КОРНИ. СТЕПЕНИ. ЛОГАРИФМЫ
материал по алгебре

Глава 2. Алгебраические выражения

2.1. Многочлены

2.1.1. Одночлены и многочлены

Алгебраическое выражение − это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и скобок.        

Простейшим алгебраическим выражением является одночлен.  Одночленом  называется выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения, и при этом не содержит никаких других действий с этими числами и переменными. Например, 5a, 4xy2(-3xz)  − одночлены, а выражения   a + b,   − не одночлены.

Одночлен называется представленным в стандартном виде, если он представлен в виде произведения числового множителя на первом месте и степеней различных переменных. Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена, сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена. Ясно, что произведение одночленов также будет одночленом; ясно также, что одночлен в некоторой натуральной степени также является одночленом. Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводят к стандартному виду.

Пример 1.

Привести к стандартному виду одночлены: 1)  5a;   2)  4xy2(-3xz)   

Решение

1)  5a =     

2) 4xy2(–3xz) = –12x2y2z.

Ответ. 1)   2) –12x2y2z.

Два одночлена, приведённых к стандартному виду, называются подобными, если они совпадают или же отличаются только числовым коэффициентом. Сложение и вычитание подобных одночленов называется приведением подобных слагаемых.

Пример 2.

Привести подобные члены в выражении  

Решение

Ответ. 2xy2.

Многочленом называется сумма одночленов. Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду, то говорят, что это многочлен стандартного вида. Алгебраическое выражение, не содержащее операции деления и извлечения корня (такое выражение называется целым), всегда может быть приведено к многочлену стандартного вида.  Степенью многочлена называется наибольшая из степеней его слагаемых.

- 1 -

Пример 3.   Привести к многочлену стандартного вида (a – b)(a + b).

Решение

Имеем (a – b)(a + b) = (a – b) · a + (a – b) · b = a2 – ba + ba – b2 = a2 – b2.

Ответ. a2 – b2.

Пример 4.

Привести к многочлену стандартного вида (a2 – ab) – (3ab – 2a2 – 5b(a + b2)).

Решение

(a2 – ab) – (3ab – 2a2 – 5b(a + b2)) = a2 – ab – 3ab + 2a2 + 5ba + 5b3 = 3a2 + ab + 5b3.

Ответ. 3a2 + ab + 5b3.

2.1.2. Формулы сокращённого умножения

Приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения  формул сокращённого умножения. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения:                                a2 – b2 = (a + b)(a – b),

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2,

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2),

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2),

 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b),

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b).

Пример 1.   Упростите выражение (2x3 – 5z)(2x3 + 5z).

Решение

Воспользуемся формулой разности квадратов, получим: 

(2x3 – 5z)(2x3 + 5z) = (2x3)2 – (5z)2 = 4x6 – 25z2.

Ответ. 4x6 – 25z2.

2.1.3. Разложение многочлена на множители

Если  преобразовать многочлен так, чтобы он был представлен в виде произведения нескольких сомножителей, то такое тождественное преобразование называется  разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен  делится на каждый из этих сомножителей. При разложении многочленов на множители применяют три основных приёма: вынесение множителя за скобку, использование формул сокращённого умножения и способ группировки.

1. Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b). Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.

Пример 1.   Разложить многочлен на множители 12y3 – 20y2.

Решение

Имеем: 12y3 – 20y2 = 4y2 · 3y – 4y2 · 5 = 4y2(3y – 5).

Ответ. 4y2(3y – 5).

2. Использование формул сокращённого умножения. Формулы сокращённого умножения позволяют довольно эффективно представлять многочлен в форме произведения.

- 2 -

Пример 2.  Разложить на множители многочлен x4 – 1.

Решение

Имеем: x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1) = (x2 – 12)(x2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1).

Ответ. (x + 1)(x – 1)(x2 + 1).

3. Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. Он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.

Пример 3. Разложить на множители многочлен x3 – 3x2y – 4xy + 12y2.

Решение

Сгруппируем слагаемые следующим образом: x3 – 3x2y – 4xy + 12y2 = (x3 – 3x2y) –

 -  (4xy – 12y2).  В первой группе вынесем за скобку общий множитель x2, а во второй − 4y. Получаем:  (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2) = x2(x – 3y) – 4y(x – 3y).

Теперь общий множитель (x – 3y) также можно вынести за скобки: 

x2(x – 3y) – 4y(x – 3y) = (x – 3y)(x2 – 4y).

Ответ. (x – 3y)(x2 – 4y).

2.1.4.   Квадратный трёхчлен

Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен ax + b, где а  0 и a, b − числа, x − переменная, называется  многочленом первой степени.  Многочлен ах2 + bx + c,  где а  0 и a, b, c − числа, x − переменная, называется   многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).   Многочлен ах3 + bx2 + cx + d,  где а  0  и  а,  b,  c,  d  − числа, x − переменная, называется  многочленом третьей степени.        

 Вообще, многочлен вида  Pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0, где аn  0 и  ak, k = 0,1,2,…,n  − числа, x − переменная, называется  многочленом  n-ной степени.

Традиционно аn  называется старшим коэффициентом, а  аo  − свободным членом  многочлена.        

 Степенная функция

- 3 -

 Действительное число a называется  корнем  многочлена Pn (x), если Pn (a) = 0.        Корень многочлена первой степени легко угадывается: x = - .   В самом деле:  a + b = - b + b = 0.   Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым  методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена: 

Выражение D = b2 – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена.

Обозначим

    и       

Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид: 

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

Отсюда непосредственно видно, что числа x1 и x2 являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой   разложения квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен раскладывается на множители в том случае, если D ≥ 0.

Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен  ax2 + bx + c  не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Пример 1.  Разложить на множители квадратный трехчлен x2 – 4x + 3.

Решение

1 способ. По формулам     и   ,  где  D = b2 – 4ac,  найдём корни данной квадратичной функции:  x1 = 1 и x2 = 3. Применяя формулу для разложения квадратичной функции на множители, получаем: 

x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x - 3).

2 способ. Применим непосредственное выделение полного квадрата. 

x2 – 4x + 3 = x2 – 4x + 4 – 1 = (x – 2)2 – 1 = (x – 2)2 – 12 = (x – 2 + 1)(x – 2 – 1) =

=  (x – 1)(x – 3).

Ответ. (x – 1)(x – 3).

В дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни,  но покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Пользуясь понятием комплексного числа, как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение: 

   всегда имеет два комплексных корня: 

Очевидно, что при условии, что a, b, c – действительные числа, корнями квадрат-

- 4 -

ного трехчлена могут быть:

• два различных действительных числа;
• одно действительное число;
• сопряженные  комплексные числа.

Пример 2.   Решите уравнение  

Решение

Вычисляем дискриминант: 

Формула корней даёт: 

Ответ. 

Теорема Виета

Если квадратный трёхчлен ax2 + bx + c,  где а  0,  имеет корни, то справедливы следующие соотношения: 

2.2.   Корни и степени

2.2.1.  Степень с целым показателем

Пусть a − любое действительное число; n − натуральное число, большее единицы. Назовем  n-ной степенью числа a  называется произведение n множителей, каждый из которых равен a. Если n = 1, то по определению считают, что a1 = a. Число  a  называется  основанием степени,  число n − показателем степени.        

Справедливы следующие свойства степени:

1. an · ak = an + k.
2. an : ak = an – k, если n > k.
3. (an)k = ank.
4. an · bn = (ab)n.

Например,        

По определению полагают, что a0 = 1 для любого a ≠ 0.  Нулевая степень числа нуль не определена.

По определению полагают, что если a  0,  n − натуральное число, то 

Справедливо равенство.  Например, 

Совершенно аналогично вводится понятие степени рациональных выражений. Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, нужно отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно − знаменатель: 

- 5 -

Пример 1.  Преобразовать в дробь степень 

Решение

Ответ. 

Возведение рациональной дроби в отрицательную степень происходит по следующей формуле:

Пример 2.  Преобразовать в дробь степень 

Решение

Ответ. 

2.2.2.  Корень  n-ной степени

Пусть  a  0  и n  N, n  1. Тогда существует единственное неотрицательное число x такое, что выполняется равенство xn = a.  Это число называется  арифметическим корнем n-ной степени  из неотрицательного числа и обозначается .  При этом число a называется подкоренным числом, а число n − показателем корня. Вместо слова «корень» часто говорят радикал. Если n = 2, то обычно пишут просто:    При n = 2 арифметический корень называется квадратным корнем, при n = 3 говорят о  кубическом корне.

Итак, по определению: 

Отсюда следует, что  = a.  Например, 

При k, n  N, n  1, k  1  справедливы следующие свойства корней.

- 6 -

Невозможно ввести понятие корня чётной степени из отрицательного числа. Однако определить понятие корня нечётной степени из отрицательного числа всё же возможно. В самом деле, пусть a < 0, а n − нечётное число, тогда существует единственное число x такое, что  xn = a.  Это число и называется корнем нечётной степени из отрицательного числа. Оно обозначается точно так же: .   Например,    

Пример 1.   Упростить: 1)   2)   3) 

Решение

1)     2)   3) 

Ответ. 1) ;  2)  3) 

Пример 2.   Упростите выражения 1)  2)  3) 

Решение

1)   2) 

3) 

Ответ. 1)  2)  3) 

2.2.3.  Степень с произвольным показателем

Пусть теперь  a  0,  m, n  N, n  2.   По определению полагают, что 

Если же a > 0, то по определению полагают, что 

Понятие  нецелой степени отрицательного числа не имеет смысла.

Пример 1.  Вычислить 1)  2)  3) 

Решение

1)    2) 

3) 

Ответ. 1) 3; 2) ; 3) 4.

- 7 -

Пусть a > 0, b > 0, r, s − любые рациональные числа. Тогда степень с любым рациональным показателем обладает следующими свойствами.

1. ar · as = ar + s.
2. ar: as = ar – s. 
3. (ar)s = ars.
4. ar · br = (ab)r.

Пример 2.  Упростите выражения 1)       2) 

Решение

1) 

2) 

Ответ. 1)  2) x – y.

Итак, для a > 0 мы определили степень с любым действительным показателем.

Пусть a > 0, b > 0, x и y − любые действительные числа. Тогда справедливы следующие свойства степени с любым действительным показателем:

1. ax · ay = ax + y.
2. ax: ay = ax – y.
3. (ax)y = axy.
4. ax · bx = (ab)x.

Выше мы определили значение выражения ab для всех вещественных a > 0 и всех вещественных b. Теперь мы можем определить степенную функцию.

2.2.4.  Степенная функция        

Степенной функцией с вещественным показателем a называется функция   y = xa, x > 0.        

Заметим, что для натуральных a степенная функция определена на всей числовой оси. Для произвольных вещественных a это невозможно, поэтому степенная функция с вещественным показателем определена только для положительных x.

К основным свойствам степенной функции y = xa при a > 0 относятся:

1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
4. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1 < x2,  то   <  .
5. График степенной функции при a > 0 изображён на рисунке.

К основным свойствам степенной функции y = xa при a < 0 относятся:

- 8 -

1. Область определения функции − промежуток (0; +∞).
2. Область значений функции − промежуток (0; +∞).
3. Для любых a график функции проходит через точку (1; 1).
4. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть если x1 < x2,  то   >  .  
5. График степенной функции при a < 0  изображён на рисунке.

Справедливы следующие свойства степенной функции:

3.  если n > k.

Рисунок

Степенная функция y = xa  при a > 0  и  при a < 0

4.  на участке x > 1, если 
5.  на участке 0 < x < 1, если 

2.2.5.    Показательная функция

В § 2.2.4  мы определили значение выражения ax для всех a > 0 и всех x. Если a = 1, то ax = 1 при всех x. Следовательно, при a > 0, a ≠ 1, определена функция y = ax, отличная от постоянной. Эта функция называется  показательной функцией с основанием a. К основным свойствам показательной функции  y = ax  при  a > 1  относятся:

1. Область определения функции − вся числовая прямая.
2. Область значений функции − промежуток 
3. Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x1 < x2,   то 
4. График показательной функции с основанием a > 1 изображён на рисунке.

К основным свойствам показательной функции  y = ax  при 0 < a < 1 относятся:

1. Область определения функции − вся числовая прямая.

- 9 -

2. Область значений функции – промежуток       
3. Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то есть, если x1 < x2,  то >        
4. График показательной функции с основанием 0 < a < 1 изображён на рисунке.

    Рис.  Функция y = ax при a > 1                        Рис.  Функция  y = ax при 0 < a < 1

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при  а > 1  относятся:

1.     для всех x1 и  x2. 
2.      для всех x1 и  x2. 
3.       для любого x.
4.    для любого x и любого  nN, n 1.
5. (ab)x = axbx    для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.
6.     для любых a, b > 0, a, b ≠ 1.

Все эти свойства следуют из свойств операции возведения в степень.

Пример 1.   Упростите выражение 

Решение

Имеем    
                         

Ответ. 0.

Пример 2.    Решите уравнение: 1)  2) 

Решение.

1) Приведём уравнение к виду     Имеем.  Отсюда получается

- 10 -

2)      

Сделаем замену переменной  t = 2x.  Тогда получается квадратное уравнение

 t2 – 3t + 2 = 0 ,   корни которого t1 = 1 и t2 = 2.  Таким образом, либо 2x = 1,  то есть  2x = 20  и x = 0, либо 2x = 2 ⇔  2x = 21,  то есть x = 1.

Ответ. 1)  x = ,   2) x = 0, x = 1.

           2.3. Логарифмы

2.3.1. Понятие логарифма

Логарифмом числа b по основанию a (b > 0, a > 0, a1) называется показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b: 

Это равенство, выражающее определение логарифма, называется основным логарифмическим тождеством. Равенство  = x  означает, что ax = b. Из определения логарифма получаются следующие важные равенства: 

Эти тождества следуют из равенств   и       Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение = lg x  и  называется десятичным логарифмом. Для десятичных логарифмов справедливы равенства: 

Логарифм по основанию e имеет в математике большое значение. Число  е  приблизительно  равно 2,7.  Более точное выражение:   однако, само число e является иррациональным. Для логарифма по этому основанию также существует специальное обозначение  = ln x  и название натуральный логарифм. Среди свойств числа e, в частности, можно отметить следующее: касательная к графику функции y = ex  в точке (0; 1) образует с осью абсцисс угол 45°.

Пример 1.   Вычислите 1)    2)     3) 

Решение

1)  так как 

2)  так как 

3) 

- 11 -

Ответ. 1) ;  2) 4;   3)   .

Пример 2.    Вычислите   1);     2)  .

Решение

1)   так как       2) 

Ответ. 1) −3; 2) −3.

2.3.2. Свойства логарифмов

Из определения логарифма вытекают следующие его свойства. Пусть a > 0, a ≠ 0. Тогда:

1. Если x > 0 и y > 0, то 

Например, 

2. Если x > 0 и y > 0, то   

Например,  

3. Если x > 0, то   

Например,    

4. Если b > 0, b ≠ 1, x > 0, то   

Например,     Эта формула называется формулой перехода к новому основанию.

5. Если x > 0, то   

Например,  

Пример 1.    Вычислите 1)       2) 

Решение  1) 

2)   

Ответ. 1) 5;   2) 2401.

- 12 -

Пример 2.  Вычислите     если   

Решение

Перейдём в log6 5 к основанию 2.   Имеем

  Однако по условию:        Аналогично    

Значит, 

Ответ.   .

Модель 2.5. Логарифмическая функция