Разработка открытого урока по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме: «Окрестность точки. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Предел функции при х→0 »
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Разработка открытого урока

                                         по алгебре и началам анализа

в 10 классе

по теме:

«Окрестность точки. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Предел функции при х→ 0 »

Разработала:

учитель математики

МБУ «Школа №10»

Губарева Мария Валентиновна

                                                   Тольятти 2016

Цели урока:

1. Рассмотреть понятия: окрестность точки, предел функции в точке. Теоремы о пределах функций . Предел функции при .
2. Обеспечить повторение способов вычисления пределов функции в точке и на бесконечности.
3. Сформировать у учащихся практическую значимость навыков вычисления пределов функции.
4. Помочь учащимся систематизировать понятие передела функции в точке и на бесконечности с помощью создания эскизов графика функции.
5. Обогатить опыт учащихся по способам вычисления пределов на примерах.

Тип урока: комбинированный (Совершенствования знаний, умений и навыков, комплексное применение знаний и способов действий, изучение нового материала).

Формирование компетентностей:

Социальная компетентность: самостоятельное решение задач различными способами и выбор более рациональных, самооценка и взаимооценка, работа в группах;  

Коммуникативная компетентность: стимулирование умения учащихся, комментирование решенных задач, взаимопроверка высказывания собственной точки зрения;

Информационная компетентность: использование дополнительной информации; использование компьютера и создание презентаций к уроку, использование таблиц, схем, опорных конспектов.

Формы работы: индивидуальная, групповая, фронтальная

Оборудование: раздаточный материал (карточки с заданиями), лист со схемой: решение задач на доказательство равенства  (на языке ε и δ), листы заданий, плакаты с геометрической иллюстрацией

План урока

1. Организационный момент
2. Актуализация опорных знаний.
3. Постановка целей и задач
4. Усвоение новых знаний и способов действий.
5.  Практическая работа
6. Закрепление умений и навыков.
7. Подведение итогов урока. Рефлексия.
8. Постановка домашнего задания

 Ход урока:

1.Организационный момент

Учитель:

«Здравствуйте, ребята!

Сегодня у нас урок изучения нового, а также мы с вами продолжаем изучать поведение функций в точке и на бесконечности, вновь встретимся с пределами функций. Постарайтесь на сегодняшнем уроке  достигнуть определенных целей.

Цели урока :

1. Систематизировать понятия предела функции в точке и на бесконечности .
2. Научиться применять эти знания на практике, в том числе и  через построение эскизов графиков.
3. Углубить навык вычисления пределов на примерах.
4. Овладеть навыками самооценки.

В течение урока вы, сформулируете одну, две фразы, что вам понравилось на уроке, или что вам запомнилось больше всего, или чему вы научились»

2. Актуализация опорных знаний.

Задачи:

1).Выявить пробелы в знаниях и способах деятельности учащегося:

2).Установить в ходе проверки обнаруженные недостатки;

3). Повторить ранее изученный материал

Учитель:

“Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!”,-говорил Анатоль Франц.

Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшем.

Учитель приглашает трех человек для работы у доски(5минут):

Один учащийся должен записать свойства предела функции при

Другой учащийся получает задание построить график функции по заданным условиям :

1). Функция ограничена сверху;

2).;

3).;

4). ;

5). Функция непрерывна.

Третий ученик вычисляет пределы :

а);

б);

в);

г);

д)

За каждым учеником учитель назначает проверяющего. Одновременно с работающими у доски на местах 4 человека работают по карточкам (время выполнения 5 минут, затем сдают учителю на стол для дальнейшей проверки):

1 карточка:

а);

б);

в).

2 карточка:

а);

б);

в).

3 карточка:

Построить эскиз графика функции для которой выполняются условия:

а);

б);

в) Функция непрерывна;

г)  .

4 карточка:

Известно, что , , , вычислите

а);

б).

 Остальные учащиеся работают фронтально (задание на доске):

Задание 1

На рисунке изображены графики функций. Укажите пределы этих функций при х→+∞, х→-∞.

Учащиеся комментируют решение, а учитель записывает ответы на доске:

Ответы: 2.; ; ; ; ; ; .  

Задание 2 (один ученик поясняет решение у доски остальные поправляют дополняют).Вычислите предел функции  при x→ +∞ и  x→ - ∞ :

f(x)=

Ответ:

 ,.

Затем, назначенные проверяющие оценивают работу тех,кого ранее вызвали к  доске и получают отметки.

3. Постановка целей и задач

Мы с вами повторили геометрическое и аналитическое понятие предела на бесконечности и его свойства, а сегодня познакомимся с понятием предела в точке и одностороннего предела, а также будем  находить их значение графически и аналитически.

4. Усвоение новых знаний и способов действий.

Учитель просит ребят напомнить понятие окрестности и проколотой окрестности. Далее учащимся предлагается рассмотреть геометрическое понятие предела в точке по рисунку на плакате:

Делается вывод, что для всех x из δ-окрестности точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε,ограниченной прямыми y=А+ε и y=А-ε. Далее вместе с учителем учащиеся записывают определение предела в точке на языке ε и δ.

Затем ребятам дается задание доказать на языке ε и δ, что при x→ -1 пределом функции y=  является число -2, пользуясь схемой (схемы доказательства у каждого на столе):

Общая схема доказательства

        Задачи на доказательство равенства

1. Зафиксируем произвольное число ε > 0, задающее окрестность (а-ε; а+ε), т.е.   <σ,    σ = (σ)ε > 0
2. на основании определения предела последовательности составить и решить неравенство с модулем •ε,
3. полученное решение сравнить с неравенством <σ;
4. сделать вывод.

У доски один учащийся по желанию прописывает решение по схеме:

Данная функция не определена при х= -1. Нужно доказать, что при произвольном ε найдется такое δ, что будет выполняться неравенство <ε, если |х+1|<δ. Но при х≠ 2 это неравенство равносильно неравенству |(х-1)+2|<ε или |х+1|<ε. А это значит, что .

Учитель обращает внимание, что в определении предела функции предполагается что x→x0 любым способом: оставаясь меньше чем x0 (справа от x0 ) или колеблясь около точки x0. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x→ x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят понятие одностороннего предела:

  Пусть переменная  x  стремится к  a, оставаясь больше  a, и при этом  . Тогда число  A  называют правосторонним пределом (или пределом справа) функции    и обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае    при  x → a  со стороны меньших значений:

5. Практическая работа (включение учащихся в самостоятельную деятельность под руководством учителя)

После комментирования решения задания и записи определения односторонних пределов , ребятам предлагается составить памятки – шпаргалочки по работе с графиками функций (определение пределов).

Предполагаемый результат:

задание1

Установите для каждой из функций имеет ли она предел в точке x=2, если имеет, то чему он равен?

Ответы: ,,,не существует.

Для вычисления предела функции при x→ 0 выполняются те же свойства предела как и на бесконечности. Учитель предлагает самостоятельно сформулировать свойства предела функции при x→ 0 и записать на доске.

6. Закрепление умений и навыков.

Учащимся предлагается завершить предложения.  («Микрофон»)

Вопросы (устная работа):

1. Отображение, при котором каждому допустимому значению х соответствует единственное определенное значение у? (функция)
2. Множество всех точек плоскости с координатами х и у = f(x) называют…..(графиком функции).
3. Если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции сходится к числу В, то (число В называется пределом функции).
4. Предел суммы функций равен (сумме их пределов).
5. Если последовательность имеет предел, то (она сходящаяся)
6. Если предел функции , то функция называется ( бесконечно малой).
7. Как раскрыть неопределенность вида ? (Надо функцию разложить на множители, затем сократить и подставить а, и вычислить  предел).
8. Если предел функции , то функция называется ( бесконечно большой).
9. Если функция имеет предел, то он (единственный).
10. Предел произведения функций равен (произведению их пределов).
11. Как раскрыть неопределенность вида ? (числитель и знаменатель разделить на переменную в наивысшей степени).
12. Аналитический способ задания функции (это задание формулой).
13. Предел постоянной функции равен (самой этой функции).
14. Предел отношения функций равен (отношению их пределов, если предел делителя не равен 0)

Задание 2 (работа в парах)

По результатам выполнения первого задания, предлагается обратное задание.

Построить эскиз графика функции f, обладающей следующими свойствами:

1) ;        2) ;  3) ;  4) .

Каждый эскиз обсуждается, вывод проговаривается учениками.

Задание 3

 «Задание массивом» с самопроверкой (из предложенного списка примеров необходимо за 5 минут решить наибольшее количество) учащиеся вычисляют пределы в своих тетрадях, затем выполняют взаимопроверку и ставят друг другу отметку, учитель открывает ответы на доске и вновь сверяют ответы, задают вопросы.

7. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Обсуждаются ответы на вопросы, которые у учащихся вызвали затруднения. Учитель выставляет отметки за работу на уроке и отметки за самопроверку.

8. Постановка домашнего задания

Составить творческие отчеты в виде презентаций по ключевому вопросу урока: Нужно ли изучение пределов?  Встречаются ли пределы в жизни, где?

Повторить свойства пределов,  №343 (1,3,5),345(1,3,5,7,9,11,13)

.