Числовые последовательности. Пределы функций и последовательностей.
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция № 3 Числовые последовательности. Пределы функций и последовательностей.

Слайд 2

Содержание Геометрический смысл предела последовательности Теорема Вейерштрасса Теорема о единственности предела Свойства пределов

Слайд 3

О 1 (последовательности). Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а 1 , числу 2 – а 2 , числу 3 – а 3 ,……, числу n – a n и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность и пишут: а 1, а 2 , …..а n ,… Иначе а n . числа а 1, а 2 , …..а n ,…называются членами числовой последовательности: а 1 – первый член, а 2 – второй член, а n – n - й член. Рассмотрим предел числовой последовательности О 2 . Число b называется пределом последовательности (а n ), если какое бы положительное число ни взять (это число обычно обозначают  ( эпсилон )) найдется номер N , начиная от которого, (т.е. n  N ) отличие а n от b по модулю будет меньше  , т.е.  а n ­ b  . Пишут: lim а n = b или а n  b а n сходится к b n  ∞

Слайд 4

Геометрический смысл предела последовательности Неравенство  а n ­- b  равносильно двойному неравенству Интервал ( b -  , b +  ) называют  -окрестностью точки b . Если b – предел последовательности а n , то какую бы окрестность точки b не выбрать, вся последовательность, начиная с некоторого номера N , будет изображаться точками, лежащими в этой окрестности. Окрестность точки b – это интервал с центром в точке b . b -  b b +  О 3 . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предел – расходящейся. О 4 . Последовательность может иметь только один предел. О 5 . Последовательность (а n ) называется ограниченной, если существуют два числа m и М такие, число для любого n выполняется неравенство m  a n  M. О 6 . Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называется монотонными.

Слайд 5

Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Примеры: Рассмотрим последовательности: 1) 1 , ½, 1/3, ¼, … , 1/ n , … Чем больше номер члена последовательности, тем меньше этот член отличается от нуля. Последовательность сходится, предел её равен 0., т.е. lim 1/ n =0. n  ∞ 2) ½, 2/3, ¾, 4/5, …, n / n +1,… Члены этой последовательности по мере увеличения номера всё меньше и меньше отличаются от числа 1. Эта последовательность сходится причём lim n / n +1   . n  ∞ Действительно,   . Какое бы не взять  , найдётся номер N такой, что для любого n  N выполняется неравенство n / n +1   . Чтобы найти такое N , достаточно решить неравенство n / n +1   , и взять в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству. т.е. n  1/  - 1, при  =0,01. , n = 100, тогда х 100 =  х 100 - 1  =  - 1  = 3) 2 , 0, 3, 2, 03, 2,. 0, 3,… Эта последовательность не сходится, не имеет предела. Для вычисления пределов последовательностей используют следующие утверждения: а) Последовательность (1/ n ) сходится к числу 0 lim 1/ n = 0 n  ∞ б) Последовательность q n , где  q   , сходится к числу 0. lim 1/ n =0, n  ∞  q   . в) lim а = а n  ∞

Слайд 6

Пример. Вычислить lim n  ∞ Сформулируем определение предела функции в точке. О 7 . Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки a , кроме, быть может самой точки а.. Число В называется пределом функции f ( x n ) в точке а (или при х  а), если для любой последовательности значений аргумента х п  а, n  N сходящейся к а , последовательность соответствующих значений функции f ( x ), n  N , сходится к числу В. Пишут lim f ( x ) = B или f ( x )  B при x  a x  a короче B = lim f ( x ), если lim f ( x ) = B , для любой последовательности x  a x  ∞ х п  а, n  N , сходящейся к а Если же для некоторой последовательности значений аргумента х п  а, n  N , сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f ( x n ), n  N , предела не имеет, то функция f ( x n ) не имеет предела в точке а. Аналогично функция f ( x ) не имеет предела в точке а, если для двух различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к а, последовательности соответствующих значений функции имеют различные пределы. Из определения предела следует, что если f ( x )  a при x  a , то f ( x ) – B  0 при x  a . Введем обозначение  ( х ) = f ( x ) – B . Тогда f ( x )= B +  ( x ), где  ( x )  0 при x  a . Очевидно, что число В является пределом функции f ( x ) при f ( x ) х  a , следовательно, когда f ( x ) можно представить в виде f ( x ) = B +  ( x ), где  ( х )  0 при x  a . Отметим, что точка а, в которой рассматривается предел функции f ( x ), а может и не принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение функции в этой точке.

Слайд 7

Пример 1. Докажем, что предел постоянной функции равен этой же постоянной. Решение. Пусть f ( x ) =С для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а. Тогда для любой последовательности х n такой, что х n  a при х  ∞, имеем f ( x n ) = C и lim f ( x n )= C n  ∞ Следовательно, lim f ( x )= lim C = C х  a х  a Пример 2. Докажем, что для f ( x ) =х lim f ( x n ) = lim x = а х  a х  a Решение. Для любой х n такой, что х n  a при х  ∞ имеем lim f( x n ) = lim x n = а n  ∞ n  ∞ Следовательно, согласно определению предела, lim x = а х  a

Слайд 8

Теорема о единственности предела Функция не может иметь двух разных пределов в точке. Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Пусть в точке х=а функция f ( x ) имеет два различных предела А и В. Согласно определению предела, для любой последовательности значений аргумента х n , n  N , такой, что х n  а и lim x n = а n  ∞ имеем lim f ( x n ) =А, если lim f ( x n ) = В n  ∞ n  ∞ В силу единственности предела последовательности, отсюда получаем равенство А=В, которое протворечит предположению. Следовательно, функция не может иметь двух разных пределов в точке.

Слайд 9

Свойства пределов Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют. lim (f(x)  g(x)) = lim f(x)  lim g(x) х  a х  a х  a Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют. lim (f(x) ∙ g(x)) = lim f(x) ∙ lim g(x) х  a х  a х  a Постоянный множитель можно выносить за знак предела. lim (с ∙ f ( x )) = с ∙ lim f ( x ), если lim f ( x ) существует. х  a х  a х  a Предел отношений двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля lim , если lim g(x)  0 Доказательство. Пусть lim f ( x ) =А, и lim g ( x ) = В  0. х  1 х  a Согласно определению предела функции в точке, для любой последовательности значений х n аргумента такой, что х n  а и lim х n = a , имеем lim f ( x ) =А, и lim g ( x ) = В  0. х  a х  a Используя последние равенства и теорему о пределе частного для сходящихся последовательностей, получаем lim = , т.е. lim , ч.т.д.

Слайд 10

Пример 3. Найти lim (9х 2 – 6х -8) х  1 Решение. Применив свойства о пределе суммы, разности и произведения, получим. Lim (9х 2 – 6х -8) = lim (9х 2 ) - lim (6х) + lim 8 = 9 lim x 2 – 6 lim x + 8 = 9( limx )( limx )-6+ +8=11 х  1 х  1 х  1 х  1 х  1 х  1 х  1 Пример 4. Найти lim Решение. Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Разложим числитель на множители х 2 – 5х + 6 = (х-3)(х-2), так как при нахождении предела в точке 2 рассматриваются лишь х  2, и поэтому lim Пример 5. Вычислить lim Решение. Разделив числитель и знаменатель на х 3 получим: lim , т.к . lim , то воспользовавшись теоремами о пределе суммы произведения, вынесения постоянного множителя, о пределе частного, имеем Выполнить задание: lim (2x -7x+6) x →3 lim (9x -6x+8 ) x→1 lim (5x -3x+7) x →1 lim x→2 lim x → -2 lim (3x +2x +5) x →∞ lim x →∞