10 олимпиадных заданий по математике для 6 класса( с решением)
олимпиадные задания по алгебре (6 класс) на тему

Банк олимпиадных заданий

по математике для 6 класса

Авторы:

Филонова Лариса Ивановна, МБОУ Платоновская СОШ Рассказовского района;

Тумакова Елена Семеновна, МБОУ Платоновская СОШ;

Ильичева Ирина Николаевна, МБОУ Платоновская СОШ;

Богданова Людмила Александровна, Саюкинский филиал МБОУ Платоновской СОШ;

Дьякова Эугения Станиславовна, Рождественский филиал МБОУ Платоновской СОШ

Место прохождения стажировки: МАОУ «Лицей № 29», г. Тамбов

Организатор стажировки: Калужина Татьяна Николаевна

Задача 1. Расшифруйте запись примера на сложение, где одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры:

            А Б В Д

        +  А Б Г Д

         В Д Г А Д

Ответ:

            5 2 1 0

        +  5 2 4 0

         1 0 4 5 0

Задача 2. Докажите, что если цифры десятизначного числа выписать в обратном порядке, то полученное число не будет в три раза больше исходного.

Решение.

Предположим, что такое число нашлось. Его первая цифра может быть 1, 2 или 3 (потому что иначе в три раза большее число будет одиннадцатизначным).

Если первая цифра 1, то последняя – 7 (так как иначе при умножении на три на конце получится другое число – см. таблицу умножения на 3). Но тогда обращённое число получается более чем в три раза превосходит исходное.

Если первая цифра – 2 или 3, то последняя – 4 или 1, поэтому обращённое число получается слишком мало.

Задача  3. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?
Решение.

Сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37. 
Ответ: на тридцать седьмое место

Задача 4. Есть 10 монет, среди них ровно две фальшивые. Детектор R7 за одну операцию исследует три монеты и указывает на одну из них. Известно, что детектор не может указать на настоящую монету, если среди тестируемых монет есть хотя бы одна фальшивая. Как за шесть тестов выявить обе фальшивые монеты?

Решение.

Выберем три кучки по три монеты, протестируем каждую из них, и возьмём те три монет, на которые указал детектор. Среди них, очевидно есть хоть одна фальшивая. Протестируем эти монеты и таким образом определим одну из фальшивых. Вторая фальшивая монета может быть только среди тех четырёх монет, с которыми тестировалась найденная фальшивая или быть той монетой, которая ещё не была задействована. Среди этих пяти монет за два теста определить одну фальшивую уже совсем легко (каждый тест выявляет две настоящие монеты).

Задача 5.  Яйцо варится 9 минут. Как отсчитать это время с помощью двух песочных часов по 5 минут и 7 минут?

Решение.

1 способ: Одновременно запускаем часы по 5 минут и 7 минут. Через 5 мин. (когда кончится песок в 5 мин. часах) начинаем варить яйцо. Через 2 мин. кончится песок в7 мин. часах; перевернем их. Когда в них опять кончится песок, яйцо будет готово.

2способ: Варить яйцо начинаем одновременно с запуском двух песочных часов по 5 минут и 7 минут. Через 5 минут переворачиваем пяти минутные часы, а еще через 2 минуты (когда семи минутные часы станут пустыми) переворачиваем пяти минутные часы еще раз.

Задача 6. На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

Решение.

 Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам. 

Ответ: 49 километров.

Задача 7. На доске написано пять двузначных натуральных чисел. Чебурашка каждую минуту прибавляет ко всем числам единицу или (тоже ко всем числам) двойку. После того, как Чебурашка увеличивает числа, К. Гена может стереть какое-нибудь число, делящееся на 13, или число, сумма цифр которого делится на 7 (если, конечно, такое число на доске есть). Докажите, что при любых действиях Чебурашки Гена через некоторое время сумеет стереть с доски все числа.

Решение.

Гена может найти пять пар не более чем пятизначных соседних чисел, так, чтобы в каждой паре он мог стереть любое число. Чебурашка сможет «провести» через одну такую пару не более одного числа, а значит все пять чисел Гена сможет стереть.

Подобных пар очень много, например годятся пары 142 и 143, 312 и 313, 3120 и 3121, 1312 и 1313, 69999 и 70000…

Задача 8. На одной стороне улицы разбитых фонарей стояло 150 фонарей, причём среди любых трёх фонарей, стоящих подряд, хотя бы один был разбит. После того, как электрик Петров починил несколько фонарей, среди любых четырёх фонарей, стоящих подряд, осталось не более одного разбитого. Докажите, что электрик починил не менее 25 фонарей.

Решение.

1 способ. Разобьём фонари на 25 шестёрок подряд стоящих, и докажем, что в каждой из них был починенный фонарь. Предположим, что в какой-то шестёрке ни один фонарь не был починен. В такой шестёрке не менее двух разбитых фонарей (поскольку в каждой из двух троек, составляющих шестёрку, был разбитый фонарь), между которыми не менее трёх работающих фонарей (так как иначе можно будет указать четыре фонаря, среди которых хотя бы два разбитых). Но как раз трёх работающих фонарей подряд стоять и не может.

2 способ. Посмотрим на фонари до прихода электрика. В каждой тройке подряд стоящих фонарей есть хотя бы один испорченный, значит всего испорченных фонарей не менее 50. Пронумеруем первые 50 испорченных фонарей слева направо и разобьём на пары: 1-й со 2-м, 3-й с 4-м, и т.д. (всего 25 пар) Между фонарями одной пары все фонари целые, а значит их не более двух. Поэтому один из испорченных фонарей, входящих в одну пару, надо починить.

Задача 9. На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?
Решение.

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота. 
Ответ: суббота.

Посмотрим на фонари до прихода электрика. В каждой тройке подряд стоящих фонарей есть хотя бы один испорченный, значит всего испорченных фонарей не менее 50. Пронумеруем первые 50 испорченных фонарей слева направо и разобьём на пары: 1-й со 2-м, 3-й с 4-м, и т.д. (всего 25 пар) Между фонарями одной пары все фонари целые, а значит их не более двух. Поэтому один из испорченных фонарей, входящих в одну пару, надо починить.

Задача  10 . Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?
Решение. Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь. Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит,  среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит, третий ответил «Нет». 
Ответ: «Нет».

Критерии оценивания.

Все задания оцениваются, исходя из 7 баллов.

7 баллов – верное решение,

6 баллов – решение с недочетами,

4-5  баллов – в основном решение верно, но неполно или содержит непринципиальные ошибки,

1-3 балла – решение в целом неверно, но содержит более или менее существенные продвижения в верном направлении.

0 баллов – решении неверно или отсутствует.