум в точке х=х0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

   Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.

    Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует – критическими.

     Верна ли обратная теорема: если х=х0 – стационарная или критическая точка, то в этой точке имеется экстремум.

  Посмотрим наш график:

Точка х=-2 – стационарная – экстремума нет;

           х=6 – критическая – экстремума нет.

  Как же узнать есть ли в стационарной или критической точке экстремум?

  Для этого рассмотрим схемы у графика, дописав над осью ОХ у и проанализировав поведение функции в окрестностях точек.

  Наши рассуждения могут служить подтверждением справедливости следующей теоремы.

(учебник стр.185)

   Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х=х0. Тогда:

    а) если у этой точке существует такая окрестность, в которой при х‹х0 выполняется неравенство f῾(x)‹0, а при x>x0 – неравенство f῾(x)>0, то х=х0 – точка минимума функции у=f(x);

    б) если у этой точке существует такая окрестность, в которой при х‹х0 выполняется неравенство f῾(x)>0, а при x>x0 – неравенство f῾(x)<0, то х=х0 – точка максимума функции у=f(x);

    в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х0 экстремума нет.

   Вернёмся к нашим схемам.

На практике этой формулировкой пользоваться неудобно, лучше применять условные схемы для знаков производной.

  Рассмотрим на примере, как найти точки экстремума функции.

       у=3х4-16х3+24х2-11

1. Найдём производную у῾=12х3-48х2+48х – критических точек нет.
2. Приравняем её к нулю 12х3-48х2+48х=0   12х(х2-4х+4)=0 х1=0, х2=2,  0,2 – стационарные точки.
3. Чертим схему

Рассмотрим алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы. (учебник стр.187)

    3. Закрепление.

Выполнить устно 30.17 – 30.20,

В тетрадях 30.26(а,б)

Д/з : 30.26 (в,г)