Числовая последовательность, способы её задания
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Разработка открытого урока алгебры в 9 классе    

Учитель: Естремская Лидия Ивановна

Тема  урока: «Числовая последовательность, способы её задания»

Цели урока:

Образовательные:

сформировать в ходе урока понятие числовой  последовательности; «n-ый член последовательности»; познакомить со способами задания последовательности

Развивающие:

развивать навыки самостоятельного мышления, интеллектуальные навыки (анализ, синтез, сравнение, сопоставление); развивать грамотную математическую речь;

Воспитательные: воспитание творческих способностей  учащихся; повышение интереса к предмету.

Тип урока: урок изучения нового материала

Методы обучения:

словесные (диалог, беседа);

наглядные (работа с презентацией);

частично-поисковые (решение проблемной ситуации);

индуктивные (развитие умения общаться, высказывать своё мнение, доказывать его);

дедуктивные (анализ информации, применение новых знаний  к решению задач, обобщение)

Формы обучения: классная

Форма контроля: самоконтроль и взаимоконтроль;

Учебник/литература: «Алгебра» учебник для 9 класса общеобразовательных школ, авт. Мерзляк А.Г.; Москва, изд. «Вентана-Граф», 2019г

Оборудование: проектор, карточки с заданиями, презентация «Числовая последовательность, способы её задания», творческие проекты учащихся, сигнальные карточки (синие,  зеленые,  красные)

Предполагаемый результат: освоение темы, умение работать в паре.

Ход  урока:

I. Организационный момент: проверка готовности к урокуприсутствующих  учащихся, сообщение темы, цели урока.

II.Мотивация:                                                                                                          

А) Вступительное слово учителя: Я хочу поприветствовать всех участников  урока. В повседневной жизни нам встречаются объекты, с которыми удобно обращаться, если их пронумеровать. Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами , образуют последовательность Слайд 2

Начать урок мне бы хотелось с древней притчи.

Притча

Учитель принес сундук и сказал ученикам:

– Прежде чем учиться, вы должны открыть этот сундук любым спо-

собом.

Ученики столпились вокруг сундука. Один попробовал открыть его с

помощью инструментов, но замок оказался слишком сложным. Другой

принес из дома разные ключи, но ни один из них не подошел. Третий по-

пытался разбить сундук топором, но безуспешно.

– Учитель, может, начнем учиться? – робко спросил один ученик. –

Я изучу разные замки и когда-нибудь открою этот сундук. Но для этого

мне нужны знания и время.

Учитель обнял ученика и объявил:

– Ты прав. Образование – клад, а труд – ключ к нему. Только получив

знания, вы сможете открыть этот клад.Слайд 3

Пусть эти слова будут девизом нашего урока.Работать на уроке вы будете в парах и самостоятельно. По ходу урока вы будете оценивать свою работу каждый получит оценку. За каждое верно выполненное задание вы можете ставить знак «+». В конце урока при подведении итогов подсчитываем количество плюсов и оцениваем свою работу на уроке. За оригинальную идею либо другой способ решения я могу добавить вам «+».

Итак, для начала вам предлагается решить «Логические тесты» (работа в группах, каждому ученику по одному заданию, на выполнение задания – 2 минуты)Слайд 4

*** Найдите закономерность  и заполните таблицы:

 (ученик указывает закономерность: функция куба  натурального числа)

(ученик указывает закономерность: формула нечетного натурального числа)

Слайд 5

После выполнения задания самопроверка по слайду, за верно выполненное задание учащиеся ставят себе «+».

*** Ну а сейчас проверим вашу память и сообразительность.

Через 30 сек. записать  числа в тетрадь, записанные в таблице.

 -2,   5, -10,  20,  -40,  80,  -160,  320, -640  - вы получили некоторую последовательность чисел. Как она получилась?(записанные числа получаются умножением первого числа на последующее  число)

Выводы: понятие «последовательность чисел» будет ключевым на сегодняшнем уроке.

III. Подготовка к восприятию нового материала:

Учитель: постановка проблемы:

В предложенных примерах приведены числовые ребусы, в некоторой последовательности.

Какие события в нашей жизни происходят последовательно?  Приведите примеры таких явлений и событий. Какие ассоциации или образы возникают у вас со словом «последовательность»?  Встречаемся ли мы в жизни с этим понятием?

Ответы учеников(возможные варианты): дни недели, названия месяцев, возраст человека, номер счёта в банке, последовательно происходит смена дня и ночи, последовательно увеличивает скорость автомобиль, последовательно пронумерованы дома на улице и т. д.

Учитель:

«Глоссарий» - слово «последовательность» в словаре Синонимов имеет значение: (слайд)

постоянство,  преемственность,  логичность,  ряд, прогрессия, вереница, череда, цепь, набор, расстановка, стройность, связь, очередь, порядок, очередность, хронология, ступенчатость.

Какие из перечисленных слов соответствуют теме урока, отражают  её смысл, отражают способы задания  числовых последовательностей, свойства числовых последовательностей? На данном этапе урока выберете те слова, которые отражают на ваш взгляд суть темы, выпишите их в тетрадь.

Выводы: числовые последовательности – это ряд чисел, заданных особым способом, обладающие  некоторыми свойствами.

IV. Изучение нового материала:

А) Учитель:Слайд 6

Понятие числа пришло к нам из глубокой древности. Но впервые о числах начал рассуждать Пифагор, который родился на острове Самосе в VІ веке до нашей эры. Пифагор пришел к выводу, что вообще все можно выразить с помощью чисел. «Числа управляют миром»,- говорил древнегреческий ученый Пифагор.  «Все есть число», вторил он себе.  

Пифагор пришел к выводу, что все числа объединяются по определенным признакам и свойствам. Наверно, к такому выводу приходили и египтяне, и вавилоняне, и греки, жившие до него. Но никто из них не ставил вопрос: «А почему так?».

Согласно их философскому мировоззрению, числа управляют не только мерой и весом, но также явлениями,  происходящими в природе,  и являются сущностью гармонии, царствующей в мире, и даже являются душой космоса. Так первым четырем числам – 1, 2, 3, 4 – приписывались значения: 1 –огонь,

2 – земля, 3 – вода, 4 – воздух.Сумма этих чисел – число 10 – изображало весь мир. О числах можно говорить бесконечно много, но что собой представляют числовые последовательности, как они задаются, какими бывают  и какими свойствами обладают, вот над этим нам и предстоит сейчас поработать.

Задача 1:Приближается8 марта! В магазине имеются живые цветы в горшочках в количестве 1000 штук. Каждый день продают по 80 горшочков.  Сколько горшочков останется через 1 день? Через 2 дня?  Через 5 дней?  Продадут ли все цветы к8 марта, если до праздника осталось 13 дней?

Решение: Решая задачу, получили последовательность чисел: 1000,  920,  840,   …..,  600, …., которая описывается функцией: у(n)=1000-80∙n. Тогда, т.к. до 8 марта осталось по условию задачи 13 дней, то 8 марта  продадут последние 40горшочков с цветами.

   Можно привести ещё целый ряд примеров подобных задач, и все они приведут нас к понятию числовых последовательностей.Слайд 7

Определение: Числовой последовательностью называется множество чисел, элементы которого можно пронумеровать: а1, а2, а3, а4, а5, ..., аn, …,

В этом случае говорят, что числа образуют последовательность,которую можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел).

Элементы, из которых составлена последовательность, называются ее членами. Каждый член последовательности пронумерован (при помощи нижнего индекса) и имеет, по крайней мере, один предыдущий член (за исключением первого членаа1последовательности) и один последующий (за исключением последнего элемента в случае конечнойпоследовательности).

Для описания последовательности используются обозначения

{аn} или (аn), где n = 1, 2, .... где anесть элемент или член этой последовательности.

ап-1 -предыдущий член последовательности,

ап+1 - последующий член последовательности

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1, 2, 3, 4, 5,… - последовательность натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, … - последовательность четных чисел;

1, 3, 5, 7, 9, … - последовательность нечетных чисел;

1, 4, 9, 16, 25, …- последовательность квадратов натуральных чисел;

2, 3, 5, 7, 11, …- последовательность простых чисел;

Числовые последовательности могут быть конечными  и бесконечными. Числовая последовательность называется конечной, если число её членов ограничено (конечно). Примером могут служить такие последовательности: последовательность однозначных натуральных чисел, последовательность двузначных натуральных чисел и т.д. Если число членов последовательности неограниченно (бесконечно), то последовательность называется бесконечной числовой последовательностью. Примеры таких последовательности мы уже приводили ранее.

Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

Учитель:  Как вы считаете, как можно задать числовую последовательность? (ответы учащихся –как некоторую функцию, формулой, описанием).

(Слайды 8-11)

Словесный:  Последовательность задана с помощью описания, дающего возможность для любого n указать соответствующий член последовательности.      

Аналитический: Последовательность задана с помощью формулы n-го члена последовательности, по которой для любого n можно вычислить соответствующий член последовательности.

Рекуррентный: Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной (от латинского слова  recurro – возвращаться).Например,   yn = yn-1 + 7. Достаточно для составления формулы, по которой можем записать данную числовую последовательность  указать первый член последовательности  или несколько первых членов.

Учитель: Сегодня мы будем работать с аналитическим способом.

V. Первичное применение знаний:

А) Учитель: А сейчас настало время для физкультминутки.

Физкультминутка

А теперь, ребята, встали,

Быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперёд, назад,

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь за дело.

А дел у нас ещё много.

Б)Тренировочный диктант (Найди закономерность)Слайд12

(взаимопроверка в парах по слайду, за верно выполненную работу учащиеся ставят друг другу «+» на полях тетради)

             Вариант 1 (2)

1.Является ли конечной или бесконечной последовательность делителей числа 1200? (Кратных числа 8?)

2. Является ли конечной или бесконечной последовательность чисел, кратных 6? (Делителей числа 2400?)

3. Последовательность задана формулой an= 5n + 2 (bn= n2-3). Чему равен её третий член?

4. Запишите последний член последовательности всех трёхзначных (двузначных) чисел.

5. Дана рекуррентная формула последовательности an+1 = an- 4, а1=5 (bn+1=bn/4, b1=8). Найдите a2 (b2).

Ответы:

Вариант 1.

1. Конечной.     2. Бесконечной.      3. 17.          4. 999.          5. 1.

Вариант 2.

1. Бесконечной.       2. Конечной.     3. 6.            4. 99.            5. 2.

Выводы: вы проверили свои первичные знания, которые применили на практике, и теперь  мы закрепим полученные знания.

VI. Формирование умений и навыков:

А) Работа с учебником: №694(1,2,3)

Каждая группа выполняет указанные номера из учебника, учитель дает консультацию по необходимости; у доски показывает решение та группа, которая первой закончила работу, остальные проверяют своё решение и предложенное другой группой.

№695(1,2,3)

Учитель: Проверочная работа(8мин)

А знаете ли вы кто такой Гаусс?

 Карл Гаусс (1777 – 1855) – немецкий математик, астроном, геодезист. Он еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. В истории математики известен такой случай. Однажды, а было это в Германии, в конце 18 в., для того чтобы заставить учеников поработать, учитель дал им задание подсчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Какова же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: искомая сумма равна 5050! Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, а ему было тогда 10 лет, стал одним из великих математиков мира. Как же маленькому Гауссу удалось быстро подсчитать сумму?  Маленький  Гаусс решил эту задачу за 1 минуту, сообразив, что 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = …,         101 • 50 = 5050.

Какая задача была предложена Гауссу?

Надо было найти сумму ста первых членов арифметической прогрессии:  

1; 2; 3; …, 99; 100.  S100 = (a1  + a100) • 100/2 = (1 + 100) • 100/2 = 5050.

До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме. Свободно владея множеством языков, Гаусс некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочёл последнюю. Ему принадлежат формулировка и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил английскую, французскую и русскую литературу. В возрасте 62 года Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомиться с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.

В) Самостоятельная работа (10 минут – 8 минут на решение, 2 минуты на самопроверку):учащиеся выполняют работу  в тетрадях, а ответы сверяют с доской (у доски работу выполняют 4 ученика, по одному из каждой группы, затем учащиеся, работающие у доски, осуществляют взаимопроверку, поменявшись вариантом)

Учитель: те, кто выполнил всю работу без ошибки, поставьте себе «+» на поля в тетрадке, и посчитайте все полученные «+» за урок.

Выводы: Мы изучили  сегодня новую, интересную и сложную тему «Числовые последовательности, свойства и способы задания». И сейчас я хочу ещё раз вернуться к словарю Синонимов и попрошу вас ещё раз выбрать те слова, которые вызывают верные ассоциации к слову  «последовательность».

«Глоссарий» - слово «последовательность» в словаре Синонимов имеет значение: (слайд)

постоянство,  преемственность,  логичность,  ряд, прогрессия, вереница, череда, цепь, набор, расстановка, стройность, связь, очередь, порядок, очередность, хронология, ступенчатость.

Учитель: Какие же из перечисленных слов соответствуют теме урока, отражают  её смысл, отражают способы задания  числовых последовательностей, свойства числовых последовательностей? На данном этапе урока выберете теперь те слова, которые полностью отражают на ваш взгляд суть темы, выпишите их в тетрадь.

VII. Подведение итогов урока. Домашнее задание:

Гл.4, п.21 №697,701

Выводы: комментирование оценок  за  урок ,то в журнал будут выставлены только оценки «4 – 5»).

VIII. Рефлексия.

Учитель: Закончить сегодняшний урок мне бы хотелось вот такой притчей.

Притча  о строительстве Храма.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележку с камнями для строительства. Мудрец остановил их и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “Что ты делал целый день?”. Тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго спросил: “А что ты делал целый день?”. Тот ответил: “Я добросовестно выполнял свою работу”.А третий на тот же вопрос мудреца улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием. “А я принимал участие в строительстве храма”.Пусть каждыйиз вас, ребята,  сам оценит свою работу на уроке.

(используются сигнальные карточки)

.

Учитель:Я желаю вам всегда работать с радостью и удовольствием. Спасибо вам за урок, дети. Урок окончен. До свидания!