Олимпиадные задания по математике для 5-9 классов
олимпиадные задания по алгебре

Часть А

Задачи, оцениваемые в 3 балла

       1. Любую из восьми пятёрок можно перенести в любую свободную клетку квадратной таблицы 4х4. Их надо расположить так, чтобы в каждой строчке и каждом столбце сумма цифр составляла по 10. Какое наименьшее число пятёрок нужно перенести?            

         а) 4;           б) 3;           в) 2;           г) 1;           д) 0.    

        2. Арбуз и две дыни весят 9кг. Арбуз на 1кг легче двух дынь. Сколько весит арбуз?        

            Ответ ____________________________________  

        3. В магазин привезли 3 одинаковые полные коробки: в одной – груши, в другой – яблоки, в третьей – вишни. В какой коробке наибольше число плодов? Ответ обоснуйте.    

           Ответ __________________________________________________      __________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

       4. Какое из чисел обладает такими свойствами: все его цифры различны, число сотен в два раза больше числа единиц, а число тысяч в два раза меньше числа десятков?    

а) 1326;         б) 3468;         в) 3683;         г) 4874;         д) 3462.    

       5. Бабочка села на записанное в тетради верное равенство. Какое число она закрыла?  

           Ответ __________________________________    

       6. Квадрат разрезали на 3 кусочка. Два из них изображены на рисунке справа. Укажите третий кусочек.  

 а)                   б)                в)                     г)                         д)      

       7. В летнем лагере «Орлёнок» Петя решал по 5 задач в день, а Серёжа на одну задачу меньше, чем Петя. Петя решил все задачи за 4 дня. За сколько дней решил эти же задачи Серёжа?    

           Ответ __________________________________    

Часть В

Задачи, оцениваемые в 4 балла

       8. На столе лежала коробка с конфетами. Саша взял оттуда половину конфет, потом половину оставшихся конфет взял Коля. Затем Света взяла из коробки половину того, что там было. После этого осталось 3 конфеты. Сколько конфет было в коробке сначала?  

           Ответ __________________________________      

       9. У Маши было 9 кусочков бумаги. Некоторые она разрезала на три части. Всего получилось 15 кусочков. Сколько кусочков разрезала Даша?  

           Ответ __________________________________    

     10.  Пять карточек с цифрами лежат на столе в таком порядке: 5, 1, 4, 3, 2. За один ход разрешается поменять местами любые две карточки. За какое наименьшее число ходов можно расположить их в порядке: 1, 2, 3, 4, 5.      

           Ответ __________________________________    

      11. Царь Кащей подобрел и решил потратить 50 золотых монет на подарки детям. В сундуке у него хранится 5 ларцов, в каждом ларце по 3 шкатулки, а в каждой шкатулке по 10 золотых монет. Сундук, ларцы и шкатулки заперты на замки. Какое наименьшее число замков потребуется открыть Кащею, чтобы достать 50 монет?      

           Ответ __________________________________    

Часть А

Задачи, оцениваемые в 3 балла

       1. В 2014 году Андрею исполнилось 23 года. В каком году он пошёл в 1класс, если ему тогда было 7лет?    

           Ответ ____________________________________    

       2. Если одно число уменьшить в 2 раза, а другое увеличить в 4 раза, то их произведение:          

а) уменьшится в 2 раза;         в) увеличится в 4 раза;  

б) увеличится в 2 раза;           г) увеличится в 4 раза;          д) не изменится.    

       3. Вася делал домашнее задание по математике 900секунд, затем по русскому – 600 секунд и 300 секунд повторял правило. Сколько времени Вася потратил на уроки?         

а) четверть часа;        в) три четверти часа;    

б) полчаса;                   г) два часа;                     д) три часа.    

       4. Муравей ползёт по поверхности кубика из точки А в точку В по пути, отмеченному стрелками. Чему равна  длина этого пути, если ребро кубика равно 9см?  

           Ответ __________________________________    

       5. Число 147*2 делится на 7. Какая цифра зашифрована значком *?    

           Ответ __________________________________    

       6. На лесной опушке под каждой берёзой растёт по 2 подберёзовика, а на каждом пеньке по 7 опят. Сколько берёз надо обойти, чтобы собрать столько же подберёзовиков, сколько опят растёт на 8 пеньках?  

           Ответ __________________________________  

       7. Не вычисляя определите, делится ли на 2:  

         а) сумма чисел: 378543 + 543921 + 756234 + 7;      

         б) разность чисел: 979338 – 56891 – 1352 – 213.          

 Ответ:  а) ______________________________ ;    

              б) ______________________________ .      

Часть В

Задачи, оцениваемые в 4 балла

       8. Числитель некоторой дроби равен 2014. Чему равен знаменатель этой дроби, если после сокращения дроби получилось число 2?    

           Ответ ____________________________________    

       9. Из 6 спичек можно сложить только один прямоугольник (см. рис). Сколько различных прямоугольников можно сложить, используя каждый раз 14 спичек?  

           Ответ __________________________________      

      10. Две девочки и три мальчика вместе съели 16 порций мороженного. Каждый мальчик съел в 2 раза больше порций, чем каждая девочка. Сколько порций съедят 3 девочки и 2 мальчика с такими же аппетитами?  

           Ответ __________________________________    

      11. Для украшения класса к празднику купили воздушные шарики: синие, красные и зелёные. Некоторые из них длинные, а некоторые – круглые. Все зелёные шарики – круглые, а все длинные – красные. Какой формы синие шарики (круглые или длинные)?    

           Ответ __________________________________    

      12. Чему равна цифра единиц  двузначного числа, если известно, что она равна от цифры десятков?    

           Ответ __________________________________            

Часть А

Задачи, оцениваемые в 3 балла

       1. Где ошибка?

а) 2 + 0 + 0 + 5 = 5 + 0 + 0 + 2;  

б) 2 – (0 – 0 – 5) = 2 + (0 + 0) + 5;          

в) 2 + (0 + 0 + 5) = (2 + 0 + 0) + 5;    

г) 2 + 0 – 0 + 5 = 5 – 0 – 0 – 2;    

д) (2 – 0) – (0 – 5) = (2 + 0) + (0 + 5).    

       2. Не выполняя деления, выясните, делится ли значения выражения:

           37 ∙ 124 + 21 ∙ 124 + 58 ∙ 554   на   678.             

           Ответ __________________________________        

       3. Сколько часов во второй половине первой четверти суток?          

           Ответ ____________________________________    

       4. Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?    

           Ответ __________________________________          

       5. На этой картинке можно увидеть треугольники и квадраты, причём квадратов меньше, чем треугольников. На сколько?    

         Ответ _______________________    

       6. В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?    

           Ответ __________________________________      

       7. Улитка ползёт вверх по столбу высотой 10м. За день она поднимаетсяна 5м, а за ночь – сползает на 4м. За сколько дней она доберётся от подножия до вершины столба?    

           Ответ __________________________________      

       8. Путешественник проплыл по реке на плоту 75км за 25ч. Обратно он вернулся на моторной лодке, собственная скорость 28км/ч. Сколько времени затратил путешественник на обратный путь?    

           Ответ ____________________________________      

Часть В

Задачи, оцениваемые в 4 балла

       9. Какое из этих чисел является одновременно и кубом, и квадратом некоторых целых чисел?    

            а) 8;         б) 27;         в) 36;         г) 64;         д) 125.    

      10. Два художника получили заказ раскрасить 120 тарелок. Первый художник может выполнить заказ за 12 дней, второй – за 8 дней. Верно ли утверждение?      

            а) Первый художник за день раскрашивает на 4 тарелки меньше, чем второй.              

          Ответ ______________.                                                              

             б) Если художники будут работать вдвоём, то пяти дней им хватит, чтобы выполнить заказ полностью.

          Ответ ______________.                            

      11. Среди кошек, обитающих в лагере «Ручеёк», три – пушистые, а две – полосатые. Какое наименьшее количество не полосатых пушистых кошек может быть в лагере?    

           Ответ __________________________________    

      12. На рисунке изображены квадрат и 5 одинаковых касающихся кругов. Площадь каждого из кругов равна 1. Вершины квадрата расположены в центрах внешних кругов. Чему равна площадь закрашенной части?  

           Ответ __________________________________    

Часть А

Задачи, оцениваемые в 3 балла

       1. Если число 2005 умножить само на себя 2005 раз, то последние две цифры произведения будут равны:      

            а) 05;         б) 15;         в) 25;         г) 45;         д) 75.    

       2. На белой доске 5х5 Федя закрасил какие – то клетки синим цветом, а какие – то красным (каждым цветом закрашена хотя бы одна клетка). Никакие две клетки красного и синего цвета не имеют общей стороны. Какое наибольшее число клеток могло быть закрашено?                

           Ответ __________________________________      

       3. Если сумма трёх последовательных положительных целых чисел равна 99, то произведение цифр первого из них равно:              

           Ответ __________________________________          

       4. В треугольнике АВС угол А в три раза больше угла В и равен половине угла С. Тогда угол А равен:  

           Ответ __________________________________          

       5. Какое из следующих равенств означает, что т составляет 30% от k?        

а) 10т – 7k = 0;           в) 3т – 10k = 0;          д) 7т – 3k = 0.    

б) 10т – 3k = 0;           г) 7т – 10k = 0;          

       6. Сколько различных имеется среди чисел:  

1 : (2 : (3 : 4));             (1 : 2) : (3 : 4);               1 : ((2 : 3) : 4);   ((1 : 2) : 3) : 4;             (1 : (2 : 3)) : 4?  

                 Ответ __________________________________        

       7. Во дворе живут два кота и две собаки. Кот Малыш боится обеих собак, а кот Тоша  боится Шарика и дружит с Бобиком. Какое из утверждений неверно?

       а) Каждый из котов боится какой то из собак;    

      б) Есть кот, который не боится какой то из собак;  

      в) Есть собака, которую боятся оба кота;  

       г) Есть собака, которую не боится ни один из котов;

      д) Каждая из двух собак вызывает страх у какого – то из котов.        

       8. За один ход Серёжа поворачивает квадрат с закрашенным треугольником вокруг точки Р (как показано на рисунке). В каком положении будет треугольник после 17 ходов?    

Часть В

Задачи, оцениваемые в 4 балла

       9. Сколько существует двузначных чисел, которые при перестановке цифр увеличиваются не менее, чем в три раза?            

            Ответ __________________________________          

      10. В семье четверо детей, им 5, 8, 13, 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Одна девочка ходит в детский сад, Таня старше Юры, а сумма лет Тани и Светы делится на три. Сколько лет Лене?      

           Ответ ___________________________            

      11. Сумма пяти различных натуральных чисел равна 100. Каким может оказаться наибольшее из этих чисел?     

.           Ответ __________________________      

      12. На рисунке изображен план вольера в зоопарке. Все

             углы на плане – прямые. Какова площадь вольера?      

            Ответ __________________________________      

Часть А

Задачи, оцениваемые в 3 балла

       1. Яблоко и апельсин вместе весят столько же, сколько груша и персик. Яблоко вместе с грушей весят меньше, чем апельсин с персиком, а груша вместе с апельсином весят меньше, чем яблоко с персиком. Какой из фруктов самый тяжёлый?              

           Ответ __________________________________

       2. В классе сидят мальчики и девочки. Если в класс войдут ещё 10 мальчиков, то всего мальчиков станет вдвое больше, чем девочек. Сколько девочек должны выйти из класса, чтобы среди оставшихся ребят оказалось вдвое больше мальчиков, чем девочек?

           Ответ __________________________________

       3. На рисунке изображены квадрат и пять одинаковых кругов. Вершины квадрата расположены в центрах внешних кругов. Тогда отношение площади закрашенной части кругов к площади их не закрашенной части равно:    

           Ответ __________________________________

       4. Катя и четыре её подружки разделили между собой несколько конфет. В результате оказалось, что у всех девочек разное число конфет, а общее число конфет у Кати и двух девочек больше, чем общее число конфет у остальных двух. Какое самое маленькое число конфет может быть у Кати?

           Ответ __________________________________

       5. Сколько двузначных чисел обладают таким свойством: если переставить местами их цифры, то они увеличиваются не менее, чем в три раза?  

           Ответ __________________________________    

       6. Если разделить 5050 на 2525, то получится:            

                 Ответ ____________________          

       7. На рисунке изображены равносторонний треугольник и правильный пятиугольник. Найдите угол  х.    

           Ответ ____________________      

       8. Вокруг прямоугольного сквера проложена дорожка, которая на всём своём протяжении имеет одинаковую ширину. Наружная граница дорожки на 8 метров длиннее внутренней. Чему равна ширина дорожки?

            Ответ __________________________________          

Часть В

Задачи, оцениваемые в 4 балла

       9. Числа а и b таковы, что 4 ≤ а ≤ 6, 1 ≤ b ≤ 2. Какое из следующих чисел обязательно меньше 9?

 а) 3а – 2b;    б) а + 2b;    в) 3а – b;     г) 8b  – 2а;     д) 13b  – а.        

      10. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС нашлась такая точка М, что

∠МСА – ∠МАВ = ∠В. Что можно утверждать об этом треугольнике?          

а) он равносторонний;         б) один из его углов прямой;  

в) боковая сторона больше основания;  

г) угол при вершине В – тупой.        

      11. Диагональ делит четырёхугольник с периметром 31см на два треугольника с периметрами 21см  и 30см. Какова длина этой диагонали?  

           Ответ __________________________        

      12. Два прямоугольника ABCD и DBEF расположены так, как показано на чертеже. Какова площадь прямоугольника DBEF?          

            Ответ ________________________      

  №

кл

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

5кл

г) 1

4кг

вишни

д) 3462

944

б)

5дней

24 конф.

3куска

3хода

8замков

-

6кл

1998г

Увел в 2 р

б) полчаса

45см

4

28 берёз

а) нет

б) да

1007

3прямоуг

14порций

круглые

3  (83)

7кл

г)

да

3часа

11чурб.

На 2

29дней

6дней

5,5суток

3часа

г)64

а) нет

б) да

1кошка

2круга

8кл

в) 25

23клетки

6 (32,33,34)

54о

б)

10т – 3k =0

4 числа

г)

(А)

6 чисел

15лет

90

3ab

9кл

персик

5 девочек

2 : 3

5 конфет

6 чисел

10025

132о

1 метр

г) 8b – 2а;

в)

10см

12см2