Олимпиадные задания по математике с решениями, 8 класс
олимпиадные задания по математике (8 класс)

1. Сколько решений имеет ребус: ЗАДАЧА + ЗАДАЧА = ТУРНИР ? Ответ обоснуйте.

Решение. Сложение А+А должно быть выполнено в трех различных разрядах, при этом результаты записываются тремя различными буквами– У, Н и Р. Но это невозможно, так как А+А может принимать только два разных значения– эта сумма является либо некоторым четным числом (если нет переноса из предыдущего разряда), либо следующим за ним нечетным (если есть перенос единицы из предыдущего разряда). Переноса двух единиц быть не может.

Комментарий. Если  приведён только ответ – 0 баллов.

2. Сколько существует трехзначных чисел, у которых цифра десятков равна удвоенной цифре единиц?

Решение. Цифру сотен можно выбрать 9 способами. Цифра единиц не более 4, так как при удвоении должна снова получиться цифра. Значит, способов выбора 5. Всего, по правилу умножения, 9 способов.

Ответ: 9

Комментарий. Если пример решен методом полного перебора, то должны быть выписаны все числа и объяснено, почему других нет.

3. Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?

Решение.

Пусть х – одно из чисел, у – другое число, то получим уравнение:

(х-2)2 – (у-2)2= 18. Упростив левую часть уравнения, получим:

х-у =  - 3.

Разложив на множители  х2 – у2, получим, что х +у = -2.

Комментарий. Если ответ получен подбором чисел, то решение оценивается в 1 балл.

4. Докажите, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то один из его углов равен .

Решение. Пусть треугольник АВС, медиана АК. Тогда треугольник АВК равнобедренный, следовательно . Аналогично, . Тогда по теореме о сумме углов треугольника .

Комментарий. За доказательство или использование обратного утверждения – 0 баллов

5. Решение. 

Если среди островитян есть индеец, то всего индейцев 2 или 3. Тогда есть бледнолицые и они лгут. Значит, 2 индейца быть не может. Только 3.

Если среди островитян нет индейцев, то всего индейцев 0 и бледнолицые лгут.

Ответ: 0 или 3.

Комментарий. Если только ответ без обоснования – 0 баллов. Если

обоснован только один верный ответ – 3 балла.