Урок "Арифметическая и геометрическая прогрессия" (метод проекта)
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии

Цель урока. На конкретных примерах применения арифметической и геометрической прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Задачи урока.

1. Обобщить и закрепить знания по данной теме. Сделать вывод характеристических свойств обеих прогрессий. Установить “родство” арифметической и геометрической прогрессий.
2. Рассмотреть использование математических методов в решении задач с практическим содержанием.
3. Установить, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни.
4. Дать оценку проектного продукта, сделанного учениками “Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни”.

Оборудование урока: Компьютер, видеопроектор, компьютерные презентации, листы с текстами задач и Оценочные листы.

Содержание первого урока.

Учитель: Тема урока “Арифметическая и геометрическая прогрессии в задачах с практическим содержанием” (Слайд 1, Презентация 1). Сформулируйте цель и задачи урока. (После фронтального обсуждения демонстрируется слайд 2 Презентация 1) Прочитайте формулировку цели урока, поставленной на слайде. Как вы ее поясняете для себя?

Учитель: Сегодня у нас необычный урок, урок, на котором две ученицы, которые на протяжении изучения нами темы “Последовательности, выполняли проектную работу, представят и защитят проектный продукт – компьютерную презентацию “Арифметическая и геометрическая прогрессии в окружающей нас жизни”. Вам предстоит включиться в работу, решить задачи по теме урока, дать оценку работы учениц. Для этого у вас имеются листы с текстами задач, Оценочные листы, на ваших компьютерах есть презентация, сделанная ученицами, которую вы сможете просмотреть, чтобы более качественно дать оценку проектного продукта.

Теперь предоставляю слово ученицам (Слайд 3, Презентация 1)

1 ученица. Прежде всего, мы представим свою работу (Презентация 2). Слайд 4 комментирует учитель.

Работа по Презентации 3 – проектному продукту.

2 ученица. Рассказывает о теме работы, об актуальности, цели и задачах работы (слайды 1-8, Презентация 3). В нашей работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Даны примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое – либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Проблемный вопрос: Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий.

Гипотеза исследования: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования: Выяснить:

– когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности – прогрессии;

– какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме. Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях. Установить факты широкого применения интенсивного размножения бактерий в геометрической прогрессии в пищевой промышленности, в медицине, в фармакологии, в сельском и коммунальном хозяйствах. Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни. Методы исследования Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета. Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии и в медицинских справочниках.

1 ученица. Мы просмотрели учебники алгебры для 9 класса различных авторов, по которым занимаются ученики нашей школы и вот что мы выяснили (слайд 10, Презентация 3): в различных современных учебниках есть задачи на прогрессии, но больше всего таких задач в учебнике под редакцией Дорофеева Г.В. .

Мы решили задачи из учебника Мордкович А.Г.. Продемонстрируем некоторые из них (показывают решение задач по слайдам 19-32,Презентация 3).

Учитель: Какой вывод можно сделать по сообщению учениц, необходимый для решения задач с практическим содержанием?

Ученики: При решении задач с практическим содержанием, прежде всего, надо составить математическую модель задачи.

Учитель: Вам предлагается самостоятельная работа по решению задач с практическим содержанием. Задачи на листах (Приложение 1), решение выполняете в рабочих тетрадях. Время работы -20минут. Оценивают работу консультанты. При оценивании обращается внимание на качество решения задач, на оформление решения, на разнообразие задач по содержанию, на количество решенных задач (после урока работы проверяются учителем выборочно). Консультант имеет право задавать вопросы по решению задач. Можно задавать вопросы при необходимости и консультантам, и учителю.

Ученики работают в 5 группах (4 школьника и консультант). В конце урока консультант дает комментарий об уровне знаний по теме ребят своей группы. На это отводится 5 минут урока.

Содержание второго урок.

Учитель: Решая задачи на первом уроке, вы смогли убедиться в том, что действительно прогрессии применяются при решении многих практических задач. На первом уроке по изучению темы “Последовательности” у вас возникли вопросы: зачем нам это надо знать, кто это придумал? Частично ответ сегодня уже получен. Теперь вам предоставляется возможность узнать исчерпывающий ответ на поставленные вопросы.

Работать будем следующим образом. Сначала ученицы прокомментируют свою работу – на это им дается до 15 минут. Затем вы сядете за компьютеры (работать будете в парах) и изучите содержание их работы более пристально и дадите оценку их работы. Оценочный лист у каждого из вас имеется, заполняет его каждый самостоятельно, в конце урока вы сможете высказать свою точку зрения (Приложение 2)

Слово творческой группе.

1 ученица. Прежде всего, мы совершили заочный экскурс в глубь веков, чтобы установить истоки возникновения понятия прогрессии (слайды 34-81, Презентация 3). Сделали выводы: Мы установили, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими. Выяснили, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака, немецкие математики М. Штифель, Н. Шюке и К. Гаусс.

Учитель биологии. На уроках биологии мы уже ни один раз сталкивались с тем, что находили факты, когда нельзя обойтись без знаний по математике. Недаром французский математик Фурье Жак говорил “Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики”. Леонардо да Винчи утверждал “Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства”. Еще одним примером подтверждения этих мыслей великих умов является учебный проект, который сегодня представлен перед вами.

2 ученица. Рассказывает о примерах прогрессий в живой природе (слайды 82-98 Презентация 3) и делает вывод: мы обнаружили, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах.

1 ученик. Рассказывает о примерах прогрессий в банках, в промышленности и делает соответствующий вывод (слайды 99-111, Презентация 3).

2 ученик. Далее ученицы рассказывают о своих находках задач на прогрессии в старых учебниках по математике (слайды 112-122, Презентация 3).

3 ученик. Рассказывает о задачах, которые он нашел в книгах по занимательной математике, обращают внимание на то, что все найденные задачи имеют практическое содержание (слайды 123-134, Презентация 3).

Учитель. Вы выслушали итог работы учеников по теме урока. Сразу на слух оценить работу трудно. Поэтому вы сейчас будете в парах работать за компьютером, еще раз изучать представленную работу. Оценку работы вы делаете каждый по оценочному листу. На эту работу вам отводится 20 минут.

Учитель. Работу закончили. Оценочные листы передали. Мы их проанализируем после урока с консультантами и сделаем окончательный вывод о проделанной работе,

Подводим итог урока. Вернемся к цели и задачам урока (слайд 2 Презентации 1) и сделаем выводы по уроку.

Домашнее задание: Зачетная работа: решите задачи на прогрессии с различным практическим содержанием, решение оформите в любой виде (плакат, презентация, сборник практических задач – на ваш выбор, проявите творческий подход в работе, работа может быть групповая, срок выполнения – неделя)

Сборник задач на прогрессии с практическим содержанием

1. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель

стрелок, получивший 7 штрафных очков?

2. Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

3. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

4. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

5. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 условных единиц (у. в.). а за каждое следующее кольцо платили на 2 у. е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено ещё 40 у. е.. Средняя стоимость изготовления и установки кольца оказалась равной 22 и 4/9 у. е.. Сколько колец было установлено?

6. При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

7. Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если их сумма равна 27, а при уменьшении первого числа на 1, уменьшении второго на 3 и при увеличении третьего на 3, получили геометрическую прогрессию.

8. Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей.  Цены марок  составляют арифметическую прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешевой?

9. В первом ряду кинотеатра 21 кресло, В каждом последующем ряду на 2 кресла больше, чем в предыдущем. Сколько кресел в 40 ряду?

10. Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4см. Периметр многоугольника равен 75см, а наибольшая сторона равна 23см. Сколько сторон имеет данный многоугольник.

11.  Задача Фибоначчи.  Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

12. Задачи о семи старухах. Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?

13. Шли семь старцев. У каждого старца по семь костылей; на каждом костыле по семь сучков; на каждом сучке по семь кошелей; в каждом кошеле по семь пирогов; в каждом пироге по семь воробьёв. Сколько всего воробьёв?

14. Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам?

15. Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии, каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

16. Одно растение одуванчика занимает на земле площадь 1 кв. метр  и даёт в год около 100 летучих семян. а) Сколько кв. км площади покроет всё потомство одной особи одуванчика  через 10 лет при условии, если он размножается  беспрепятственно по геометрической прогрессии?  Хватит ли этим растениям на  11-й год места  на поверхности  суши земного шара?

17. При каждом делении амёбы получается две новые особи. Сколько особей будет после 6 делений? После 10 делений?

18. Гидра размножается почкованием, причём при каждом делении получается 5 новых особей. Какое количество делений необходимо для получения 625 особей?

19. После каждого движения поршня разрежающего насоса из сосуда удаляется 20% находящегося в нём воздуха. Определите давление воздуха внутри сосуда, после 6 движений поршня, если первоначально давление было 760 мм.рт.ст.

20. Тело в первую секунду движения прошло 7 м, а за каждую следующую секунду – на 3 м больше, чем за предыдущую. Какое расстояние тело прошло за восьмую секунду?

21. Из «Арифметики» Магницкого. Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

22.  Из «Арифметики» Магницкого. Садовник продал первому покупателю половину всех яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю – половину оставшихся и ещё пол-яблока; третьему – половину оставшихся и ещё пол-яблока и так далее. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблоки ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

23. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А.. Работники нанялись вырыть колодезь с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий         15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?
24. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А Некто, будучи должен 720 руб., обязался уплачивать этот долг по частям, выдавая каждый месяц 10-ю рублями меньше, чем в предыдущий. Сколько он уплатил в первый месяц и во сколько времени погасил весь свой долг, если в последний месяц ему пришлось отдать 40 р.?

25. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А . Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую, Через сколько секунд тела  встретятся?

26. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А. Числа   градусов,    содержащихся   в       последовательных  внутренних   углах  некоторого многоугольника, составляют прогрессию,  разность которой 10; наименьший угол этого многоугольника 100°. Сколько в многоугольнике сторон?

27. Из «Сборника алгебраических задач» Шапочникова Н.А. Известно, что свободно падающее тело проходит в первую секунду 16,1 фута, а в каждую следующую на 32,2 фута больше, чем в предшествующую. Если два тела начали падать с одной высоты, спустя 5 секунд одно после другого, то через сколько секунд они будут друг от друга на расстоянии 724,5 фута?

28.  За просроченный платеж в 3 млн. р. фирма должна платить пеню в размере 5% ежемесячно от суммы платежа. Сколько должна будет выплатить фирма за трехмесячную задержку?

29. Считая, что костюмы ежегодно дорожают на 50%, определите:

а) Сколько будет стоить через два года костюм, стоивший изначально 500 р.?

б) Известно, что костюм стоит 3375 р. Сколько он стоил три года назад?

Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.:Учебник  для общеобразовательных учебных заведений/ Г.В. Дорофеев , С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева; под ред. Г.В. Дорофеева.-М.:Дрофа, 2000,-352с.)

№ 511, 514, 515, 527(в-г), 539, 540, 542, 543, 563-566, 573-578, 591, 595 - 601, 604, 605, 620,622-626, 628, 638 - 643, 645, 647, 648, 650, 651, 653-659.

Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б./ под ред. С.А. Теляковского . -М.: Просвещение, 2009, -271с. № 581, 582, 583, 598, 614, 616, 629,637, 638, 639, 640, 641, 642, 674 (14 задач).

Алгебра. 9 класс, : Учебник для общеобразовательных учреждений / Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феактистов И.Е. . -М.: Мнеозина, 2008, -447с. № 698, 699,702,725,734, 788, 789

Мое мнение о работе  (что понравилось, чему научились, что узнали, что изменили бы, в чем полезность работы, какая информация, по вашему мнению,  лишняя и т.д.)

          _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________